思维提升 培优点3 与球有关的切、接、截问题-2026年高考数学二轮复习

培优点3与球有关的切、接、截问题

[考情分析]空间几何体的外接球、内切球、截面问题是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，

一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等,

一般出现在压轴小题位置.

考点一空间几何体的外接球

考向I柱体的外接球

例1己知三棱柱小小G的则棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上.若该棱柱的体积为V5,

止2,JC=1,NB4c=60。,则该外接球的表面积等于（）

A.87rB.97rC.IOTID.11兀

答案A

解析由48=2,AC=\.N84C=60。及余弦定理可得BC7AB?+—248-4Ccos60。

=^4+1-2x2xlx尹机，

B,

所以得+叱号中，

Z/lC5=90u,

所以底面外接圆的圆心为斜边48的中点.

设△E8C的外接圆半径为八

贝1」苦=].

因为三棱柱48cd山iG的侧棱垂直于底面，SMB^BCAC=|X>/3X1=^,

所以“'三棱^EABC-A1B1g,

所以AA\=2.

设外接球的半径为七

则代/+（明=12+]2=2,

所以外接球的表面积S=4nR2=47tX2=8兀

考向2锥体的外接球

例2（2025・佛山质检）已知球O的表面积为12兀，球面上有4B,C,O四点，DA,DB,DC与平面

力8c所成的角均为%若△4BC是正三角形，则力B等于（）

A.V2B.V3C.2D.3

答案D

解析由题意知三棱锥。为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，设其半径为火，

因为球O的表面积为4兀相=12兀，

所以R=g,

取的中点，，连接力”，CH,作DELC”于点E,根据正三棱锥的性质可知球心。在。E上，且E为

△/1AC的外心，如图所示，

根据线面角的定义知N。。哼

贝iJOEnCE,又AE=BE=CE,所以点E即为球心O,则力8=2届埼=2义百义苧=3.

考向3台体的外接球

例3（2025・齐齐哈尔模拟）已知正三棱台的上底面边长为百，高为1,体积为竽，则该正三棱台外接

球的表面积为（）

A.87tB.127tC.I671D.20兀

答案D

解析设正三棱台的下底面边长为。（心0）,

则其下底面面积为fa2,上底面面积为fx（、&）2岑，

所以该三棱台的体积为

吗X伴+平+商用XI

斗怎+3）哼，

整理可得。2+6/18=0,

因为<7>o,解得。=275,

如图，设正三棱台/6C43G的二、下底面的中心分别为5,O,则05=1,

由正三棱台的几何性质可知，其外接球球心£在直线OOi上,

正△HBC的外接圆半径为。仁2^—2,

2sm60

正△由81G的外接圆半径为0|4=马『1,

2sm600

设OE=d,若球心在线段OOi上，则O\E=\-d,

设球E的半径为R,

则心=042+/=0］洛+(1.菊2,

即4+/=1+(1，)2,解得d=-l,不符合题意，

所以球心E在射线OQ上，则OE=d+l,

所以R2=O42+小=Q洛+(“+1)2,

即4+/=1+(4+1)2,解得4=1,

所以R2=4+l=5,故该正三棱台外接球的表面积为5=4兀k=20兀

考向4可补成规则几何体的外接球

例4在四棱锥中，0/_1_平面/8。。，四边形力8CZ)为正方形，PA=4,PC与平面/"CO所

成角的大小为仇且tan伊邛，则四棱锥外接球的表面积为()

A.26兀B.28兀C.34兀D.1471

答案C

解析如图，因为4_L平面川?。，四边形川?CO为正方形,

所以可将四棱锥P-ABCD补成长方体PEFG-ABCD,

则四棱锥P-ABCD的外接球也是长方体PEFG-ABCD的外接球.

由4_L平面448,所以上〃0就是PC与严面所成的角。，

则tan%—雪，所以4c=3企，

ACAC3

设四棱锥PdBC。的外接球的半径为R,

因为长方体PEFG-A8C。的对角线尸C的长即为其外接球的直径，

所以PC=2M4c2+p〃2=J(3伪2+42=布,所以R岑，所以四棱锥尸・力改为外接球的表面积为

4兀/?2=34兀.

［规律方法］求解空间几何体的外接球问题的策略

(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径.

(2)作或面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元

素的关系)，达到空间问题平面化的目的.

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

跟踪演练1⑴(2025・长春模拟)在棱长为2的正方体"CQ-由41Goi中，棱AC的中点为E,棱。。

的中点为F,则三棱锥力-。后厂的外接球的表面积为()

A.yB.7兀C.147TD.28兀

答案c

解析设△力的外心为。，由外心的定义可知，。为线段小。的四等分点(靠近小)，则球心O在过。

且与平面力内力垂直的直线上，

以。为原点，建立如图所示的空向直角坐标系，

Z

ADi\DXG

则。倨，0,1),4(2,0,0),E(l,2,0),

设球心06，m,1),外接球的半径为R,由。4=。lgP|O4|=|0E|,

得J(/+(-m)2+(一丁

=](一丁+(2-川)2+(一机

解得加=1,从而小二。4后,所以三棱锥儿尸的外接球的表面积为4冗外=14兀

(2)(2025•南宁模拟)已知圆柱〃的底面半径为3,高为百，圆锥N的底面直径和母线长相等.若圆柱M

和圆锥N的体积相等，则圆锥N的外接球的表面积为.

答案48兀

解析圆柱M的体积为兀X3?X百=9百兀，

设圆锥N的底面半径为广，则母线长为2-，

故圆维N的高为，(2厂)2—丁2=百厂,

则圆馋N的体积为，尸争1尸，

故吊射=9百元，解得尸3,

所以图锥N的高为3V3,

画出圆锥N的轴截面对应的△8C。如图所示，记£为。。的中点，O为圆锥N外接球的球心.

贝I18£=3V5,由圆锥的性质可知球心。为△8CQ的外心，则圆锥N的外接球的半径&=O8=|BE=2V5,

故圆锥N的外接球的表面积为4兀用=48兀

考点二空间几何体的内切球

例5（1）（2025・安庆模拟）正四棱台上底面边长为1,下底面的边长为2,若一个球的球心到正四棱台各

个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为（）

A.14：兀B.7：兀

C.7：2兀D.7：V2TC

答案B

解析由题意知，该球为正四棱台的内切球，如图，作出正四枝台的轴截面图，可知这个等腰梯形的内切

圆就是该内切球的最大圆,

根据CZ>I,AB=2,设内切球的半径为R,则C〃=2R,

在中，由勾股定理得

BC2=CH2+BH2=（2R）2+（jYf,则BC=卜W

由S矽或2BEFUSMCASdBE>SdBCI，

可得罪G+1）'2/?4X7/?4X1十号网+洒解得R号

所以棱台的体积片=1X（I+4+W3^）X企考，

3

球的体积匕孕兀又仔）晋，

所以正四棱台与球的体积之比是^

1^2n

3

（2）（多选）（2025・福州质检）已知四棱锥ZM8c。的高为2,底面片8CZ）是边长为2的正方形，&=尸8,则

下列结论正确的是（）

'△PAD的面积为定值

B.ZAPD=ZBPC

C.四棱锥P-ABCD表面积的最小值为3V5+4

D.若四棱锥存在内切球，则该球的半径为亨

答案ABD

解析对于A,因为P4=P8,所以「在底面44CO上的射影Po在棱46的垂直平分线上，过Po作尸0〃垂

直4。于点“，连接

由题意可得PPo_U。，又PPGP（用Po,PPQ,POHU平面PPOH,所以4）_L平面尸尸o”,

因为PHu平面PPoH,则PHLAD,PHY,

所以△4。的面积为护故选项A正确；

对于B,由题意可得△4/）会△「水?,所以N4PD=NBPC,故选项B正确；

对于C,过点孔分别作力出C。的垂线，垂足分别为E,F,

所以当PE+尸尸最小时，四棱锥产J8CO的表面积取得最小值，不妨设P（）E=h,

则PE+PF、4+尼+必+（2-九）222点,当且仅当J4+层=,4+（2一仔,即〃=1,即为为底面正方形

的中心时取等号，所以四棱锥尸-/BCQ的表面积的最小值为22+4X^X275=4+4/5,故选项C错误；

对于D,若四棱锥存在内切球，则该球与平面/8C。、平面"。、平面28c均相切，过尸o作

尸oG垂直AC于点G,所以△尸“G内切圆的半径等于该内切球的半径，设为广，

由等面积法可得gx遥X〃X24X2X，WX2X2,解得尸与L

当四棱锥P-48C。为正四棱锥时，存在内切球，满足题意,故选项D正确.

［规律方法］空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，

在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.

跟踪演练2（2025•娄底质检）已知正六棱柱ABCDE卜-AWCiD心g的各个顶点都化半径为R的球面上,

一个能放进该正六棱柱内部的最大的球的半径为儿若18=2,则当,最小时，该正六棱柱的体积为（）

A.36B.42C.48D.24

答案A

解析设正六边形4BCDEF的中心为点、M,则点M与正六边形的任意一条边均构成等边三角形，

因此点M到各边的距离均为等边三角形的高，

即/8sin60°=\/3,

不妨设该正六棱柱的高为儿则rW?且厂WK,〃取两者之中的较小者，

显然点也是正六边形力3c。月"的外接圆圆心，且外接圆的半径为2,

因此该正六棱柱的外接球半径

若h<lR,贝I」€，

此岭陪碎

若力22百，贝ij尸百，

此时舁簪》等位，

于是当〃=2V5时，2取得最小值区又正六边形的面积为6X；X22Xsin60o=6V5,

所以该F六棱柱的体积为673X2^=36.

专题强化练

［分值:52分］

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.（2025・皖南模拟）已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面圆周都在同一个体积为竽的球面上，则该圆

柱的侧面积为（）

A.8兀B.6兀C.5兀D.4TU

答案A

解析设球的半径为凡则誓可得火=而，由圆柱的底面直径为2,得圆柱的底面半径尸1,

所以囿柱的高/?=2V/?2r2=4,

所以01柱的侧面积为2兀”?=8兀.

2.已知园锥PO的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（）

A.4：1B.3：1C,2：1D.8：1

答案A

解析如图，等边三角形P/8的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径，记内切球和外接球的

半径分别为/•和凡

则色si吗=|,所以其外接球与内切球的表面积之比为黑＞4：1.

3.（2025・广州模拟）已知球。的表面积为4兀，一圆台的上、下底面圆周都在球。的球面上，目下底面过球心

O,母线与下底面所成的角为g则该圆台的侧面积为（）

A3V3ITr31T„3V3n、-

A.——B1—C.——D.3兀

422

答案B

解析作出示意图如图所示，

设圆台的上底面圆心为。，44为圆台的一条母线，则球的半径为04=0见由题意可得/。48三，所以△

04?是等边三角形，所以/力。8三，所以N0Q8V，

36

因为球O的表面积为4兀，所以4TTXO/P=4兀，解得04=1,所以。8=/8=1,

所以5B=jOB4,

所以圆台的侧面积为兀X（l+；）><1号.

4.如图，在棱长为3+V5的正方体内恰好装入两个相外切的球。，O1,球心。，5在正方体的对角线上，

其中球02的半径为2,则球Oi的半径为（

A.lB.V2C.V3

答案A

解析设正方体为力8C£）-46iG。，

球。1,。2的半径分别为打，「2,

作出对角线小C及球心。1,。2所在的截面,如图所示,

B

B

•・•正方体的棱长为3+V3,

・・・4C=j3(3+6)2=3+3疽

在中，sinR4c小

一A丝^C一3+盘3V一33

/.sinZz4G4i一：,

-3CO2;。。2

sinZACA\-,

AM

・・・CQ=2VJ,40i十V3ri,

*.*AiC=AiO\+r\+r2+CO2»

3+3V3=V3ri+n+2+2V3,解得厂i=l.

5.已知某圆锥放置于半径为鱼的球0内，当该圆锥的体积取得最大值时，该圆锥的高为（）

A等B.V2C.孚D.2

答案A

解析由题意，要使圆锥的体积最大，则圆锥的外接球为球O,

设圆隹的高为〃，半径为一，故（/7-&）2+八=2,

则产=2夜〃㈤,

所以国锥的体积为V=^（2我力），且0<//<2^2,

所以r=1n/?（4V2-3A）,

故当0<〃v竽时，》o,当哈〃<2夜时，r<o,

JO

所以0（2企於/3）在（0,竽）上单调递增，在（殍，2a）上单调递减，

所以当力¥时，p最大.

6.（2025•临汾模拟）在三棱锥P-48C中，ZPAB=ZCAB^,AP=AB,AB+AC=6,且二面角P-M-C的大小为

g,则当该三棱锥的外接球体积最小时，力8等于（）

A.-^B.3若D§

777

答案A

解析由于//〃8=/。8三且二面角pM8-C的大小为g,

故NP4C为二面角P-43-C的平面角，即/P力。与，

由于.48_L21,AB1AC,PAC\AC=AtPA,4Cu平面2IC,故平面尸4C,

设AP=AB=Xy贝UAC=6-x,0<x<6,

在△口（7中，由余弦定理可得

PC2=x2+[6-x）2-2XxX（6-X）COS^=X2-6A+36,

则△尸力。的外接圆的半径

W-6x+36，

/Sin■不5

故外接球的半径代/+弓力域斗/心也叶⑨胃卜一月飞，

所以当咛时，外接球的半径取得最小值，此时三棱锥的外接球体积最小，故48号.

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.设一空心球是在一个大球（称为外球）的内部挖去一个有相同球心的小球（称为内球），已知内球面上的点与

外球面上的点的最短距离为1,若某正方体的所有顶点均在外球面上、所有面均与内球相切，贝虫）

A.该正方体的棱长为2

B.该正方体的体对角线长为3+V3

C.空心球的内球半径为V5-1

D.空心球的外球表面积为(12+6V3)兀

答案BD

解析设内、外球半径分别为l，R,则正方体的棱长为2/，体对角线长为2R,所以&=百几

又由题知R-r=l,所以R-*),故C错误；

所以正方体棱长为V5+1,体对角线长为3+次，故A错误，B正确；

2

所以空心球的外球表面积为4K7?2=Z(3+V3)=(12+6V3)n,故D三确.

8.(2025•宁波模拟)如图，在平行六面体MCQ-48coi中，48=2,AD尸&,BC=CCi=l,CG1CP,Z

ADC=\20°,f为。。的中点，点尸在棱8c上(包含端点)，则下列说法正确的是()

A.存在点尸，使得小尸〃平面4)/

B.存在点凡使得平面力平面力//

C.不存在点立使得

D.不存在点£使得四楂锥广C0GG有内切球

答案ABD

解析对于A,如图1,连接4。交力G于点M,则M为40的中点，连接ME,又E为CO的中点,

当产与。重合时，有ME〃4C,即ME〃小乙

因为MEu平面mOZ平面/OiE,故4c〃平面力。iE,即月小〃平面故A正确；

对于B,因为力齿=4

则力。_LDD］，而CCi//DDx,则。

又力Z)nCQ=O且都在平面4ACQ内，故。。i_L平面力ACQ,

图2

在平面49C。内过。作。于点〃，以。为原点，建立空间直角坐标系ZXqz,如图2所示,

则/g，一/0),B爵，p0),C(0,2,0),£(0,1,0),Z)i(0,0,1),

所以版=(一日，|，0)，W=(o,-i,1),

EC=(0,1,0),而=停,4°)，

设平面力。1七的法向量为〃i=(x,y,z),

3

V3X+y-O

m^AE=-T2-

则

m-EDi=y+z=0,

取z=i,则析=(V5,1,i),

设汴方=(?九-\x,0)且0W2W1,

贝廊=瓦+济俘九1一/,0),

设平面。IE/7的法向量为〃=3，b,c),

则卜巴和。+(1后山=。，

nED；=—b+c=0,

取氏学，有〃一/九-yA),

若平面力£)]E_L平面dEF,则m7i=V3--p^-^A-^=0,可得,

所以存在点凡使得平面//OiE_L平面O/R故B正确；

对于C,同B分析，可得。道=(0,2,-1),

则用=庠+济印，2-；-1),

若£>iF+EF=V10,

J（匆+（1-夕）=国,

可得“2-2a+5=同-〃2-a+1,

所以7-22+5=i0-2V10-7^2-A+1+2U+1,

贝股+6=2V1U“2-a+1,

所以39M-52i+4=0,

26±2>/T3026-27130

1],故C错误;

可得方39而39e[0,

对于D,假设存在球与平面C0AG、平面/C。、平面。C/都相切，设CE=x且x£(0,1],

图3

如图3左视图，则GF-?,CCi=l,KF=J1+手,

2sAKGF

贝ri=

,△KGF

叵

豹+唇

又球心。在平面网?。的投影为△尸CO的内心，则厂2

X+2+J/-2*+4’

要使四棱锥E-CQQiG有内切球，则门=-2在（0,1］内有解,

所以罚一餐，

整理得4+3/=x+J/-2x+4,

所以（百-I）（遍x+j4+3#尸_1,显然无解，故D正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.已知圆锥的底面半径为1,侧面展开图为半圆，则该圆锥内半径