人教A版必修第二册高一数学下册期末检测试卷（一）

期末检测试卷（一）

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1〜

10题只有一项符合题目要求；第11〜13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选

对但不全的得2分，有选错的不得分）

1.若|z一l|=|z+l|,则复数z对应的点在（）

A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限

2.某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320,300,380.

为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为

100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为（）

A.68B.38C.32D.30

3.在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心.若

圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为（）

A.小兀B.加冗C.37cD.47r

4.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：

918990929487939691858993889893

则这组数据的60%分位数、90%分位数分别为（）

A.92,96B.93,96

C.92.5,95D.92.5,96

5.已知底面边长为1,侧棱长为陋的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为

（）

B.4兀C.2nD当

JJ

6.如图，在△A8C中，俞=紧，P是BN的中点，若亦=痴则实数m的值是（）

A4

7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△八吕仃的面积为5,且a=l,4S=〃

+d—1,则AABC外接圆的面积为（）

A.4兀B.2TIC.TCD.^

8.在边长为2的菱形A8C。中，ZBAD=60°,E是的中点，则At矗等于（）

C币D.9

9.某高校在2019年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40

人，在2019届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131,乙班学生平均分为658分，

方差为208.

则该专业所有学生在2019年高考中的平均分和方差分别为（）

A.661.5,169.5B.661J87

C.661J75D.660,180

10.袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，

直到，，和“，，平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.

利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,123代表“和、平、世、界”这

四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数

组：

232321230023123021132220011203

331100231130133231031320122103

233221020132

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）

A.!B.!C.；蝠

11.对于两个平面a,4和两条宜线/〃，〃，下列命题中假命题是（）

A.若m_La,〃?_!_〃，则〃〃a

B.若加〃a,a邛,则〃?_1_夕

C.若〃〃〃/?,a邛,则m_L〃

D.若m_La,n邛,a_L/?,则

12.下面四个命题中的真命题为（）

A.若复数z满足LCR,MZGR

B.若复数z满足Z2£R,则Z£R

C.若复数Z1，Z2满足ZIZ2《R，则Z1=Z2

D.若复数z£R,则zGR

13.为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数

据制成统计表如下,

编号

温度(℃)12345

地区

甲2629283131

乙2830312932

从表中能得到的结论有()

A.甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温

B.甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温

C.甲地该月14时气温的标准差小于乙地该月14时气温的标准差

D.甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

14.已知向量。一(x,2),Z>—(2,1),c—(3,x),若a"b、则/+c|—.

15.已知三棱锥P—若%J_平面AAC,%=A8=AC=BC,则异面直线尸B与4c所成

角的余弦值为.

16.甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4,0.508,若只有•1人击中，则

飞机被击落的概率为0.2,若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6,若3人击中，则飞机一

定被击落，则飞机被击落的概率为.

17.在△48C中，ZABC=90°,A8=4,BC=3,点。在线段AC上，若NBQC=45。，则8。

=；cosZABD=.

三、解答题(本大题共6小题，共82分)

18.(12分)已知向量。=(1,<3),6=(—2,0).

(1)求a-b的坐标以及a~h与a之间的夹角；

⑵当止［-1,1］时,求一仍|的取值范围.

19.(12分)在△48C中，内角A,B,。所对的边分别为“，b,c,已知小反osC=csin8.

⑴求角C的大小：

(2)若c=2由，△A8C的面积为6V5,求△ABC的周长.

20.(14分)某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.

①^琮；@3+4p③是虚数单位).

⑴从三个式子中选择一个，求出这个常数;

（2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证

明你的结论.

21.（14分）如图，在四棱锥产一A8CQ中，平面力8_1_平面A8CQ,8c〃平面以。，ZABC=

90°,PA=PB=

求证：（1）4。〃平面P8C；

（2）平面P8C_L平面PAD.

22.（15分）全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和坂市.文

明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为

普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两

个单位各5名职工的成绩（单位：分）如下表：

甲单位8788919193

乙单位8589919293

（1）根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪

个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；

⑵用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不

小于4的概率.

23.（15分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名

次.根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：

组别4BCDE

人数5010015015050

（1）为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层随机抽样方法从各组中抽取若干评委，其

中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.

组另IJABCDE

人数5010015015050

抽取人数6

(2)在(1)中，若A,8两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委

中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.

答案

1.B

2.D

3.A

4.D

5.D

6.C

7.D

8.D

9.B

10.A

11.ABC

12.AD

13.AD

14.5^2

15坐

16.0.492

510

18.解（\）a-b=（\,小）一（一2,0）=（3,小）,

所以。一力的坐标为（3,小）.

设a-b与〃之间的夹角为0、

（g-b）a3X1+，§X小小________口八71

则cos<9=-----=~/==0>而故<9=7.

\a-b\\a\^/9^+3xV/—l7+3"2QWBWTI,6

（2）因为。一力=（1,4）一/（一2,0）=（l+2f,小），

所以『=一义时，|a—也取最小值为小，

1=1时，|°一制取最大值为2小，故|〃一砌的取值范围为2小］.

}■)(・

19.解⑴由正弦定理研=4，

得小sinBcosC=sin3sinC,

在△八BC中，因为sinBrO,

所以x/5cusC=sinC,

故tanC=小，

又因为OVCVTT,所以C=*

(2)由已知，得5a加inC=s/5.

又C=g,所以《力=24.

由已知及余弦定理，得/+〃2-2aAosC=28,

所以/+82=52,从而(a+b)2=iQQ即«+b=10,

又c=2巾，

所以△ABC的周长为10+2市.

”包,「2+i(2+i)(l+2i)2+4i+i—2.

20.解(1)i-2i-(|-2i)(l+2i)-5-b

-4+3i(-4+3i)(3-4i)-12+I6i+9i+12

3+4i=(3+4i)(3-4i)=25=】'

-1-i(-l-i)(-l-i)l+2i-l

-l+i=(-l+i)(-l-i)=-2-=L

(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，可以得至小

(，=i(a,8㊂氏且〃，不同时为零)，

下面进行证明:

a+/i

要证明

b-a\

只需证a+bi=i(8—ai),

只需证"+历=a+历，

因为上式成立，所以若=i成立.

(或直接利用复数的乘除运算得出结果)

21.证明(l)：BC〃平面例。，而BCU平面人BCD,

平面A8C1X1平面f^\D=AD,J.BC//AD.

•••AZXt平面尸8C,8CU平面P8C,

，A。〃平面PBC.

(2y：PA=PB=^AB,满足以2+尸42=入",

：.PALPB.

由NA8C=90。知BCVAB.

又•・•平面以3J_平面ABCD,

平面南RD平面BCU平面ABC。，

・・・BC_L平面PAB.

又•；%(=平面以从：.BC±PA.

又*：PBCBC=B,P/3U平面P8C,BCU平面PBC,

，以_1_平面PBC.

又•・•必u平面以。，，平面P8C_L平面以D

行一87+88+91+91+93

22.解(1)A-==---------------------=90,

—85+89+91+92+93八八

Xz.==90,

I24

22222=三，

s4=7J((87-90)+(88-90)+(91-90)+(91-90)+(93-90J)]

si=1[(85-90)2+(89-90)24-(91-90)2+(92-90)2+(93-90)2]=8,

显然不■=5「，Kv"可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工比乙单位的职

工对文明城市知识掌握得更好.

⑵从乙单位5名职工中随