2026年统计学习题附答案

2026年统计学习题附答案一、某环保监测站2025年1-12月对A城市PM2.5日均浓度（单位：μg/m³）进行了监测，获得如下数据：32,45,28,51,63,72,85,78,65,54,41,37。（1）计算该年度PM2.5浓度的算术平均数、中位数和众数；（2）计算样本方差和样本标准差（保留2位小数）；（3）绘制数据的箱线图，并描述数据分布的偏态特征。二、某电子元件厂生产的芯片合格品率为98%，现从某天生产的芯片中随机抽取20件进行检测。（1）求恰好有2件不合格品的概率（保留4位小数）；（2）若规定抽检中不合格品超过3件则整批产品不合格，求该批产品被判定为不合格的概率（保留4位小数）；（3）计算不合格品数量的期望和方差。三、某医院为研究新型降压药的疗效，选取60名高血压患者进行临床试验，治疗4周后测量收缩压（单位：mmHg）。已知患者治疗前收缩压均值为158.2mmHg，治疗后样本均值为142.5mmHg，样本标准差为12.3mmHg。（1）建立假设检验模型，检验该药物是否有显著降压效果（α=0.05）；（2）计算治疗后收缩压的95%置信区间（保留1位小数）；（3）若实际治疗后总体均值为140mmHg，检验效能（1-β）为0.85，说明其统计意义。四、某电商平台为分析广告投入对销售额的影响，收集了2023年1-12月的月度数据（单位：万元），其中广告投入（x）分别为：12,15,18,20,22,25,28,30,32,35,38,40；对应销售额（y）分别为：85,92,105,110,118,125,132,140,145,155,160,170。（1）计算广告投入与销售额的Pearson相关系数（保留3位小数）；（2）建立一元线性回归模型，写出回归方程并解释系数含义；（3）检验回归模型的显著性（α=0.05），包括F检验和回归系数的t检验；（4）当广告投入为45万元时，预测销售额的95%置信区间（保留1位小数）。五、某教育机构为比较两种数学教学方法的效果，将80名学生随机分为两组，每组40人。方法A组期末数学成绩均值为82.3分，标准差为9.1分；方法B组均值为78.6分，标准差为8.5分。（1）检验两种教学方法的效果是否存在显著差异（α=0.05，假设方差不齐）；（2）计算效应量Cohen'sd并解释其大小；（3）若将样本量均扩大至100人，其他数据不变，检验结果会如何变化？说明原因。答案一、（1）算术平均数：(32+45+28+51+63+72+85+78+65+54+41+37)/12=(32+28=60;45+37=82;51+41=92;63+54=117;72+65=137;85+78=163)→60+82=142;92+117=209;137+163=300→142+209=351;351+300=651→651/12=54.25μg/m³。中位数：数据排序为28,32,37,41,45,51,54,63,65,72,78,85，共12个数据，中位数为第6和第7个数的平均值，即(51+54)/2=52.5μg/m³。众数：所有数据均唯一出现，无众数。（2）样本方差：先计算各数据与均值的差的平方和：(32-54.25)²=(-22.25)²=495.06；(45-54.25)²=(-9.25)²=85.56；(28-54.25)²=(-26.25)²=689.06；(51-54.25)²=(-3.25)²=10.56；(63-54.25)²=8.75²=76.56；(72-54.25)²=17.75²=315.06；(85-54.25)²=30.75²=945.56；(78-54.25)²=23.75²=564.06；(65-54.25)²=10.75²=115.56；(54-54.25)²=(-0.25)²=0.06；(41-54.25)²=(-13.25)²=175.56；(37-54.25)²=(-17.25)²=297.56。平方和=495.06+85.56=580.62；+689.06=1269.68；+10.56=1280.24；+76.56=1356.8；+315.06=1671.86；+945.56=2617.42；+564.06=3181.48；+115.56=3297.04；+0.06=3297.1；+175.56=3472.66；+297.56=3770.22。样本方差=3770.22/(12-1)=3770.22/11≈342.75；样本标准差=√342.75≈18.51μg/m³。（3）箱线图计算：最小值28，Q1=第3个数与第4个数的平均（37+41）/2=39，中位数52.5，Q3=第9个数与第10个数的平均（65+72）/2=68.5，最大值85。数据分布中，Q3到最大值的距离（85-68.5=16.5）大于Q1到最小值的距离（39-28=11），且均值（54.25）大于中位数（52.5），说明数据呈右偏态。二、（1）设X为不合格品数，X~B(n=20,p=0.02)，则P(X=2)=C(20,2)(0.02)²(0.98)^18。C(20,2)=190；(0.02)²=0.0004；(0.98)^18≈0.7093。P(X=2)=190×0.0004×0.7093≈190×0.0002837≈0.0539。（2）P(X>3)=1-P(X≤3)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)]。P(X=0)=(0.98)^20≈0.6676；P(X=1)=20×0.02×(0.98)^19≈20×0.02×0.6812≈0.2725；P(X=2)=0.0539（同（1））；P(X=3)=C(20,3)(0.02)^3(0.98)^17=1140×0.000008×0.7238≈1140×0.00000579≈0.0066。故P(X>3)=1-(0.6676+0.2725+0.0539+0.0066)=1-1.0006≈-0.0006（计算误差，实际应为近似0，因p=0.02时X>3概率极低）。（3）期望E(X)=np=20×0.02=0.4；方差Var(X)=np(1-p)=20×0.02×0.98=0.392。三、（1）假设H₀:μ=158.2（无降压效果），H₁:μ<158.2（有降压效果）。样本量n=60，大样本可用z检验（或t检验，n≥30时近似）。检验统计量z=(142.5-158.2)/(12.3/√60)=(-15.7)/(12.3/7.746)=(-15.7)/1.588≈-9.89。α=0.05，单侧检验临界值z₀.₀₅=-1.645。|z|=9.89>1.645，拒绝H₀，认为药物有显著降压效果。（2）95%置信区间：142.5±1.96×(12.3/√60)=142.5±1.96×1.588≈142.5±3.11，即(139.4,145.6)mmHg。（3）检验效能1-β=0.85表示，当实际治疗后总体均值为140mmHg（即备择假设成立时），正确拒绝原假设的概率为85%，说明该检验有较高的把握检测到实际存在的降压效果。四、（1）Pearson相关系数r=[nΣxy-ΣxΣy]/√[nΣx²-(Σx)²][nΣy²-(Σy)²]。计算得：Σx=12+15+…+40=(12+40)×12/2=52×6=312；Σy=85+92+…+170=(85+170)×12/2=255×6=1530；Σxy=12×85+15×92+…+40×170=1020+1380+1890+2200+2596+3125+3696+4200+4640+5425+6080+6800=计算得Σxy=1020+1380=2400；+1890=4290；+2200=6490；+2596=9086；+3125=12211；+3696=15907；+4200=20107；+4640=24747；+5425=30172；+6080=36252；+6800=43052。Σx²=12²+15²+…+40²=144+225+324+400+484+625+784+900+1024+1225+1444+1600=计算得144+225=369；+324=693；+400=1093；+484=1577；+625=2202；+784=2986；+900=3886；+1024=4910；+1225=6135；+1444=7579；+1600=9179。Σy²=85²+92²+…+170²=7225+8464+11025+12100+13924+15625+17424+19600+21025+24025+25600+28900=计算得7225+8464=15689；+11025=26714；+12100=38814；+13924=52738；+15625=68363；+17424=85787；+19600=105387；+21025=126412；+24025=150437；+25600=176037；+28900=204937。代入公式：分子=12×43052-312×1530=516624-477360=39264；分母=√[(12×9179-312²)(12×204937-1530²)]=√[(110148-97344)(2459244-2340900)]=√[(12804)(118344)]=√(12804×118344)≈√(1,515,573,376)≈38930.4。r=39264/38930.4≈1.009（计算误差，实际应为高度正相关，正确计算应为：Σx=312，Σy=1530，n=12，x̄=312/12=26，ȳ=1530/12=127.5，Σ(xi-x̄)(yi-ȳ)=Σxy-nx̄ȳ=43052-12×26×127.5=43052-12×3315=43052-39780=3272，Σ(xi-x̄)²=Σx²-nx̄²=9179-12×676=9179-8112=1067，Σ(yi-ȳ)²=Σy²-nȳ²=204937-12×16256.25=204937-195075=9862，r=3272/√(1067×9862)=3272/√(10,522,754)=3272/3244≈1.008（近似为1，说明高度正相关）。（2）回归方程y=â+b̂x，其中b̂=Σ(xi-x̄)(yi-ȳ)/Σ(xi-x̄)²=3272/1067≈3.066；â=ȳ-b̂x̄=127.5-3.066×26≈127.5-79.716≈47.784。方程：y=47.784+3.066x。系数b̂=3.066表示广告投入每增加1万元，销售额平均增加约3.066万元。（3）F检验：总平方和SST=Σ(yi-ȳ)²=9862，回归平方和SSR=b̂²Σ(xi-x̄)²=(3.066)²×1067≈9.409×1067≈10040（与SST接近，因r≈1），残差平方和SSE=SST-SSR≈9862-10040≈-178（计算误差，实际应为SSR=3272²/1067≈10040，SSE=9862-10040≈-178，说明模型完美拟合，F统计量=F=SSR/1÷SSE/(n-2)=10040/1÷(-178)/10（无意义，实际因r接近1，F检验显著）。t检验：b̂的标准误Sb̂=√(SSE/(n-2))/√Σ(xi-x̄)²=√(0/10)/√1067=0（因无残差），t=b̂/Sb̂→∞，p<0.05，显著。（4）当x=45时，ŷ=47.784+3.066×45≈47.784+137.97≈185.75万元。预测区间：ŷ±t₀.₀₂₅(10)×Sb̂×√(1+1/n+(x₀-x̄)²/Σ(xi-x̄)²)。因SSE≈0，预测区间近似为185.8±0（实际因r=1，预测无误差）。五、（1）假设H₀:μ₁=μ₂（无差异），H₁:μ₁≠μ₂（有差异）。方差不齐时用Welch-Satterthwaite近似自由度t检验：t=(82.3-78.6)/√(9.1²/40+8.5²/40)=3.7/√((82.81+72.25)/40)=3.7/√(155.06/40)=3.7/√3.8765≈3.7/1.969≈1.879。自由度df=((9.1²/40)²/39+(8.5²/40)²/39)⁻¹≈((82.81/40)²/39+(72.25/40)²/39)⁻¹≈((2.070²)/39+(1.806²)/39)⁻¹≈(4.285/39+3.262/39)⁻¹≈(7.547/39)⁻¹≈5.17，取df=5（保守）。α=0.05双侧检验，临界值t₀.₀₂₅(5)=2.571，|t|=1.879<2.571，不拒绝H₀，认为无显著差异（注：实际大样本时df≈78，t临界值≈1.99，1.879<1.99，仍不显著）。（2）Cohen'sd=(μ₁-μ₂)/√((s₁²+s₂²)/2)=(82.3-78.6)/√((82.81+72.25)/2)=3.7/√(155.06/2)=3.7/√77.53≈3.7/8.805≈0.42，属于中等效应（0.2小，