2026年六年级下册奥数培优讲义：最优化问题（知识梳理+例题讲解+提升练习）原卷版+解析

专题40最优化问题

I知识点梳理I

一、基本概念

最优化问题是指在一定约束条件下，通过合理规划、统筹安排，使某个目标（如时间最短、成

本最低、利润最高、效率最优等）达到极值（最大或最小）的一类应用题。核心逻辑是：在有

限资源或条件限制下，找到“最优策略”，实现目标的最大化或最小化。

二、核心要素（必知）

1.目标函数：需要优化的量（如时间、成木、利润、面积等），是解题的最终追求。

2.约束条件：限制目标实现的条件（如资源总量、时间限制、工序要求等），是解题的前提。

3.优化策略：通过调整变量（如分配方案、操作顺序、数量配比等），使目标函数达到极值的

方法。

三、常见题型分类

根据目标和约束条件的不同，可分为以下四大类及变形问题：

1.时间统筹优化：通过合理安排工序顺序，减少总时间（如“沏茶问题”“排队问题”）。

►核心：找出可并行的工序，避免时间浪费。

►例：妈妈做早餐，需熬粥（20分钟）、煎蛋（5分钟）、热牛奶（3分钟），如何安排最省时

间？

2.物资分配优化：在资源总量固定时，分配物资使目标（如利润、效率）最大化（如“生产分

配”“运输调度”）。

a核心：根据单位资源的“性价比”（如单位利润、单位效率）优先分配资源。

►例：用120kg材料生产A、B两种产品，A需2kg/件（利润30元），B需3kg/e（利润50

元），如何分配使总利润最高？

3.最值问题优化:在几何、经济等场景中，求目标量的最大或最小值（如“面积最大”“成本最低

►核心：利用极端值（如几何图形的边长关系、函数顶点）或枚举法确定最值。

►例：用24米篱笆围长方形菜园（一边靠墙），如何围使面积最大？

4.簧略优化：通过选择最优方案解决实际问题（如“购物省钱”“路线最短”“比赛策略

a核心：对比不同方案的结果，选择最优解。

A例：某商品A店“买3送1”（单价10元），B店打八折（单价10元），买10件去哪家更省

钱？

四、核心解题方法（必会）

1•枚举法：适用于变量较少的简单问题，列举所有可能方案，对比结果选最优。

►例：从A到B有3条路，B到C有9条路，选最短路线需枚举所有3x2=6种组合。

2.极端值法：适用于几何或函数类最值问题，通过分析边界条件（如“长方形周长一定时•，正

方形面积最大”）确定极值。

►例：周长固定的长方形，长二宽时面积最大。

3.图表法：通过画流程图（时间统筹）、表格（物资分配）或线段图（路线问题），直观呈现条

件，辅助分析。

►例：时间统筹中用流程图标注各工序的并行关系。

4.逻辑推埋法：根据“性价比优先”“减少浪费”等原则，直接推导最优策略。

►例：时间统筹中，优先做耗时最长的工序，同时穿插其他短工序。

5.方程/函数法：设变量建立目标函数，通过求函数极值（如二次函数顶点）或解不等式确定最

优解。

A例：物资分配中，设生产数量为未知数，列利润函数求最大值。

五、解题四步曲（万能模板）

1.明确目标：确定要优化的量（求最大还是最小？如“最短时间”“最大利润

2.分析约束：列出所有限制条件（如“材料总量W20kg”“工序必须先后顺序”）。

3.选择方法：根据题型选枚举、极端值、图表等方法，设计优化方案。

4.验证结果：检查方案是否符合约束条件，确认目标是否达到极值。

I例题讲解'I

一、基础题（时间统筹优化）

例1：小明帮妈妈做家务，需要做的事情及时间如下：扫地（5分钟）、擦桌子（3分钟）、烧

开水（10分钟）、洗水果（2分钟）。怎样安排最省时间？最少需要多少分钟？

解题步骤：

1.明确目标：总时间最短。

2.分析约束：烧开水时无需一直操作，可同时做其他事；扫地、擦桌子、洗水果需依次或并行

完成。

3.选择方法：图表法（流程图）。

烧开水（10分钟）的同时，可扫地（5分钟）+擦桌子（3分钟）+洗水果（2分钟）,刚好10

分钟。

4.验证结果：总时间二烧开水时间=10分钟，无冲突。

答案：先烧开水，同时扫地、擦桌子、洗水果，最少需要10分钟。

跟踪练习1：妈妈做饭，淘米（2分钟）、煮饭（20分钟）、洗菜（5分钟）、切菜（3分钟）、

炒菜（10分钟）。最省时间的安排是？总时间多久？

答案提示：淘米（2分钟）一煮饭（20分钟，同时洗菜+切菜+炒菜），总时间=2+20=22分钟。

二、进阶题（物资分配优化）

例2：杲，厂生产甲、乙两种零件，甲零件每个利润8元，需材料3kg；乙零件每个利润12

元，需材料5kg。现有材料60kg,如何分配生产使总利润最高？

解题步骤：

1.明确目标：总利润最高。

2.分析约束：材料总量360kg,甲、乙零件数量为非负整数。

3.选择方法：逻辑推理法（性价比优先）+枚举法。

。计算单位材料利润：甲=8・322.67元/kg,乙=12+5=2.4元/kg,甲性价比更高，应优先生产甲。

设生产甲x个，乙y个，3x+5y<60,利润=8x+12y。

优先生产甲：x=20时，3x20=60kg,y=0,利润=8x20=160元；

若少生产5个甲（节省15kg材料），可生产乙3个（5x3=15kg）,利润=8x15+12x3=120+36=156

元<16（）元。

4.验证结果：全生产甲时利润最高。

答案：生产甲零件20个，乙零件0个，总利润160元。

跟踪练习2：用100元采购A、B两种文具，A单价5元（利润2元），B单价10元（利润3

元），且A数量不少于B的2倍。如何采购利润最高？

答案提示：A性价比=2/5=0.4元/元，B=3/10=0.3元/元，优先A。设B买x个，A>2x,

5x2x+10x<100->x<5,A=10人,B=5个，利润=2x10+3x5=35元。

三、挑战题(最值问题优化)

例3：用一根长30米的篱笆围成一个长方形养鸡场，其中一面靠墙(墙足够长)，问长和宽各

是多少时，养鸡场面积最大？最大面积是多少？

解题步骤：

1.明确目标：面积最大。

2.分析约束：篱笆长3()米，靠堵一侧不用篱笆，设靠I啬边长为x(长)，宽为y,则x+2y=30,

面积S=xyo

3.选择方法：函数法+极端值法。

由x=30-2y,代入面积公式：S=(30-2y)y=・2y2+30y,这是开口向下的二次函数，顶点处S最大。

顶点y=-b/(2a)=-30/(2x(-2))=75米，此时x=30-2x7.5=15米。

4.验证结果：S=15x7.5=112.5平方米,符合条件。

答案：长15米，宽7.5米时面积最大，最大面积112.5平方米。

跟踪练习3：用24cm长的铁丝围长方形，长和宽为整数，面积最大是多少？

答案提示：长+宽=12cm,长=宽=示m时(正方形)面积最大,6x6=36cm2o

i提升练习1

I.有一个80人的旅游团，其中男性50人，女性30人，他们入住的酒店有11人间、7人间

和5人间的三种房间，男女分别住在不同的房间，且要求每个房间均住满，他们最少要住多少

个房间？

2.用一只平底锅煎大饼，该平底锅只能同时放4个大饼；一个大饼要烙两面，烙熟大饼的每

一面都需要3分钟，而旦在这3分钟内，大饼不能中途离开平底锅。现在要烙熟46个大饼，

那么最少需要多少分钟？

3.韩梅梅的妈妈要烤面包，第一面需要烤2分钟，烤第二面时，面包比较干了，只要烤一分

钟足够了，也就是说烤一片面包需要3分钟。现在要烤3片面包，一次只能放两片面包，问至

少要用多长时间？

4.个牧童骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁四头牛，甲牛过河需2分钟，乙牛过河

需3分钟，丙牛过河需6分钟，丁牛过河需7分钟。每次最多赶两头牛过河，而且牧童每次都

要骑在牛背上过河。要把四头牛都赶到对岸去，最少需要多少分钟？

5.早晨起床后，爸爸让小玲自己用奶粉冲一杯牛奶。洗水壶要1分钟，洗杯子和汤匙各要1

分钟，烧开水要12分钟，取奶粉要2分钟，冲奶粉要1分钟。小玲应怎样安排，才能使自己

尽快喝上牛奶？共需多少分钟？

6.有5个人各拿1只水桶到水龙头前接水，水龙头给5个人的水桶注满水所需的时间分别是

6分钟、4分钟、3分钟、5分钟、2分钟。现在只有一个水龙头可以接水，怎样安排，才能使

他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？

7.有66吨煤要从煤场运到发电厂，大卡车的载重量是5吨，耗油量是1()升；小卡车的载重

量是2吨，耗油量是5升.如果要使总耗油量最少，应该如何安排大小卡车.

8.某加油站每次只能对一辆车进行加油.加满一辆大卡车的油需要7分钟；加满一辆三卡车

的油需要5分钟；加满一辆小汽车的油需要4分钟.现在有一辆大卡车、一辆三轮卡车、一辆

小汽车同时来到加油站加油.问加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的

时间(包括加油及等候的时间)最省？

9.用一只平底锅煎饼，每次只能放两张饼，煎熟一只饼需要2分钟(煎熟正面反面各需要1

分钟).那么煎三只饼至少要几分钟？煎n(n>2)只饼至少要几分钟？

10.有150个人要赶到90千米外的某地去执行任务.现有一辆中乘50人，时速为70千米的

卡车.若这些人步行时速为10千米，请你设计一种乘车及步行的方案，使这150个人全部到

达目的地所用的时间最少(上下车时间忽略不计).

11.车间内有5台机器同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次是15、8、29、7、

10分钟.每台机器停产一分钟都将造成10元的经济损失.如何安排修复顺序，使经济损失最

少？最少要损失多少元？

12.社办厂生产两种产品：制造一公斤甲种产品要花1个劳动日，用原料5公斤.制造1公斤

乙种产品要花2个劳动日，用与甲同样的原料3公斤.假如甲种产品每公斤利润为700元，乙

种产品每公斤利润600元，并且社办厂只有750公斤原料，生产两种产品只允许花220个劳动

日，试问：甲、乙两种产品各生产多少公斤时，才能使社办厂获利最大？

13.有5位探险家计划横穿沙漠.他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行

驶315千米的汽油.显然，5个人不可能共同穿越5()()千米以上的沙漠.于是，他们计划在保

证其余车安全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠.当然，实现这一计划需要几辆车相互

借用汽油(但不允许将汽油放在途中).问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多远的沙漠？

14.冬冬中午要炒一个菜，煮一锅饭，烧一壶水。用煤气炉炒菜每道工序的时间如下：切菜4

分钟，准备佐料4分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟。用煤气炉烧水每道工序

的时间如下：洗水壶2分钟，用火烧水15分钟，把开水灌到热水瓶中需要2分钟。用电饭锅

煮饭每道工序的时间如下：淘米4分钟，煮饭18分钟。冬冬家的煤气炉只有一个煤气灶。请

问：冬冬做完这三件事情最短需要多少分钟？

15.理发店里同时来了A、B、C三个顾客，A理板寸需要7分钟，B理光头需要10分钟，C

烫卷发需要40分钟.请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和

最短？这个最短的时间是多少？

16.玩具加工厂要把小正方体形状积木的六个面染色，两个面染红色，两个面染蓝色，另两个

面染黄色.厂里的机器可以同时给6个小正方体的一面染上相同的颜色，每次需耍5分钟.现

在有8个积木要加工，那么用这种机器至少需要多少分钟才能完成？

17.（广州）甲、乙、丙三人都要从A地到B地去，甲有一辆摩托车每次只能带一人，甲每小

时可以行36千米，乙、丙步行的速度为每小时4千米，已知A、B两地相距36千米.求三人

同时到达的最短时间为多少小时？

18.车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,

20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元.现有两名工作效率相同的修理工，

⑴怎样安排才能使得经济损失最少？

（2）怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？

19.某人从金坛出发去扬州、常州、苏州、杭州各一次，最后返回金坛.已知各城市之间的

路费如下表所示，请为他设计一条路费最省的路线.（表中单位：元）

金坛常州扬州苏州杭州

金坛030405060

常州300152530

扬州401501525

苏州502515015

杭州603025150

20.成都青年旅行社“五一''推出甲、乙两种优惠方案:

甲：成都一日游，大人每位全票80元，小朋友四折

乙：成都一日游，团体5人以上（含5人）每位六疔

（1）李老师带5名小朋友游览，选哪种方案省钱？

（2）李老师和王老师带4名小朋友游览，选哪种方案省钱？

（3）张三、王五两位小朋友及各自的父母6人游览，选哪种方案省钱?

专题40最优化问题

I知识点梳理I

一、基本概念

最优化问题是指在一定约束条件下，通过合理规划、统筹安排，使某个目标（如时间最短、成

本最低、利润最高、效率最优等）达到极值（最大或最小）的一类应用题。核心逻辑是：在有

限资源或条件限制下，找到“最优策略”，实现目标的最大化或最小化。

二、核心要素（必知）

1.目标函数：需要优化的量（如时间、成本、利润、面积等），是解题的最终追求。

2.约束条件：限制目标实现的条件（如资源总量、时间限制、工序要求等），是解题的前提。

3.优化策略：通过调整变量（如分配方案、操作顺序、数量配比等），使目标函数达到极值的

方法。

三、常见题型分类

根据目标和约束条件的不同，可分为以下四大类及变形问题：

1.时间统筹优化：通过合理安排工序顺序，减少总时间（如“沏茶问题”“排队问题”）。

►核心：找出可并行的工序，避免时间浪费。

►例：妈妈做早餐，需熬粥（2（）分钟）、煎蛋（5分钟）、热牛奶（3分钟），如何安排最省时

间？

2.物资分配优化：在资源总量固定时，分配物资使目标（如利润、效率）最大化（如“生产分

配”“运输调度”）。

a核心：根据单位资源的“性价比”（如单位利润、单位效率）优先分配资源。

►例：用120kg材料生产A、B两种产品,A需2kg/件（利润30元）,B需3kg/件（利润50

元），如何分配使总利润最高？

3.最值问题优化:在几何、经济等场景中，求目标量的最大或最小值（如“面积最大”“成本最低

a核心：利用极端值（如几何图形的边长关系、函数顶点）或枚举法确定最值。

a例：用24米篱笆围长方形菜园（一边靠墙），如何围使面积最大？

4.黄略优化：通过选择最优方案解决实际问题（如“购物省钱”“路线最短”“比赛策略”）。

A核心：对比不同方案的结果，选择最优解。

►例：某商品A店“买3送1”（单价10元），B店打八折（单价10元），买10件去哪家更省

钱？

四、核心解题方法（必会）

1•枚举法：适用于变量较少的简单问题，列举所有可能方案，对比结果选最优。

►例：从A到B有3条路，B到C有2条路，选最短路线需枚举所有3x2=6种组合。

2.极端值法：适用于几何或函数类最值问题，通过分析边界条件（如“长方形周长一定时，正

方形面积最大”）确定极值。

A例：周长固定的长方形，长二宽时面积最大。

3.图表法：通过画流程图（时间统筹）、表格（物资分配）或线段图（路线问题），直观呈现条

件，辅助分析。

►例：时间统筹中用流程图标注各工序的并行关系。

4.逻辑推理法：根据“性价比优先”“减少浪费”等原则，直接推导最优策略。

►例：时间统筹中，优先做耗时最长的工序，同时穿插其他短工序。

5.方程/函数法：设变量建立目标函数，通过求函数极值（如二次函数顶点）或解不等式确定最

优解。

►例：物资分配中，设生产数量为未知数，列利润函数求最大值。

五、解题四步曲（万能模板）

1.明确目标：确定要优化的量（求最大还是最小？如“最短时间”“最大利润”）。

2.分析约束：列出所有限制条件（如“材料总量W120kg”“工序必须先后顺序

3.选择方法：根据题型选枚举、极端值、图表等方法，设计优化方案。

4.验证结果：检查方案是否符合约束条件，确认目标是否达到极值。

I例题讲解I

一、基础题（时间统筹优化）

例1：小明帮妈妈做家务，需要做的事情及时间如下：扫地（5分钟）、擦桌子（3分钟）、烧

开水（10分钟）、洗水果（2分钟）。怎样安排最省时间？最少需要多少分钟？

解题步骤：

1.明确目标：总时间最短。

2.分析约束：烧开水时无需一直操作，可同时做其他事；扫地、擦桌子、洗水果需依次或并行

完成。

3.选择方法：图表法（流程图）。

烧开水（10分钟）的同时，可扫地（5分钟）+擦桌子（3分钟）+洗水果（2分钟），刚好10

分钟。

4.验证结果：总时间二烧开水时间=10分钟，无冲突。

答案：先烧开水，同时扫地、擦桌子、洗水果，最少需要10分钟。

跟踪练习1：妈妈做饭，淘米（2分钟）、煮饭（20分钟）、洗菜（5分钟）、切菜（3分钟）、

炒菜（1（）分钟）。最省时间的安排是？总时间多久？

答案提示：淘米（2分钟）t煮饭（20分钟,同时洗菜+切菜+炒菜），总时间=2+20=22分钟.

二、进阶题（物资分配优化）

例2：某工厂生产甲、乙两种零件，甲零件每个利润8元，需材料3kg；乙零件每个利润12

元，需材料5kg。现有材料60kg,如何分配生产使总利润最高？

解题步骤：

1.明确目标：总利润最高。

2.分析约束：材料总量q0kg,甲、乙零件数量为非负整数。

3.选择方法：逻辑推理法（性价比优先）十枚举法。

。计算单位材料利润：甲=8+3B2.67元/kg,^=12-5=2.4x/kg,甲性价比更高，应优先生产甲。

设生产甲x个，乙y个，3x+5yW6O,利润=8x+12y。

优先生产甲：x二先时,3x20=60kg,y=0,利润=8x20=160元；

若少生产5个甲（节省15kg材料），可生产乙3个（5x3=15kg）,利润=8x15+12x3=120+36=156

元V160元。

4.验证结果：全生产甲时利润最高。

答案：生产甲零件20个，乙零件0个，总利润160元。

跟踪练习2：用100元采购A、B两种文具，A单价5元（利润2元），B单价10元（利润3

元），且A数量不少于B的2倍。如何采购利润最高？

答案提示：A性价比=2/5=0.4元/元，B=3/l0=0.3元/元，优先A。设B买x个，A>2x,

5x2x+10x<100->x<5,A=10人,B=5个，利润=2x10+3x5=35元。

三、挑战题(最值问题优化)

例3：用一根长30米的篱笆围成一个长方形养鸡场，其中一面靠墙(墙足够长)，问长和宽各

是多少时，养鸡场面积最大？最大面积是多少？

解题步骤：

1.明确目标：面积最大。

2.分析约束：篱笆长30米，靠墙一侧不用篱笆，设靠墙边长为x(长)，宽为y,则x+2y=30,

面积S=xyo

3.选择方法：函数法+极端值法。

由x=30-2y,代入面积公式：S=(30-2y)y=-2y2+30y,这是开口向下的二次函数，顶点处S最大。

顶点y=-b/(2a)=-30/(2x(-2))=7.5米，止匕时x=30-2x7.5=15米。

4.验证结果：S=15x7.5=U2.5平方米,符合条件。

答案：长15米，宽7.5米时面积最大，最大面积112.5平方米。

跟踪练习3：用24cm长的铁核围长方形，长和宽为整数，面积最大是多少？

2

答案提示：长+宽=12cm,长=宽=6cm时(正方形)面积最大，6x6=36cm0

［提升练习！

1.有一个8()人的旅游团，其中男性5()人，女性30人，他们入住的酒店有11人间、7人间

和5人间的三种房间，男女分别住在不同的房间，旦要求每个房间均住满，他们最少要住多少

个房间？

【答案】10间

【分析】要求房间的数量最少，则11人间的数量选择的多一点。

男生：总人数是50人，选择4间11人的，剩余的6人无法注满房间，

则选择3间11人的，剩余17人，可以选择7人间的1间和2间5人间的。

女生：总人数30人，选择2间11人的，剩余的8人无法注满房间，

则选择1间11人的，剩余19人，可以选择7人间的1间和1间5人间的。

【详解】男：50-11=4（间）……6（人）

50-3x11

=50-33

=17（人）

17=1x7+2x5

男生：3间11人的，1间7人间和2间5人间。

女生：30-11=2（间）……8（人）

30-11=19（人）

19=2x7+5x1

女生：1间11人的，2间7人间和1间5人间。

3+1+2+1+2+1=10（间）

答：他们最少要住10个房间。

2.用一只平底锅煎大饼，该平底锅只能同时放4个大饼；一个大饼要烙两面，烙熟大饼的每

一面都需要3分钟，而且在这3分钟内，大饼不能中途离开平底锅。现在要烙熟46个大饼，

那么最少需要多少分钟？

【答案】69分钟

【分析】根据题意，我们知道：4个大饼同时烙两面，一共需要3x2=6（分），要这样烙熟46

个大饼12锅，但最后一锅只有两个；故为了节省时间不妨这样烙：前4（）个，都是一锅把4

个大饼两面烙好，同时取出；后6个，是先放4个，过3分钟，把其中2个翻面，2个取出，

接着把最后剩下的2个放入，再过3分钟，把两面都烙的取出，放入刚才取出只烙一面的2

个，接着把另外2个翻面，再过3分钟，全部取出即可，可见共需要：40:4x6+3+3+3=69

（分）

【详解】3x2=6（分）

40-4x6=60（分）

60+3+3+3=69（分）

答：至少需要69分钟。

3.韩梅梅的妈妈要烤面包，第一面需要烤2分钟，烤第二面时，面包比较干了，只要烤一分

钟足够了，也就是说烤一片面包需要3分钟。现在要烤3片面包，一次只能放两片面包，问至

少要用多长时间？

【答案】5分钟

【分析】读题可知，要使烤面包的时间最少，就要使烤锅里尽可能同时烤2片面包：第一次放

入两片，2分钟后一个翻面、一个出锅，同时放入第三片；放入的第三片需要2分钟烤好一面，

中途可以取出已经翻过面的面包，放入出锅未翻面的面包；待第三片烤好一面时，前两片已经

完全烤好，最后只要把第三片翻面再烤1分钟结束，据此算出总时间即可。

【详解】将3片面包编号1、2、3

前2分钟：放入1、2号，

第2分钟后，取出1号，2号翻面，放入3号。

第3分钟后，2号完成，1号翻面放入。

第4分钟后，1弓完成，3弓翻面。

第5分钟后，3号完成，全部完成。

2+1+1+1

=3+1+1

=4+1

=5（分钟）

答：至少要用5分钟时间。

4.个牧童骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁四头牛，甲牛过河需2分钟，乙牛过河

需3分钟，丙牛过河需6分钟，丁牛过河需7分钟。每次最多赶两头牛过河，而且牧童每次都

要骑在牛背上过河。要把四头牛都赶到对岸去，最少需要多少分钟？

【答案】18分钟

【分析］过河用时较少的两头牛先过河，然后骑着过河月时最少的牛回来，再让过问用时较长

的两头牛一起过河，然后骑着另一头过河用时较少的牛回来，最后骑着两头过河用时较少的牛

过河即可。

【详解】第1次用时2分钟和3分钟的2头牛先过河，月时3分钟，然后骑着用时2分钟的牛

回到河岸，合计用时3+2=5（分）

第2次用时6分钟和7分钟的2头再过河，用时7分钟，然后骑着用时3分钟的牛回到河岸,

合计用时7+3=10（分）

第3次用时2分钟和3分钟的2头牛过河，用时3分钟。

5+10+3=18（分）

答：要把四头牛都赶到对岸去，最少需要18分钟。

5.早晨起床后，爸爸让小玲自己用奶粉冲一杯牛奶。洗水壶要1分钟，洗杯子和汤匙各要1

分钟，烧开水要12分钟，取奶粉要2分钟，冲奶粉要1分钟。小玲应怎样安排，才能使自己

尽快喝上牛奶？共需多少分钟？

【答案】14分钟

【分析】首先洗水壶要1分钟，烧开水要12分钟，在这12分钟里，可以完成洗杯子和汤匙,

取奶粉，然后烧开水后冲奶粉；由此求得结果即可。

【详解】首先洗水壶，然后烧开水，在烧开水的同时，可以完成洗杯子和汤匙，取奶粉；然后

烧开水后冲奶粉；这样就可以使自己尽快喝上牛奶。

1+12+1=14（分钟）

答：首先洗水壶，然后烧开水，在烧开水的同时，可以完成洗杯子和汤匙，取奶粉；然后烧开

水后冲奶粉；这样就可以使自己尽快喝上牛奶；共需要14分钟。

6.有5个人各拿1只水桶到水龙头前接水，水龙头给5个人的水桶注满水所需的时间分别是

6分钟、4分钟、3分钟、5分钟、2分钟。现在只有一个水龙头可以接水，怎样安排，才能使

他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？

【答案】按照接水时间由短到长的顺序来接水；50分钟

【分析】先接水的人接水时，后面的人都要等候，所以要使他们总的等候时间最短，就应该按

照接水时间由短到长的顺序来接水。

【详解】按照接水时间分别为2分钟、3分钟、4分钟、5分钟、6分钟的顺序接水，才能使他

们总的等候时间最短。

2x5+3x4+4x3+5x24-6

=10+12+12+10+6

=50（分钟）

答：这个最短的时间是50分钟。

7.有66吨煤要从煤场运到发电厂，大卡车的载重量是5吨，耗油量是10升；小卡车的载重

量是2吨，耗油量是5升.如果要使总耗油量最少，应该如何安排大小卡车.

【答案】可以派遣12辆大卡车和3辆小卡车或13辆大卡车和I辆小卡车，总耗油量最少为

135升.

【详解】如果是10吨的重量，大卡车要耗油20升，而小卡车要耗油25升.所以应该尽量安

排大卡车，对于最后剩下的6吨，可以有三种方案：

（1）两辆大卡车，则耗油20升；

（2）一辆大卡车和一辆小卡车，则耗油15升；

（3）三辆小卡车，则耗油15升.

综上所述，可以派遣12辆大々车和3辆小卡车或13辆大卡车和1辆小卡车，总耗油量最少为

135升.

8.某加油站每次只能对一辆车进行加油.加满一辆大卡车的油需要7分钟；加满一辆三卡车

的油需要5分钟：加满一辆小汽车的油需要4分钟.现在有一辆大卡车、一辆二轮卡车、一辆

小汽车同时来到加油站加油.问加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的

时间（包括加油及等候的时间）最省？

【答案】为了节省时间，这三辆车加油的顺序应该是：小汽车、三轮卡车、大卡车.最节省的

时间是29分钟.

【分析】由于这个加油站一次只能对一辆车进行加油，因此当三辆车一起来的时候，就会发生

两辆车要等候的情况.由于各辆车加油的时间是固定的，因此要尽量节省时间，只有尽量减少

等候的时间.如果安排大k车先加油，那木其他两辆车都必须等候7分钟；而如果安排小汽车

先加油，那未其他两辆车都只须等4分钟.显然，小汽车先加油可节省等候时间.同样道理,

第二辆加油的应该是三轮卡车，最后才给大卡车加油.

【详解】为了节省时间，这三辆车加油的顺序应该是：小汽车、三轮卡车、大卡车，这是最佳

的策略.当小汽车加油时，其他两辆车各等候4分钟，当三轮卡车加油时，大卡车等候5分钟；

直到大卡车加完油，总共用时间为4+（4+5）+（4+5+7）=4+9+16=29（分钟）.

答：最节省的时间是29分钟.

9.用一只平底锅煎饼，每次只能放两张饼，煎熟一只饼需要2分钟(煎熟正面反面各需要1

分钟).那么煎三只饼至少要几分钟？煎n(n>2)只饼至少要几分钟？

【答案】煎三只饼至少要3分钟，煎n(n>2)只饼至少要n分钟

【分析】煎三只饼若是一只一只地煎，要6分钟；但是每次可以放两只饼，可以同时煎熟两种

饼，现煎第三只饼，这样共需要4分钟，但是这两种策略都不是最佳策略.

【洋解】煎二只饼至少需要二分钟.因为，第一次煎两人饼，一分钟后两个饼都熟了一面，此

时将第二只取出，第一只翻个面，再放入第三只.乂煎了一分钟，第一只煎好取出，第三只翻

个面，再将第二只放入，再煎一分钟，全部煎熟了。煎n只饼，需要n分钟.因为，当n是偶

数时，每煎两个需要2分钟，可以两只两只地煎；当n是奇数时，也可以两只两只地煎，直到

最后剩下三只饼时采用上面的方法就可以了.

10,有150个人要赶到90千米外的某地去执行任务.现有一辆中乘50人，时速为70千米的

卡车.若这些人步行时速为10千米，请你设计一种乘车及步行的方案，使这150个人仝部到

达目的地所用的时间最少(上下车时间忽略不计).

【答案】步行30千米，乘车60千米所用时间最少，为3,小时

【分析】由于卡车只能运送50个人，若将这5()个人从起点送到终点，其他人步行到终点，这

和150个人步行到终点所用的时间相同(全部到达时间)汽车没有起到省时间的作用.因此汽

车应该把50个人送至某一点后，返回去接另外50个人，如此往返.另外不乘车的人也应步行

前进.总之：车要不停地开，人要不停地走，最大限度地利用人力和物力.为了省时间，应该

同时出发同时到达.由于卡车车座的限制，应将150个人平均分成3组，每组50个人.同时

为了保证同时到达，每组乘车走的路程必须相同，步行乜必须相同.所以一题的关键是每组要

乘车走多少路，步行走多少路.

【详解】将150个人平均分成三组，每组50个人，为了使这三组人数到达目的地所用的时间

最少，必须使每一组人都步行相同的路程，乘车相同的路.

如图所示，设每组步行x千米，则乘车（90-x）千米.卡车送完第一组走完（90-x0）千米后

返回来接第二组，与第二组相遇时第二组走了；千米，此时汽车走了

（90-X）X2-：T%0-；XJ千米）.由于他们所用的时间相等，根据时间:路程+速度，可列方程

5x

得吧N.，，解得x=301千米），即最省时间的方案是步行30千米，乘车60千米.所用

―7010

的时间为荒・3号卜卜时）.

11.车间内有5台机器同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次是15、8、29、7、

10分钟.每台机器停产一分钟都将造成10元的经济损失.如何安排修复顺序，使经济损失最

少？最少要损失多少元？

【答案】先修复修复时间短的.最少的经济损失为1560元

【分析】如果先修所需修复时间长的机器，而让修复时间短的机器等待无疑将造成较大的经济

损失.

【详解】最佳方案是先修复修复时间短的，让其尽快投入生产，减少经济损失.这样总的修复

时间为7x5+8x4+10x3+15x2+29=35+32+30+30+29=156（分），而最少的经济损失为

10x156=1560（元）.

12.社办厂生产两种产品：制造一公斤甲种产品要花1个劳动口，用原料5公斤.制造1公斤

乙种产品要花2个劳动日，用与甲同样的原料3公斤.假如甲种产品每公斤利润为700元，乙

种产品每公斤利润60（）元，并且社办厂只有75（）公斤原料，生产两种产品只允许花22（）个劳动

日，试问：甲、乙两种产品各生产多少公斤时，才能使社办厂获利最大？

【答案】甲生产12（）公斤，乙生产50公斤时，获得的利润最大,最大的利润是114000元.

【详解】假设生产甲种产品x公斤，为了获得最大的利润，必须充分利用劳动日和原料•，从而

乙种产品必定生产;x（750-5x）公斤.由于劳动日为220天，从而有220,

解这个方程可得x=120（公斤），从而;x（750-5xl20"50价斤）；即甲产品要生产120公斤，

乙产品要生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是

700x120+600x50=84000+3000=114000（元）.

13,有5位探险家计划横穿沙漠.他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行

驶315千米的汽油.显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠.于是，他们计划在保

证其余车安全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠.当然，实现这一计划需要几辆车相互

借用汽油（但不允许将汽油放在途中）.问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多远的沙漠？

【答案】525千米

【洋解】如下图所示，5辆车从A点一起出发，到B点时第1辆车留下够自己返回A点的汽

油，剩下的汽油全部转给其余4辆车，注意，B点的最住选择应满足刚好使这4辆车全部加满

汽油；剩下的4辆车继续前进，到C点时第2辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油

全部转给其余3辆车，使它们刚好加满汽油；剩下的3辆车继续前进……到E点时，第4辆车

留下返回A点的汽油，剩下的汽油转给第5辆车.此时，第5辆车是加满汽油的，还能向前

行驶315千米.

ABCDE

---------1

1t_.—••4

5辆车到达B点时，第1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返AB的汽油,

所以应把行驶315千米的汽油分成6份，2份供自己往返AB,4份给另外4辆车每辆加1份，

刚好使这4辆车都加满汽油.AB长为:315^6=52.5（千米）；

ABCDE

4辆车从B点继续前进，到达C点时，4辆车共消耗掉4份（BC）汽油，再加上第2辆车从C

经B返回A,所以第2辆车是把汽油分成：5份BC+1份AB=315（千米），由上可知6份AB=315

（千米），所以AB=BC,也就是说第2辆车仍是把汽油分成6份，3份供自己从B到C,再从

C返回A,3份给另外3辆车加满汽油，由此知BC长也是52.5千米.

同理，CD=DE=52.5（千米）.

所以第5辆车最远能行驶52.5x4+315=525（千米）.

14.冬冬中午要炒一个菜，煮一锅饭，烧一壶水。用煤气炉炒菜每道工序的时间如下：切菜4

分钟，准备佐料4分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟。用煤气炉烧水每道工序

的时间如下：洗水壶2分钟，用火烧水15分钟，把开水灌到热水瓶中需要2分钟。用电饭锅

煮饭每道工序的时间如下：淘米4分钟，煮饭18分钟。冬冬家的煤气炉只有一个煤气灶。请

问：冬冬做完这三件事情最短需要多少分钟？

【答案】25分钟

【分析】因为只有一个煤气炉，所以可以先洗水壶，需要2分钟，然后烧水需要15分钟，在

烧水的15分钟内，可以同时淘米4分钟，淘米后，烧水还需要15—4=11分钟，同时用电饭

锅煮饭需要18分钟，与此同时，可以完成切菜、准备佐料，节约4+4=8分钟；水烧开后，

把开水灌到热水瓶中需要2分钟，同时烧热锅节约2分钟，再烧热油，需要2分钟，最后炒菜

需要4分钟，此时饭已经煮好，据此设计所用的时间最少。

【详解】根据题干分析可得先洗水壶，需要2分钟一烧水需要15分钟（在烧水的15分钟内，

可以同时淘米4分钟，淘米后，烧水还需要15-4=11分钟，同时用电饭锅煮饭需要18分钟，

与此同时，可以完成切菜、准备佐料，节约4+4=8分钟）一水烧开后，把开水灌到热水瓶中

需要2分钟（同时烧热锅节约2分钟）一再烧热油，需要2分钟t最后炒菜需要4分钟，此时

饭已经煮好。

2+15+2+2+4=25（分钟）

答：最少需要25分钟。

【点睛】本题主要考查了推理与论证，在解题时要注意统筹方法的应用。

15.理发店里同时来了A、B、C三个顾客，A理板寸需要7分钟，B理光头需要10分钟，C

烫卷发需要4（）分钟.请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和

最短？这个最短的时间是多少？

【答案】先理用时少的，最后理用时最多的顾客，等待时间的总和最少，等待总时间最少81

分钟.

【详解】试题分析：要顾客等待时间的总和最少，应先安排用时少的先理，即先给A理板寸

用时7分钟的，再给B理光头用时10分钟的，最后给C烫卷发用时40分钟，则第一人用时7

分钟，第二人等待7+10分钟，第三人等待7+10+40分钟由此计算出等待总时间即可.

解：要使这三位顾客等待时间的总和最少，

应先理用时7分钟的，再理用时10分钟的，最后理用时40分钟的；

等待的总时间为：

7+（7+10）+（7+10+40）

=7+17+57

=81（分钟）

答：先理用时少的，最后理用时最多的顾客，等待时间的总和最少，等待总时间最少81分钟.

点评：明确按用时由少到多的顺序做，顾客等待时间的总和最少是完成本题的关键.

16.玩具加工厂要把小正方体形状积木的六个面染色，两个面染红色，两个面染蓝色，另两个

面染黄色.厂里的机器可以同时给6个小正方体的一面染上相同的颜色，每次需要5分钟.现

在有X个积木要加工，那么用这种机器至少需要多少分钟才能完成？

【答案】45分钟.

【详解】试题分析：为了便于说明问题，用1〜8来标号表示8个正方体，第一次先染1〜6

号的一面用5分钟；第二次染1〜4号的另一面和7、8号的一面用5分钟；然后再把5〜8号

换面染成红色，又用了5分钟；这样1〜8的两面都有红色，共用5x3=15分钟；同理.，两个

面染蓝色，两个面染黄色的时间都是15分钟，据此计算总时间即可.

解：用1〜8来标号表示8个正方体，第一次先染1〜6号的一面用5分钟；

笫二次染1-4号的另一面和7、8号的一面用5分钟；

第三次再把5〜8号换面染成红色，又用了5分钟；

这样1〜8的两面都有红色，共用5x3=15（分钟）；

同理，两个面染蓝色，两个面染黄色的时间都是15分钟，

共用：15x3=45（分钟）

答：用这种机器至少需要45分钟才能完成.

点评：本题考查了染色问题，关键是统筹安排第一次染色后剩下的两个正方体，与第一次染色

后的六个交换两个染色.

17.（广州）甲、乙、丙三人都要从A地到B地去，甲有一辆摩托车每次只能带一人，甲每小

时可以行36千米，乙、丙步行的速度为每小时4千米，已知A、B两地相距36千米.求三人

同时到达的最短时间为多少小时？

【答案】三人同时到达的最短时间为［小时

【洋解】试题分析：若甲先骑摩托车带乙前行，到达某处后，放卜Z,返回接丙，然后带丙前

行，与乙同时到达B地：设甲乙先行了X小时，则甲乙行程为36x,丙行程为4x,甲乙，和

丙相距：36x・4x=32x,甲丙相遇，需要：32x：（36+4）=春小时，此时，乙和丙各自步行了：

4x|x吟x千米；甲丙，与乙的距离还是32x,三人同时到达，即甲丙正好追上乙，据此即可

解答问题.

解答：解：甲先骑摩托车带乙前行，到达某处后，放下乙，返回接丙，然后带丙前行，与乙同

时到达B地.

设甲乙先行了x小时，则甲乙行程为36x,丙行程为4x,

甲乙，和丙相距：36x・4x=32x,

那么甲丙相遇，需要：32x-（36+4）二昼（小时）

此时，乙和丙各自步行了：4x1x=后x（千米）

55

甲丙，与乙的距离还是32x

三人同时到达，即甲丙正好追上乙，需要：

32x：（36-4）=x（小时）

乙或丙的行程，就等于全程，以乙为例，列方程如下：

36X+¥X+4X=36

5

2160

5

_5

X~6

所以最短用时：

,4,141457/।…

x+-zx+x=—X=—X—=—（小时）

55563

答：三人同时到达的最短时间为4小时.

点评:此题较复如应抓住甲乙丙三人行驶的时间、路程以及他们各自间的距离关系这个关键,

进而分析解答即可.

18.车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,

20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元.现有两名工作效率相同的修理工，

（1）怎样安排才能使得经济损失最少？

（2）怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？

【答案】（1）一人修17、20、30,另一人修18、25；最少的经济损失为：910元

（2）一人修需18,17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短为

55分钟.

【分析】怎样安排才能使经济损失最少，必须等待的时间少，那么我们应该把时间短的放在前

面，并且使两名