用样本估计总体的集中趋势参数-2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026苏教版高中数学必修第二册

14.4用样本估计总体

14.4.1用样本估计总体的集中趋势参数

基础过关练

题组一平均数、众数、中位数

1.（2025江西萍乡模拟）某中学有初中生600名,高中生200名，为保障学生的身心健康，学校

举办了“校园安全知识''竞赛.现用分层抽样的方法，分别抽取初中生m名,高中生n名的克

赛成绩，经统计,（m+n）名学生的平均成绩为74分淇中m名初中生的平均成绩为72分,n名

高中生的平均成绩为x分，则x=（）

A.74B.76C.78D.80

2.（2025江苏盐城射阳中学期中）一组数据1,7,5,2,x,2,且l<x<5,x£N,若该组数据的众数唯

一，且众数是中位数的|,则该组数据的平均数为（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

3.（2025湖北部分名校期中〕某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、1200

人、800人,用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30的样本，若抽出的高一、

高二及高三年级学生的平均身高分别为165cm,168cmJ71cm,则估计该校学生的平均身

高是（）

A.166.4cmB.167.2cm

C.167.8cmD.170.0cm

4.（2025江苏盐城滨海中学期中）某校四个植树小队在植树节当天种下柏树的棵数分别为

10,x10,8,若这组数据的中位数和平均数相等，则x=（）

A.6B.8C.6或10D.8或12

5.（多选题）（2024四川雅安名山第三中学月考）为提高疫情防控意识，某学校举办了一次疫

情防控知识竞赛（满分100分），并规定成绩不低于90分为优秀.现该校从高一、高二两个年

级分别随机抽取了10名参赛学生的成绩（单位:分），如表所示：

高一747884898993959799100

高二77788487889194949596

则下列说法正确的是（）

A.高一年级所抽取参赛学生成绩的中位数为91分

B.高二年级所抽取参赛学牛成绩的众数为94分

C.两个年级所抽取参赛学生的优秀率相同

D.两个年级所抽取参赛学生的平均成绩相同

题组二频率分布直方图与平均数、众数、中位数的综合应用

6.（2025甘肃兰州期中）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的度量值，它

们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图所示的分布形态中,a,b,c分别对应这组数据

的平均数、中位数、众数，则下列关系正确的是（）

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b

7.（2025天津滨海新区期中）在杂交水稻试验田中随机抽取100株稻穗，统计每株稻穗的稻

谷数（单位:粒）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表），则下列说法错误的是（）

A.a=0.01

B.这100株稻穗的稻谷数的众数约为250粒

C.这100株稻穗的稻谷数的平均数约为256粒

D.这100株稻穗的稻谷数的中位数约为252粒

8.（2025江苏南通通州高级中学期中）对一批底部周长在［80,130］（单位：cm）内的木头进行

研究,从中随机抽取200根木头并测出其底部周长，得到频率分布直方图如图所示,由此估

II这批木头的底部周长的众数是cm,中位数是cm,平均数是

cm.

频率

9.（2025江苏连云港东海第二中学期中）现在有越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率

是一个很重要的衡量标准，女性体脂率的正常范围是20%至25%,男性体脂率的正常范围

是15%至18%,这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否肥胖.某市有关部门

对全市100万名成年女性的体脂率进行了一次抽样调查,抽取了1000名成年女性的体脂

率作为样本，并绘制出如图所示的频率分布直方图.

⑴求a;

⑵如果女性的体脂率超过30%属于“过胖”，那么全市女性中“过胖”的约有多少万人？

⑶小王说:“我的体脂率是调查所得数据的中位数小张说:“我的体脂率是调查所得数据

的平均数那么谁的体脂率更低？

能力提升练

题组数据集中趋势的估计

1.（2024安徽安庆示范高中联考）已知一组数据Xi,X2,...,X,n的平均数为

元，另一组数据yi,y2,…,yn的平均数为再丰历.若数据xi,X2,…,Xm,yi,y2,…,yn的平均数为三，且

X薮+（1-a）＞,其中则m,n的大小关系为（）

A.m<nB.m>nC.m=nD.不确定

ioioc

2.（2025辽宁模拟）已知实数xo,xi,X2,…凶。,则使g|xi-k|和Z8-k）2最小的实数k分别为

/=0/=0

X0,Xl,X2,...,X10的（）

A.中位数，平均数B.中位数，中位数

C.平均数，平均数D.平均数，中位数

3.（多选题）（2025广东佛山模拟）某市场监督管理局对9家工厂生产的甲、乙产品进行抽查

评分，且评分的平均数分别为77,60,其中A工厂生产的产品评分如下表：

分数名次（按高分到低分排名）

甲产品754

乙产品666

则在此次抽查评分中（）

A.9家工厂甲产品评分的中位数一定小于平均数

B.9家工厂乙产品评分的中位数一定大于平均数

C.9家工厂甲产品评分中一定存在“极端高分数”（高于平均数10分以上）

D.9家工厂乙产品评分中一定存在“极端低分数”（低于平均数10分以上）

4.（多选题）（2024浙江金华十校模拟）从某小区抽取100户居民进行月用电量（单位:kWh）

调查，发现他们的用电量都在50〜350之间，进行适当分组后（每组均为左闭右开区间），画出

频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为Si（i=l,2,…,6）,则

（）

频率/组距

0.0060..........---1—

0.0036-................

0.0024--I-----------------------

0.0012

°―—季一月用电量/（kW・h）

A.x的值为0.0044

B.这100户居民月用电量的中位数为175kWh

C.月用电量落在区间[150,350）内的户数为75

6

D.若问组中数据用该组区间中点值代替，则这10（）户居民月平均用电量为Z（50i+25）Si

Z=1

kW-h

5.（2025辽宁沈阳期末）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4,4,6,4,8,11,

若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能取值构成的集合

为.

6.（2025江西吉安部分学校轶考）红心掰猴桃因富含维生素C及K,Ca,Mg等多种矿物质利

18种氨基酸,被誉为“维C之王”.某收购商为了了解某种植基地的红心将猴桃品质,从该基

地的8000个红心骄猴桃中随机抽取100个来称重,其质量（单位:克）全部分布在区间

[60,120]内,将所得数据按[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100）,[100,110）,[110,120]分成6组，得到

频率分布直方图如图所示.

（1）估计这8000个红心娜猴桃中质量不小于90克的狒猴桃个数,并说明理由；

⑵若该收购商准备收购这批舜猴桃，并提出了以下两种收购方案：

方案一:所有掰猴桃均以1（）元/千克的价格收购；

方案二:小于90克的猫;猴桃以5元/千克的价格收购，不小于90克的骄猴桃以15元/千克的

价格收购.

请你就这两种方案，通过计算为该掰猴桃基地老板选择最佳的出售方案.（同一组中的数据

用该组区间的中点值作代表）

7.（2024福建三明第一中学月考）某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食

堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食,第一类是选餐，学生凭喜好在做

好的大约6种菜和主食米饭中任意选购;第二类是套餐，已按配套好的菜品盛装好，可直接

取餐;第三类是面食，如煮面、炒面等.为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度,

学校学生会在用餐的学生口对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受的等

待时间进行问卷调查，并得到以下统计图表：

类别选餐套餐面食

选择人数5()3()20

平均每份取餐时长（单位:分钟）20.51

已知食堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有240名学生在等待就餐.

⑴根据以卜调查统计，如果设置12个选餐窗口,4个套餐窗口,4个面食窗口，就餐高峰期时,

假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗U前队伍长度各自相同），求

选择选餐的同学取到午餐的最长等待时间；

⑵取餐时至多等待多长时间能让80%的同学感到满意?(即在接受等待时长内取到餐，结果

保留整数)

⑶根据以上调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，应如何优化设置各类售饭窗口数,

并给出你的求解过程.

答案与分层梯度式解析

14.4用样本估计总体

14.4.1用样本估计总体的集中趋势参数

基础过关练

m_600

可得簧=74,解得x=80.

(ni+n

2.B易得众数为2,则中位数为

2x卜3,所以将数据按照从小到大的顺序排列为l,2,2、x,5,7,则昔=3,解得x=4,则平均数为

；x(1+2+2+4+5+7)=3.5.

6

3.C依题意，容量为30的样本中，高一年级的学生人数为…「案例户0=10,

高二年级的学生人数为7^^X30=12,

高三年级的学生人数为7^稳丽,30=8,

所以估计该校学生的平均身高为纳空蒜竺3=167.8(cm).

4.D当x<8时，将数据从小到大排列为x,8,10,10,

因为这组数据的中位数和平均数相等，所以卓=字，解得x=8;

42

当8Vx<10时，将数据从小到大排列为8,x,10,10,

则早=?,解得x=8,不满足8Vx<10,故排除；

42

当x>10时，将数据从小到大排列为8,10,10,x,

则好等，解得x=12.

4

综上,x=8或x=12.

5.ABC对于A,高一年级所抽取参赛学生成绩的中位数为与史=91(分),A正确；

对于B,高二年级所抽取参赛学生的成绩中,94分出现了2次,出现次数最多，故众数为94

分,B正确；

对于C,高一、高二年级参赛学生中成绩不低于90分的都有5人,故优秀率都为50%,C正

确；

对于D,高一年级所抽取参赛学生的平均成绩为

—(74+78+84+89+89+93+95+97+99+100)=89.8(分)，

高二年级所抽取参赛学生的平均成绩为

.(77+78+84+87+88+91+94+94+95+96)=88.4(分),D错误.

6.C众数是最高矩形下底边中点的横坐标，因此众数c为从右往左数第二个矩形底边的

中点的横坐标，

直线x=b左、右两边的矩形面积之和相等，而直线x=c左边矩形面积之和大于右边矩形面

积之和，则b<c,

又数据分布图左“拖尾”,所以平均数a小于中位数b,所以a<b<c.

规律总结一般地，在单峰的频率分布直方图中,如果直方图的形状是对称的，那么平均数

和中位数大体相同,如果直方图右“拖尾”，那么平均数大于中位数，如果直方图左“拖尾”，那

么平均数小于中位数.

7.D对于A,由题中频率分布直方图得(0.0050+0.0075+0.0175+a+0.0075+0.0025)x20=1,

解得a=0.01,故A中说法正确.

对于B,最高的矩形对应的区间是［240,260),其下底边的中点的横坐标为誓竺=250,故众数

约为250粒，故B中说法正确.

对于C,稻谷数的平均数约为(210x0.0050+230x0.0075+250x0.0175+270x0.01+290x0.007

5+310x0.0025)x20=256(粒)，故C中说法正确.

对于D,稻谷数在［200,240)内的频率为(0.0050+0.0075)x20=0.25,

在［200,260)内的频率为(0.0050+0.0075+0.0175)x20=0.6,

因此中位数位于［240,260)内，设这100株稻穗的稻谷数的中位数为x粒，贝IJ

0.25+(x-240)x0.0175=0.5,解得x七254,故D中说法错误.

8.答案105;]103.5

解析由题图知,底部周长的众数是吧罗=105(cm),

因为前两组的频率之和为10x(0.015+0.025)=0.4<0.5,

前三组的频率之和为10x(0.015+0.025+0.03)=0.7>0.5,

所以中位数在[100,110)内，设为xcm,则0.4+0.03(x-100尸0.5,解得x*,

平均数是0.15X85+0.25X95+0.3X105+0.2x115+0.1x125=103.5(cm).

9.解析(1)由题中频率分布直方图得5x2a+5x0.03+5x0.07+5x6a+5x2a=l,解得a=0.01.

⑵样本中女性“过胖”的频率为5x2x0.01=0.1,

故全市女性中“过胖”的人数约为1000000x0.1=100000,即全市女性中“过胖”的约有10万

人.

⑶调查所得数据的平均数为

12.5%x0.1+17.5%x0.15+22.5%x0.35+27.5%x0.3+32.5%x0.1=23.25%,

设调查所得数据的中位数为x%,

因为体脂率在"0%』5%)内的频率为0.1,体脂率在[15%,20%)内的频率为0.15,体脂率在

[20%,25%)内的频率为0.35,且0.1+0.15=0.25<0.5,0.1+0.15+0.35=0.6>0.5,

所以20Vx<25,所以0.25+(x-2())x().()7=0.5,解得x=-y-23.57,

故调查所得数据的中位数约为23.57%,

所以小王的体脂率约为23.57%,小张的体脂率为23.25%,因此小张的体脂率更低.

能力提升练

1.B由题意可知xi+X2+...+xm=mx,yi+y2+...+yn=ny,

xi+x2+...+xm+yi+y2+...+yn=(m+n)z,J?f以rrir+np=(m4-n)z,

又5=疝+(1-a)p,所以向+n产(m+n)K(m+n)[aJ+(1-a)到，

所以m=(m+n)a,n=(m+n)(l-a),两式相减得m-n=(m+n)(2a・l)>0,所以m>n.

10

2.Ag|xi-k|=|xo-k|+|xi-k|+|K2-k|+…+|xio-k|,表示11个绝对值之和,

/=0

根据绝对值的几何意义知，绝对值的和的最小值表示距离和的最小值，

10

因为11为奇数，所以k取xo,xi,…,xio的中位数时,£|x『k|有最小值；

/=0

1010

222

X(^/-1<)=£(x？-2kxi+k)=(Ao4-xf+X2+...o)-(2xo+2x14-2xz+...+2xio)k+11k,

t=0/=0

工工工i0、

结合二次函数可知当k=时、za广

11/=0

10c

有最小值，即k为XO,XI,...,XIO的平均数时,Z(x/k尸有最小值，

/H)

故A正确.

3.ABD9家工厂甲、乙产品的抽查评分按从低到高的顺序排列的第5位都是中位数，

由75是甲产品评分从高到低的第4位即从低到高的第6位,得中位数小于或等于75,因为

甲产品评分的平均数为77,所以甲产品评分的中位数一定小于平均数,A正确；

由66是乙产品评分从高到低的第6位即从低到高的第4位,得中位数大于或等于66,

因为乙产品评分的平均数为60,所以乙产品评分的中位数一定大于平均数，故B正确；

甲产品评分可以为82,81,80,75,75,75,75,75,75,此时不存在“极端高分数”，故C错误；

对于乙产品,前六名的得分均大于或等于66,假设前六名所有评分都为66,则后三名总分为

60x9-66x6=144,所以后三名的评分中必定有小于或等于48的情况，故必存在“极端低分数”,

故D正确.

4.AD对于A,由频率分布直方图的性质可知，

(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)x5()=l,解得x=0.0044,故A正确；

对于B,因为(0.0024+0.0036)x50=0.3<0.5,(0.0024+0.0036+0.0060)x50=0.6>0.5,

所以这100户居民月用电量的中位数落在区间［150,200)1从设其为mkW.h,

则0.3+(m-150)x0.006=0.5，解得mR83,故B错误；

对于C,月用电量落在区间［150,350)内的户数为(0.0060+0.0044+0.0024+0.001

2)x50x100=70,故C错误；

对于D,由题意可知，这100户居民月平均用电量为

6

(50+25)SI+(50X2+25)S2+…+(50x6+25)S6=Z(50i+25)SikW-h,故D正确.

i=l

5.答案{-9,5,19}

解析设丢失的数据为x,则这七个数的平均数为一,众数为4,

因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，用以可分以下三种情况讨论：

若X",则中位数为4,此时可+4=2x4,解得x=-9;

若4<x<6,则中位数为x,此时—+4=2x,解得x=5;

若xN6,则中位数为6,此时手+4=2x6,解得x=19.

综上，丢失数据的所有可能取值构成的集合为{-9,5,19}.

6.解析⑴由题中频率分布直方图可知，这100个舜猴桃中，质量不小于90克的频率为

(0.()3+().025+().005)x10=0.6,

所以估计这8000个红心物猴桃中质量不小于90克的个数为8000x0.6=4800.

⑵由题中频率分布直方图可得，这批物猴桃的平均质量为

65x0.1+75x0.1+85x0.2+95x0.3+105x0.25+115x0.05=91.5(克)，

故若按方案一进行收购，则骄猴桃基地老板的收入为鬻x91.5xl0=7320(元).

由题中频率分布直方图可得，质量小于90克的每个舜猴桃的平均质量为

0.1x65+0.1x75+0.2x85

=77.5（克）,

01+01+02

质量不小于克的每个掰猴桃的平均质量为=罢(克),

90八二-二；1r

故若按方案二进行收购，则舞猴桃基地老板的收入为色竺戛迎吧=15200(元).