第9章 平面向量（复习提升）-2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026苏教版高中数学必修第二册

本章复习提升

易混易错练

易错点1对向量的相关概念、运算律理解不透致错

1.下列关于平面向量的说法中，正确的是()

A.对于向量a,b,c,W(ab)c=a(bc)

B.若向量力反C£i共线，则点A,B,C,D必在同一条直线上

C.若A(l,m),B(m+l,3),C(l-m,7)三点共线，则m=5

D.若点G为4ABC的重心，则用+痂+友=0

易错点2忽视向量的方向致错

2.(多选题)(2024江苏连云港月考)已知平面向量a=(l,1),b=(-3,4),则下列说法正确的是

()

AUa

A.cos<a,b>=y^

B.b在a上的投影向量为［a

c.与b垂直的单位向量的坐标为

D.若向量a+Xb与a-Xb共线，则实数入=0

3.(多选题)(2025重庆巴蜀中学校月考)对于任意两个平面向量n和b,下列命题中正确的是

()

A.若a〃b,|a|=|b|,则a=b

B.a〃b是|a+b|=|a|+|b|的必要不充分条件

C.|a-b|<|a||b|

D.若21al=|b|W0,向量a在b上的投影向量为-£b,则cos<a,b>=-^

易错点3对向量的夹角理解不准确致错

4.在△ABC中，“方•死<0”是“Z^ABC为钝角三角形”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.(多选题)(2024江苏镇江期中)下列选项中正确的是()

A.已知向量a=（2,V2）,b=（sinO,cos8）,若a〃b,则tan0=V2

B.已知向量a=（l,3）,b=（m,.2）,若a,b的夹角为钝角，则m<6

C.若平面向量a,b,c两两间的夹角都相等，且|a|=|b|=l,|c|=3,则|a+b+c|=2或5

D.若方+3屈+4痔0,则AAOC和4ABC的面积之比为3:8

6.单位向量a,b满足（a+2b>（a-b尸则a与b夹角的余弦值为;若ka+b与a+3b

的夹角为锐角，则实数k的取值范围为.

思想方法练

一、函数与方程思想在向量问题中的应用

1.4AABC中,M是AB上的点且满足彳法=3丽,N是AC上的点且满足亦觉,CM与BN

交于点P,设在=a,K=b，则N=（）

.1,1.31.

A.-ai-bDo.-ai-b

C-ia4bD.Qgb

2.（2025江苏无锡锡东高级中学月考）已知非零向量方与充满足（居+蜀・正=0,且

|万一%|=2日,|在十元|=60,点D是aABC的边AB上的动点，则说•反的最小值为（）

A.-lB.1C.-1D.-j

二、数形结合思想在向量问题中的应用

3.（2025江浙皖高中发展共同体联考）已知向量a,b,c满足a-c=|b-4c|=同=2,则|a-b|的最小值

是（）

A.OB.2C.V2D.5

4.（2024江苏扬州红桥高级中学月考）已知四边形ABCD是边长为2的菱形,NABCq,P为

平面ABCD内一点,AC与BP相交于点Q.

⑴若格丽质=x^+辰，求x,y的值；

⑵求（a+而）•正的最小值.

三、转化与化归思想在向量问题中的应用

5.（2025广东广州月考）在4ABC中方=（2m,m+5）,配=（cosa,sina）（m,a£R）,若对任意的实

数t,|荏-四3方-充I恒成立，则BC长度的最小值是（）

A.VIOB.VL5C.V19D.2V5

6.（2025江苏宿迁沐阳高级中学月考）如图，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成的,

中心重合于点O且三组边分别平行，点A,B是“六芒星”的两个顶点，动点P在“六芒星”（包

括边界）内，则赤■舒的取值范围是（）

A.[-2,2]B.[-|,|]

C.[-V3,V3]D「2,、句

四、分类讨论思想在向量问题中的应用

7.（2025河北唐山第一中学月考）如图，延长正方形ABCD的边CD至点E,使得DE=CD,动

点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A,若据9+证,则下

列判断不正确的是（）

A.满足入+-2的点P必为BC的中点

B.满足入+-1的点P有两个

C.满足入+-3的点P有且只有一个

D.满足九十产|的点P有两个

&在平面直角坐标系中，已知三点A（2,0）,B（t,l）,C（3,t）,teR,O为坐标原点.

(l)^AABC是直角三角形，求t的值；

(2)若|四边形ABCD是平行四边形，求|说|的最小值.

答案与分层梯度式解析

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易混易错综

1.D对于A,平面向量不满足乘法结合律，故A错误；

对于B,若向量方,而共线，则点A,B,C,D在同一条直线上或迎口(易错点)，故B错误；

对于。易得羽二(01,3-01),元=(-21「4),若A,B,C三点共线，则海〃肥，所以4m=-2m(3-m),

解得m=0(易错点)或m=5,故C借误；

对于D,延长AG交BC于点D,则D为BC的中点，且而=2力,所以

血I祝=2彷=碎_/所以+丽祝=0,故D正确.

2.AD由题意知同=>/12+12=近,也|=，・3)2+42=5用山=风・3)+”4=1.

对于A,cos<a,b>^=上哈故A正确；

对于B,b在a上的投影向量为警•长当故B错误；

1«1同\a\-2

对于C,设与b垂直的单位向量的坐标为（xo,yo）,

4（4

5Ur

所以与b垂直的单位向量的坐标为（4g或（［,］）（易错点），故c错误；

对于D,因为向量a+Xb与a-Xb共线，

所以存在t£R,使得a+入b=t（a1b尸ta-入tb,则仁力解得，故D正确.

3.BCD对于A,a和b可能为相反向量（注意共线可以是同向共线，也可以是反向共线），故

A错误.

对于B,当a=-2b时再〃b,但|a+b用a|+|b|,充分性不成立,

当a=0或b=0时,|a+b|=|a|+|b|,此时a〃b,

当a#）且b#）时，由|a+b|=|a|+|b|得|a+bF=（|a|+|b|）2,

即|ap+2|a|b|cos<a,b>+|b|2=|a|2+2|a||b|+b4,故cos〈a,b>=1,va,b>=0,则a〃b,必要性成立,

所以a〃b是|a+b|=|a|+|b|的必要不充分条件，故B正确.

对于C,|a-b|=|a||b||cos<a,b>|,Etl|cos<a,b>|<l得|a・b|S|a||b|,故C正确.

对于D,向量a在b上的投影向最为|a|cos〈a,b>^=-¥b,

Pl6

把21al=|b|代入卜式得cos<a,h>=-^z,ifjDTF确.

J

易错警示在将模的关系转换为向量之间的关系时，需要从向量方向的角度加以分析，若

不能确定方向，则需分类讨论.

4.DABBC=^BABC=-\BA\\BC\cosB<0,即cosB>0,因为0〈Bv纵所以OvBvg,不能推出

△ABC为钝角三角形，故充分性不成立；

当4ABC为钝角三角形时，假设：vB<兀，贝I」方•格—瓦7・比=一|互?||前cosB>0,不能推出

荏•心〈0,故必要性不成立.

综上所述，“方・衣〈0”是“ZXABC为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.

易错警示研究向量的夹角时要将两个向量平移到同一起点去观察，注意首尾相连的向

量所呈现的角是其夹角的补角，同时注意向量的夹角的范围是［0,兀］,因此根据图形找向量

的夹角时要注意夹角是相应有向线段所成的角还是该角的补角.如本题中向量方，能的夹

角是/ABC的补角，不是NABC.

5.ACD对于A,若a〃b,则Vlsin0=2cos0,

可得tan0=0,故A正确.

>n-6<0,）

对于B,若a,b的夹角为钝角，则。m齐2（易错点）解得m<6且m#-*故B错误.

对于C,由平面向量a,b,c两两间的夹角都相等，得它们两两之间的夹角为0或T，

当它们两两之间的夹角为0时,显然有|a十b十c|=|a|十|b|十帆=1十1十3=5;

当它们两两之间的夹角为日时，过平面上任一点O作方=a,OB=b,OC=c,令

方+3与5,如图所示，则四边形OADB为菱形而|=1,且向量沅，历方向相反，又|c|=3,所

lU|a4-b+c|=|^D+^C|=3-I=2.

综上所述,|a+b+c|=2或5,故C正确.

对于D,若

丽+3而十4沈=0,则（次+沅）+3（砺+。？）=0,可得2历+6海=0（D,E分别为AC,BC的中点），即

历=-3灰，故点O在线段DE上，且OD=：DE,

c

、.

则SA?\BC=2SAACE=2X：SAAOC=1S/AOC,即=9，

33SdABC8

所以AAOC和AABC的面积之比为3:8,故D正确.

6.答案！；(-君uQ”)

解析因为|a|=|b|=l,(a+2b>(a-b尸§

所以a2+a-b-2b2=-|,W1+2山-2=三则a・bW，则cosva,b>u/；=g即a与b夹角的余弦值为:

333回⑼33

若ka+b与a+3b的夹角为锐角，则(ka+b)(a+3b)>0且ka+b与a+3b不共线(易错点).

由(ka+b),(a+3b)>0,得ka?+(3k+l)ab+3b2>0,

即k+(3k+l)xg+3>0,解得k>-|,

当ka+b与a+3b共线时，有ka+b=X（a+3b）（XGR）,

即ka+b=Xa+3Xb,

易知a与b不共线，所以tg,解得k=l

故实数k的取值范围为（1,JU&,+8）.

易错警示求解此类题时常常会忽略两向量a,b共线的情形，认为ab>0与向量a,b的夹角

为锐角是等价的.设两个非零向量a与b的夹角为&当。=0。时;cos0=l,ab=|a||b|;当9为锐角

时,cos0>0,ab>0且ab,|a||b|;当8为直角时,cos0=0,ab=0;当。为钝角时,cos0<0,ab<0且

a-b^-|a||b|.

思想方法练

1.B如图，由初=3丽得丽=；方，由亦觉得将g%,

由C,P,M三点共线,可得万=R?+（1-入）布（入£R）,即方=沃+乎在,

由N,P,B三点共线，可得万个亦+（1-卜）荏（吟R）,即方档痔■（1-H万,

故荒」解得2

（k=1力，・片

根据平面向量基本定理的唯一性建立方程组.

故

2.C•,希，金分别表示与福衣同方向的单位向量,

・••川搭|，|青|为邻边长的平行四边形是菱形，故含所在直线为NBAC的平分线所

在直线,

♦・•端+穹・沅=0,；.ZBAC的平分线与BC垂直，故AB=AC.

取BC的中点O,连接A0,则AO1BC,

由题意得|荏-布=|B|=2应荏+就|=2|市5|=60,

A|7<5|=3V2.

如图，以O为坐标原点,BC所在育线为X轴,OA所在直线为y轴，建立平面育角坐标系,

则8（・应,0）《（4,0）人（0,3伪,故明=（0,3夜）.

设丽=大曲（0W左1）,则加二（收入,375九）,.•・D（V2X-A3V2X）,

55=（-V2X-3V2X）,PC=（2V2-V2X,-3V2X）,

.,•瓦宾=-疯（2&-®+（-3而）•（-3应九）=20入2_4A

建系，利用坐标计算两个向量的数量积，转化为关于人的一元二次函数求最值，体现了函数

思想.

当入=号=白时，痂反取得最小值，为T

2X2U1U）

DL__

~B~7)

思想方法一般运用方程思想解决平面向量中的线性运算问题，解题的关键在于设置变

量，然后利用已知条件或公式、定理构造方程（组）求解

一般运用函数思想解决平面向量中的最值问题，解题的关键在于设置变量，将所求用

变量表示出来，构造关于变量的函数，函数一般为二次函数、反比例函数等.在利用函数性

质求解最值时，要注意变量的取值范围.

3.D根据向量的数量积以及向量差的模为定值，画出图形，赋予|a-b|几何意义，将数转化为

形，由图形特征求解，体现了数形结合思想.

令五S=c]C=4c,

因为|b-4cl=2,所以b的起点为点A,终点在以点C为圆心,2为半径的圆上，

因为a・c=|c|=2,所以a在c上的投影向量的模为1,

所以a的起点为点A,终点在线段AB的垂直平分线1上，

所以|a-b|的最小值为a的终点与b的终点的距离的最小值,即线段DE最短时的长,易知当

D位于M处,E位于N处时，线段DE的长最短，所以|a-b|的最小值为5.

4.解析（1）当/尸=夕。时]为人口的中点,

易得△APQs^CBQ,所以5=»=；

CoLpZ

所以他\~AC=:物+」元

所以x=-j,y=1.

(2)根据图形特点建立平面直角坐标系，将形转化为数，通过向量的坐标运算进行求解，充分

体现了数形结合的思想.

根据题意画出图形，并建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(2,0),B(0,0),C(l,VI),

取AB的中点M,连接PM,则\1(1,0),方+方=2双

设P(x,y),x,yGR,则丽=(1—x,-y),晶(1-x,V3-y),

^\(PA+PB\PC-2PM-PC

=2[(l-x)(l-x)-y(V3-y)]

=2(x2+y2-2x-V3y+1)

2'

=2(x-l)2+(y-y)-|,

故当x=l，尸?时,(⑸+而)•冗取得最小值,且最小值为高

思想方法数形结合思想作为一种重要的数学思想方法，在平面向量中有*重要的应用：

1.以数解形，化繁为简.可以通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决几何问题.

2.以形助数，化难为易.可以利用平面向量的几何表示、三角形法则、平行四边形法则和模

的几何意义等将给出的向量在几何图形中表示出来，根据几何图形的相关知识，解决平面

向量的相关计算问题.

5.C画出图形，将不等式恒成立问题转化为几何图形中的垂线段最短问题,体现了转化与

化归思想.

设力=充,如图所示，

由|荏-衣|=|荏-而|=|而囹荏-元|二|0|恒成立，知AC_LBC,

因为方=(2m,m+5),K=(cosa,sina),

所以|而|=j5(m+l)2+20,|就|=1,

所以|西=J|存|2.|m2=J5(m+1)2+20」,

易知当m=-l时,|就|取得最小值，为g.

6.B如图，由对称性得OB〃CD，连接AO,与CD交于点E,贝ijE为AO,CD的中

点,AO1OB,\EC\=\ED\=|,\OA\=3x^x|=V3J0S|=2xsin30°=1,

P的位置不确定，可以根据数量积的几何意义将丽•存的范围问题转化为存在而上的投

影向量的模的范围问题，从而找到点P的临界位置，体现了转化与化归思想.

过点P作直线OB的垂线，垂足为P,

则向量N在向星历上的投影向量为市，

所以砺•刀=而声，

如图，过点C作CC_LOB,交OB的延长线于点C,过点D作DDJLOB,交BO的延长线于

点£

所以।历反v|,

由图可得］诃凶灰土风其中灰:与友同向，砺与方反向，

所以当点P位于点C的位置时，砺刀取得最大值，为之

2

当点P位于点D的位置时，无万取得最小值，为总

33

292

思想方法在向量问题中，常通过平面向量基本定理将待求向量转化为已知向量的和或

差;在研究图形问题时,有时可通过画出图形，转化为图形中线段的长度问题;在求数量积时,

有时可根据其几何意义转化为求投影向量的模问题;等等.这都是转化与化归思想在向量

问题中的应用.

7.A建立如图所示的平面直角坐标系，令AB=1,

则A(0,0),B(l,0),DOl),

•/JE=^AD+DE=AD^AB,

*•A5+pyf(X—D—(X-p)(1,0)+)x(0,1)—(X-g,|i),

动点P的位置不确定，需要对P的位置分类讨论，体现了分类讨论思想.

动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，

当PEAB时,0以叩01且-0,・・・0WKl,・••入+p£[()』];

当PEBC时为卞=1且00陷1,则九=9+1,・・・上运2,.・・入+股£[1,3];

当PWCD时,0W入-NWMg=l,Mg<X<g+1,A1<X<2,X+|ie[2,3]；

当P£AD时