隐圆问题3种模型（原卷版）-中考数学全国

专题13隐圆问题3种模型

压轴题密押

通用的解题思路:

隐圆一般有如下呈现方式：（1）定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心,

等线段长为半径构造辅助圆；（2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角

转化为圆周角构造辅助圆。当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。（3）四点共圆：对角互补的四

边形的四个顶点共圆。隐圆常与线段最值结合考查。

压轴题预测

类型1：定点定长

1.（2023•新城区校级三模）圆的定义：在同•・平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形.

（1）已知如图1,04=04=0。，请利用圆规画出过力、B.C三点的圆.若乙408=70。，则乙4。4=

如图，RQABC中，ZABC=90°tN4G4=30。，AB=2.

（2）已知，如图2.点P为4C边的中点，将4。沿A4方向平移2个单位长度，点力、P、。的对应点分

别为点。、E、F,求四边形82小。的面积和的大小.

（3）如图3,将力。边沿4。方向平移a个单位至。尸，是否存在这样的a,使得直线上有一点。，满

足/801=45。且此时四边形尸的面积最大？若存在，求出四边形8/0广面积的最大值及平移距离a,

若不存在，说明理由.

2.（2024♦兰州模拟）综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三用形为背景，探究图形变化过程中的几何问

题,如图，在A/出C中，AB=AC,N8/C=90。，点O为平面内一点（点力，B,。三点不共线），AE

为必8。的中线.

【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长/E至点〃，使得=连接DM.始终存在以下两

个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：

®DM=AC；②NMZM+NO48=180。；

【类比探究】（2）如图2,将力。绕点力顺时针旋转90。得到力”，连接小斌同学沿着小林同学的思考

进一步探究后发现：AE=-CF.请你帮他证明：

【拓展延伸】（3）如图3,在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点。在以点力为圆心，力。为半

径的圆上运动（力。〉力4）,直线AE与直线。尸相交于点G,连接8G,在点。的运动过程中8G存在最大

值.若48=4,请直接写出8G的最大值.

图1图2图3

7

3.（2022•番禺区二模）已知抛物线y=+公一一①>（））与、轴交于点力，4两点，OA<OB.44=4.其

顶点C的横坐标为-1.

（1）求该抛物线的解析式：

（2）设点。在抛物线第一象限的图象上，OE_L/C垂足为七，。///y轴交直线力。于点/，当AD七厂面

积等于4时，求点。的坐标：

（3）在（2）的条件下，点用是抛物线上的一点，M点从点6运动到达点C',卜M上kN爻直线BD于点

N,延长M尸与线段。石的延长线交于点”，点?为N,F,，三点构成的三角形的外心，求点?经过的

路线长.

4.（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何

问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.

例如：如图1,在A/14C中，AB=AC,N8/1C=8O。，。是A44C外一点，且力。=4C,求N4OC的度

数.若以点力为圆心，48为半径作辅助圆。力，则点。、。必在GM上，NA4c是。力的圆心侑，而/4OC

是圆周角，从而可容易得到N8Z）C=.

（2）问题解决：

如图，在四边形力8c。中，NBAD=NBCD=90°,ZBDC=25°,求NB/IC的度数.

（3）问题拓展：

抛物线歹=-2（X-I）2+3与歹轴交于点力，顶点为4,对称轴8c与x轴交于点C,点尸在抛物线上，直线

4

尸0//BC交x轴于点0,连接80.

①若含45。角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点。在8。上，另一顶点上在

PQ上,求。的坐标；

②若含30。角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点。在8。上，另一个顶点E在P0上，点。与点

“，点。不重合，求点P的坐标.

类型2：定弦定角

1.(2022•雁塔区校级三模)问题提出

(1)如图①，已知A44C为边长为2的等边三角形，则A/出。的面积为—：

问题探究

(2)如图②，在&48C中，已知/胡。=120。，BC=60求。的最大面积；

问题解决

(3)如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形488,其宽力8=20米，长8C=24米，为了能够监控到

礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CO上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端

墙面区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点例出发的观测角/4%=45。，请你通过所学知识

进行分析，在墙面C。区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度：若不存在，请说明理

由.

2.（2023•海桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，&48C为等腰三角形，ZC=120°,力C=3C=8,D

是,48上一点，且CO平分A44c的面积，则线段CO的长度为.

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试分析和判断MBC的面积是否存在最大值,

若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会

场旁规划一个四边形花圃满足6C=60（）米，。。=3（）0米，ZC=60°,Z.A=60°,主办方打算过

6C的中点M点（入口）修建一条径直的通道（宽度忽略不计）其中点£（HID）为四边形/SC。边

上一点，通道"E把四边形48CD分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供

影迷休闲观赏.问是否存在满足上述条件的通道ME?若存在，请求出点力距出口的距离4E的长：若不存

在，请说明理由.

3.(2023•柯城区校级一模)如图，点/与点〃的坐标分别是(L0),(5,0),点尸是该直角坐标系内的一个

动点.

(1)使449=30。的点尸有个；

(2)若点尸在y轴上，且乙仍9=30。，求满足条件的点尸的坐标；

(3)当点。在y轴上移动时，乙4P8是否有最大值？若有，求点。的坐标，并说明此时4P8最大的理由;

若没有，也请说明理由.

%

5

4

3

2

1AB

-4-3-2-1O12345^

-2

-3

-4

类型3：四点共圆

1.（2022•中原区校级模拟）阅读下列材料•，并完成相应的任务.

西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点

作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）.

某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理.

如图（1）,已知A48C内接于点Q在。。上（不与点力，B,。重合），过点尸分别作

AB,BC,4C的垂线，垂足分别为点。，E,F.求证：点。，E,尸在同一条直线

上.

如F是他们的证明过程（不完整）：

如图（1）,连接。4,PC,DE,EF,取尸C的中点。，连接。石.QF,

则EQ=QQ=gpC=PQ=C0,（依据1）

•.♦点E,F,P,。四点共圆，

/.ZFCP+ZFEP=i80°.（依据2）

又尸=180°,

AFEP=Z.ABP.

同二可得点4,D,P,£四点共圆，

任务：

（1）填空：

①依据1指的是中点的定义及—;

②依据2指的是—.

（2）请将证明过程补充完整.

（3）善于思考的小虎发现当点P是数的中点时，BD=CF,请你利用图（2）证明该结论的正确性.

2.(2021•哈尔滨模拟)(1)【学习心得】

于形同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以

使问题变得非常容易.

例如：如图1,在A48c中，AB=AC,ZBAC=90°,。是A44c外一点，且力。二力C,求。的度

数.若以点力为圆心，力8为半径作辅助。力，则点C、。必在。力上，/加C是。4的圆心角，而N8QC

是圆周角，从而可容易得到N3Z)C=°.

(2)【问题解决】

如图2,在四边形处?CO中，^BAD=ABCD=90°,ABDC=25°,求/历1C的度数.

(3)【问题拓展】

如图3,如图，E,尸是正