均值不等式（学生版）

均值不等式

（要点提炼:\

1.二元基本不等式

2.分式不等式

3.柯西不等式

（4.权方和不等式J

一、知识点梳理

1.二元基本不等式

（1）。+822，石（〃,。＞0）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况

（2）,心《（史叱]:多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况

I2]

（3）1+序22出?，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等

式的适用范围。,。£宠

（4）利用均值小等式求最值遵循的原则：“一止二定三等“

2.分式函数求最值

⑴仆）=竺业型.

X

ZYY+/h

对干形如/（X）=——的函数，总可以变换成/（1）=4+—转化为反比例函数进行求解.

XX

（2）“6二竺女型.

cx+d

对于形如/（不）=竺士乌（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元r=cx+d,可转化为

cx+d

/（。二旦詈的形式，进而上述（1）中进行求解.

（3）y二竺二处小型.

X

形如y=的函数可通过分离常数转化为y=+的形式，进而可依靠），二X±q的图像

XXX

（即双勾函数或飘带函数）来研究，再求出值域.

2

//、ax+bx+c

（4）y=--------------型#|.|

dx+e

形如丁=竺上处工£可通过换元T=dr+e将问题转化为（3）,然后进行求解.

dx+e

共同点：让分式的分子变为常数

3.“1”的代换

mninn

已知如+用，=1（。,b均为正数），求一+一（，〃，"，x，y均为正数）的最值，或者”+勿=/加，求一+一

xyxy

的最值（见唯均为正数）.

这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求

较高，需要重点突破.

4.n元均值不等式

设4,生，…，〃〃均大于零，则记Q“+…，4=4+生；"+"”

______H=___________

3=弧—“_」_+_1十…+_L，则°>A>G>H，其中等号成立的条件是

q6凡

—…一”认，3也分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平坳

5.柯西不等式

若4.也eR（i=l,2,…则（£心（力岑）2这她/,当且仅当4=屹（1=1,2,…时等号成立.

i=lf=lf=l

2

6.权方和不等式

匕+92哼（速解“1”的妙用）

aba+b

3

二、题型归类

1.基础和积转换

例I.若实数X，〉满足：x,y>0,3xy-x-y-\=0,则冲的最小值为()

A.IB.2C.3D.4

【变式练习】

1.若。>0,6>(),且M=3a+3b+27,则曲的最小值为()

A.9B.16C.49D.81

2.若正实数MV满足24+8)，-町，=0,则二一的最大值为()

x+y

2.分式不等式

例2.求函数/(x)=(x>2)的值域.

x-2

4

【变式练习】

（/+5）。+2）的最小值为

1.设上＞一1,求函数y二

x+1

2.已知x>l,则立2的最小值为（）

x-l

A.6B.8C.10D.12

3.“1”代换

例3.已知x＞0,），＞（）,且2x+y=封，则x+2y的最小值为（）

A.8B.8及C.9D.9/2

【变式练习】

1.已知正实数。力满足。+〃=5=,则-4-+--9的最小值为（）

3a+2b2a+b

A.6B.5C.12D.10

5

]+y

2.正实数x,y满足x+y=i,则一+”勺最小值是（

A.3+2V2B.2+2V2

4.先换元再均值

例4.已知正实数X,），满足=1,则x+），的最小值是

x+3y2x+y

【变式练习】

1112

1.已知。＞二力＞二，-+-=7,则+的最小值

23ab2a-l3/7-1

2.已知x＞0,），＞0且七+十二|,则中的最小值为----------

5.权方和不等式

例5.已知正实数4〃满足〃+0二：5,则一4不+一9工的最小值为（）

3a+2b2a+h

A.6B.5C.12I).10

6

【变式练习】

1.已知正数x,y满足％+y=1,贝！5+/的最小值为一

2.设x,yw/?+,且x+y=l,则二一十二一的最小值为

x+2y+1—

6.柯西不等式

例6.已知x,y,z«=R,且x+y+z=l则/+/+]?的最小值是（）

12

A.1B,-C.-D.2

【变式练习】

1.函数/（力=3J4—3x+J3x-2的最大值为（）

A.2亚B.2gC.12D.20

7

2.由柯西不等式，当x+2），+z=4时，4+J7+后的最大值为（）

A.10B.4C.2D.V10

【过关检测】

I.求函数），=/（3—2x）（0<x<|）的最大值

2.若则勺署的最小值为（）

A.2B.4C.5D.6

3.已知止实数四满足=L则黑的最小值为（）

A.3B.9C.4D.8

8

4.若x>(),y>0,x+3y=\,则#-的最大值为（)

3x+y

]_1

A.BC.—D.

9-A1620

5.已知实数乐,‘满足f—孙+V=i,则x+y的最大值为

A.1B.2C.3D.4

6.若实数x，y满足f+V+xy=],则x+y的最大值是

B考

A.6C.4

22

7.已知x＞）＞0,则士工的最小值是（）

孙一>,

A.2+6B.>/5+2C.2及+2D.2

9

8.已知m/?＞（）,a+b=5,则Ja+1+，+3的最大值为（）

A.18B.9C.3亚D.2y/3

9.若实数x+2y+3z=l,则X2+/+z?的最小值为（）

A.14B.—C.29D.—

1429

io.已知正数4,y,z满足x+），+