2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义：第12题 隐藏的对称性：三次函数两平行切线间距（学生版+解析）

第16题隐藏的对称性：三次函数两平行切线间距（解透

一题）

【浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期期末联考数学试卷】

设函数=f+|f+0.若函数y=/（x）在.丫=曲和x=/+l的切线互相平行，则两平

行线之间距离的最大值为（）

■解透一题•方法

【方法一】读译化法

V3

思路分析’本题给出函数/（文）=*'+]/+如，条件是函数广巩r）在犬=/和x=x（）+l的

切线互相平行，要求两平行线之间距离的最大值.关键右于通过函数导数求出切线斜率，利

用切线平行建立等式，进而得到两平行线间距离表达式，再求其最大值.

）对函数/（幻=丁+白/+水求导，依据求导公式（父），=

详细解析心"T可得:

广(x)=3f+3x+a

■解透一题•训练

已知函数y=/(x)在x=.%和x=x0+i的切线互相平行，根据导数的几何意义，函数在某点

处的导数即为该点处切线的斜率，所以/(%)=/*。+1).

即3%+3与+a=3(/++3(/+1)+a,即

3%：+3.0+a=3(x：+2x0+l)+3x0+3+a

3.r；+3x0+a=3x：+6x0+3+3/+3+a

3厮+3/+a—3芯—6x(,-3—3%—3—a=0

-6x0-6=0

玉,=-1

将而=-1代入r（x），可得/（-1）=3-3+。=。，即两切线的斜率均为a.

3I।

将题=—1代入/(x)，可得八一1)=-1+：-。=另一4,所以切点为(—1,5—a).

乙乙乙

将士+1=0代入/(力,可得"0)=0,所以切点为(0,0].

根据点斜式方程y-y=z(x—x)(其中(为，乂)为直线上一点，\\伏\\)为直线斜率),

根据两平行直线At+£y+G=0与Ar+8y+G=0(A、8不同时为0)间的距离公式

IC,-CJ1।

d=]I，在户一1处的切线方程为y—（不。）=。0+1）,+—F2«=0；

\IA-+B-22

在A—0处的切线方程为＞=av,即4%—)=0,

|1|

则的平行线间的距离"一2.因为/之0,所以当。二0时，d取得最大值，

荷+(—/

方法点评

利用导数求切线斜率：通过对函数求导，得到函数在某点处的切线斜率表达式，这是解决函

数切线问题的基础.

根据切线关系建立等式：若切线平行，则斜率相等：若切线垂直，则斜率之枳为T等，以

此建立关于切点横坐标等未知屋的等式求解.

求切线方程：利用点斜式y-)%=r(Xo)(x-厮)(其中(为为)为切点)求出切线方程.

|c-c|

求平行直线间距离：使用平行直线间距离公式d2求两条平行切线间的距离，并结

VA2+B2

合函数性质求最值.

【方法二】构造处理方程f(a);f(b)

।在高考中处理函数满足/,)=/(〃)的问题，采用代数变形方法，设

思路分析

f(a)=f(b)=k,将其转化为代数方程，则。为是/")=&,可以利用韦达定理求根之和或

积，可以思考运用对称性分析，若J(x)是二次函数，其对称轴为X=等，则/(〃)=/(〃)

必然成立.

详细解析

3

对函数““=丁+5/+仃求导，可得f,(x)=3x2+3x+a.

已知函数y=/("在x=%和x=x0+i的切线互相平行，所以小/)=/'(%+1).

令/(•%)=/(/+1)=%

则与和工+1为二次方程々=3x2+3x+。的两根,

^+Ao+1--1r

1AI

切点为-1，和(0,0),切线方程为y=〃(x+l)+3-。和)'=心,

由两线距离公式得□<1,最大值;在。=0时取得.

CI―――1■'S-Z

2

方法点评构造方程，借助韦达定理求根之和或积，极大优化了化简处理过

程.

【方法三】对称法

思路分析

若函数图象关于点对称，则对称中心两侧的任意一对对称点P(%%)和

。(2〃-与»-%)具有切线斜率对称性：

1.导数关系：点。和。处的切线斜率相等；

2.几何意义：两切线关于对称中心,力)呈中心对称.若点尸处切线方程为

y="+c,则点。处切线方程为)=刈2〃-与)+4,且两条切线关于点(。⑼对称.

详细解析

【解析】

【详解】/(x)=x3+-x:+or=[x3+-x2+-X+-|+ar--x--

八，2V248j48

/（司二尸+'/+这是中心对称图形且关于（一;,;一§,

函数y=/（"在x=%和k=%+1的切线互相平行,

故/,%+1关于-g对称，所以/=一1，X=与+1=0

/'（x）=3f+3x+a,/'（0）=〃，所以在尸0处的切线方程为尸奴，即如一y=0

百

两平行线之间距离等于中心到一切线距离的2倍，-x,4.因为/之0,所以

十（-

当折0时，d取得最大值g.

方法点评

若函数图象上某两点的切线斜率相等且满足坐标对称关系，可推断图象关于某点对称.已知

对称性时，可利用对称点性质减少题目运算量.

二方法总结///

三次函数的对称性为解决极值点、切线、零点等问题提供了结构化思路,通过对称中心坐标、

极值点对称分布、切线斜率关系等性质，可大幅减少计算量.

当对称中心为原点（0,0）（0,0）时，函数为奇函数八-#=•/*）：对称点对为（如〃/））和

(-/,-/(%))•

导数满足/'（-/）=/'伉），即切线斜率相同，但切线方程分别为产/'伉）（厂.“）+/（/）和

y=r（Xo）（x+N））-/（•%），两者关于原点对称.关注训练题I的处理方法.

【类题，题目命制关键”X）是奇函数，得到两条切线关于原点对称，故两条平行线距离为

原点。到点A处切线的距离的2倍】

1.若函数〃x）=x-也坦在不同两点4（4/（%）），B（W，/（W））处的切线互相平行，则这

X

两条平行线间距离的最大值为.

【强化两平行线之间的距离】

2.若直线x+y-1=0和依+2.y+l=。互相平行，则两平行线之间的距离为

A.—B.拉C.—D.—

224

【平行线问题距离最值问题】

3.两平行线4,，2分别过点耳(2,0)与£(0,9).设4与4之间距离是d,求d的取值范围

为.

【三次函数对称性与平行线问题拓展】

4.设函数f(x)=2x3-3(。+l)x2+6ax+i(aeR).

(1)当x>U,3］时,/(x)的最小值为5,求。的值：

(2)当a=T时,设4%乂),3(以必)(*A.)是函数/㈤图象上的两个动点,且在A,B

处的两切线44互相平行，求证：直线A8必过定点，并求出此定点的坐标.

【三次函数切线平行拓展到两函数切线平行】

5.设函数/(1)=(工一1)2,8(%)=〃(111%)2,其中々€/?,且〃工0.

⑴若直线XX(e为自然对数的底数)与曲线)，=/(力和好爪”分别交于A、B两点，且

曲线)，=/("在点A处的切线与曲线丁=屋力在点3处的切线互相平行，求。的值：求的

值；

⑵设〃(x)=/(x)+〃?lnx(〃作/?,且"7工0)有两个极值点看,/,且玉<公,证明：

心,)>3.

第16题隐藏的对称性：三次函数两平行切线间距(解透

一题)

【浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期期末联考数学试卷】

3

设函数”x)=V+/+仃.若函数)，=/(6在X=和X=.7+1的切线互相平行，则两平

行线之间距离的最大值为()

"解透一题*方法

【方法一】读译化法

VQ

思路分析।本题给出函数〃力二丁+不/+"，条件是函数产4%)在x=%和％=与+1的

切线互相平行，要求两平行线之间距离的最大值.关键在于通过函数导数求出切线斜率，利

用切线平行建立等式，进而得到两平行线间距离表达式，再求其最大值.

3

详细解析，对函数/W=X3+—+公求导,依据求导公式(工")'=，4"可得:

2

r(x)=3f+3x+a

///

已知函数y=/(x)在x=%和x=%+i的切线互相平行，根据导数的几何意义，函数在某点

处的导数即为该点处切线的斜率，所以/'(%)=/Uo+1).

即3片+3x0+a=3(/++3*0+\)+a,即

3x：+3x0+a=3(x；+2.%+1)+3x()+3+〃

3x：+3x0+a=+6x0+3+3/+3+a

3.¥Q+3x0+(i—3xj—6x0—3—3x0—3—a=0

-6x0-6=0

将题=-1代入r(x)，可得/'(-1)=3-3+。=〃，即两切线的斜率均为〃.

a11

将七二T代入/(x)，可得=+所以切点为(—I,]—。).

将3+1=0代入〃力,可得"0)=0,所以切点为(0入).

根据点斜式方程y—y=z(x—%)(其中(怎，乂)为直线上一点，\\伏\\)为直线斜率),

根据两平行直线AI+8.V+G=0与Ar+a，+G=0(A、8不同时为0)间的距离公式

|C-CdII

4=J⑷；，，在户一1处的切线方程为y-q-a)=a(x+D,即ax-y+]+2a=。：

在》二0处的切线方程为)二尔，即ax-y=0,

ill

则两平行线间的距离"一2.因为/20,所以当。=0时，d取得最大值，

加+"1)2

方法点评

利用导数求切线斜率：通过对函数求导，得到函数在某点处的切线斜率表达式，这是解决函

数切线问题的基础.

根据切线关系建立等式：若切线平行，则斜率相等：若切线垂直，则斜率之积为T等，以

此建立关于切点横坐标等未知量的等式求解.

求切线方程：利用点斜式y-%=r(xj(x-%)(其中(%,兄)为切点)求出切线方程.

求平行直线间距离：使用平行直线间距离公式平=求两条平行切线间的距离,并结

y/A2+B2

合函数性质求最值.

【方法二】构造处理方程f(a尸f(b)

,在高考中处理函数满足/(。)=/仅)的问题，采用代数变形方法，设

思路分析

f(a)=f(b)=k,将其转化为代数方程，则是〃x)=k,可以利用韦达定理求根之和或

积，可以思考运用对称性分析，若/(A-)是二次函数，其对称轴为、=等，则/(〃)=/9)

必然成立.

详细解析

2

对函数/“）=尸+；/+6求导，可得r（x）=3x2+3x+«.

已知函数.V="力在x=%和x=,%+1的切线互相平行，所以八%）=f（x0+1）.

令/&o）=/（/+D=k

则见和+1为二次方程k=3x2+3x+a的两根,

*+$+1=-13=7

/、a-k>解得［.

%(%+1)=丁Ia=k

1Ai

切点为-1，5-。和（。,。），切线方程为），=。卜+1）+弓-4和尸叫

、乙）2

由两线距离公式得Li1,最大值;在a-0时取得.

a—--'S-2

2

方法点评构造方程，借助韦达定理求根之和或积，极大优化了化简处理过

程.

【方法三】对称法

思路分析

若函数图象关于点（。/）对称，则对称中心两侧的任意一对对称点P（为稣）和

Q（2a-马加-%）具有切线斜率对称性：

1.导数关系：点尸和。处的切线斜率相等；

2.几何意义：两切线关于对称中心（。力）呈中心对称.若点0处切线方程为

y=H+c,则点。处切线方程为），=攵（2〃-/）+”,且两条切线关于点（〃/）对称.

详细解析

【解析】

3,33131

【详解】/(x)=x3+—x'+av=x'+—x~2+—x+-+av—x—

2248J48

/（x）=V+9+如是中心对称图形且关于（-另-9，

函数y=/（"在X=%和-V=%+1的切线互相平行，

故与，M+1关于一;对称，所以用=-1,x=^+l=O

/'（x）=3f+3x+a,r（0）=*所以在40处的切线方程为产ov,^ax-y=O

I』

两平行线之间距离等于中心到一切线距离的2倍，”2x,4.因为片之0,所以

亚+（-

当4=0时，d取得最大值g.

方法点评

若函数图象上某两点的切线斜率相等且满足坐标对称关系，可推断图象关于某点对称.已知

对称性时，可利用对称点性质减少题目运算量.

III

J方法总结///

三次函数的对称性为解决极值点、切线、零点等问题提供了结构化思路，通过对称中心坐标、

极值点对称分布、切线斜率关系等性质，可大幅减少计算量.

当对称中心为原点（（），0）（0,0）时，函数为奇函数次-幻=峨戈））：对称点对为（A）J（X。））和

(-/，-/(玉)).

导数满足r（F）=r（不）,即切线斜率相同，但切线方程分别为y=r（*（xr））+/（,%）和

），二/伉）（工+不）-/（“，两者关于原点对称.关注训练题1的处理方法.

【类题，题目命制关键〃X）是奇函数，得到两条切线关于原点对称，故两条平行线距离为

原点0到点A处切线的距离的2倍】

1.若函数比在不同两点A&,/（%））,川孙/伍））处的切线互相平行，则这

X

两条平行线间距离的最大值为.

【答案】272

【分析】先对函数/（X）求导，得导函数是偶函数，由/（X）在4,B两点处切线互相平行,

可得用=-&,计算原点。到点A处切线的距离的最大值后可得两条平行线距离最大隹.

【详解】由题意有广（%）=1+也9=*,设斗人小一

(K>0),

处的切线方程为11+今1x2晔1)

所以函数/（X）在点Ax-y-----------0-,-

I一王

所以原点O到点A处切线的距离为

2<22-2x~=2及(&+1)，

2（x/2+l）2（V2+1）

斫以d«，'----=,、/<

一12.回）+2（&+1）/2（向吟厂

当且仅当M=二业时等号成立，

12

因为尸（另是偶函数，且/（力在A,8两点处切线互相平行,

所以$=-再，即“X）在A,B两点处切线关于原点对称，

所以这两条平行线间的距离的最大值为2夜.

故答案为：2垃.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用/'（X）是偶函数，得到两条切线关于原点对

称，故两条平行线距离最大值即为原点。到点A处切线的距离最大值的2倍.

【强化两平行线之间的距离】

2.若直线x+）」l=0和6+2y+l=0互相平行，则两平行线之间的距离为

A.—B.&C.逑D.延

224

【答案】D

【分析】根据两直线平行求得。=2,再其中一条直线上取一点，利用点线距公式求解即可;

【详解】因为直线1+丫-1=0和or+2y+l=0互相平行，所以。=2,

在直线X+)=1=。上取点P(LO)，则点P到直线2x+2)，+1=0的距离为

d」2xl+2x()+l|_3夜

=6+2?一丁

故选：D.

【平行线问题距离最值问题】

3.两平行线4，4分别过点以2.0)与鸟(0.9).设4与｛之间距离是d,求d的取值范围

为.

【答案】(0,相］

【分析】由过定点的两条平行直线可得，极限思想可得出其最小要大于重合时的距离，最大

时为与直线［鸟垂直时.

【详解】由极限思根可得，两直线的距离d>0,

而当平行线4，4与直线《鸟垂直时，两平行线的距离最大，即4皿=归2|=屈，

所以，de(0,庖］.

故答案为：(。，屈］

【三次函数对称性与平行线问题拓展】

4.设函数/(x)=-3(。+l)x2+6av+l(«eR).

(1)当xeU，3］时，/(x)的最小值为5,求。的值：

(2)当。=-1时，设4%,)1),3(%2，%)&工巧)是函数/㈤图象上的两个动点，且在4,B

处的两切线《4互相平行，求证：直线A6必过定点，并求出此定点的坐标.

【答案】⑴2；⑵证明见解析，(0.1).

【分析】(1)求函数/*•)的导数，利用最值和单调性之间的关系，讨论“，利用/(x)的最

小值为5,建立方程关系，求解即可得到结果.(2)当。=-1时，化简方程，利用导数的几

何意义，建立斜率的等式关系，可知玉=-々，代入求解过A、8两点的直线斜率，点斜式

求直线A8的方程，可求出定点.

【详解】(1)解：f'a)=6(x-l)(i),

①当时,在区间口,3］上是单调增函数,最小值为/'⑴，由于〃1)=5,即

2-3（a+l）+6〃+l=5,解得。=2>1（舍去）；

3

②当1<々<3时，，（力在区间（La）上是减函数,区间S3上是增函数，故/伍）为最小值，

f（a）=5,即a?一3/+4=0,即（〃+1）（〃-2>=。，

Aa--\（舍去）或a=2；

③当时，在区间［13上是减函数，最小值为〃3）,由/（3）=5得

23

54-27（a+l）+l8«+l=5,解得。=万<3（舍去）.

综上所述，4=2.

（2）证明：当。二一1时，/（幻=2/-64+1,八外=6/一6,则小4的斜率仁二6工；-6,

k2-6x?-6.

2xx

,/lj/l2,ki=k2,即6A1-6=6XJ-6,又；用工马，i=-2.

._y2-y_（2g_64+1）—（2x：一6菁+1）_2代--6（x2-x（）

**kAB=~==

x2-x}x2-Xx2-X）

2

=2（x；+xAx2+Xj）-6=2A,-6,

A8的方程为y-（2x；-6%+