2026高考数学复习（湘教版）教材拓展8 空间几何体的截面及交线问题

教材拓展8空间几何体的截面及交线问题

题型一多面体中的交线问题

i.利用相交平面有且只有一条过交点的直线寻找交线，即只需找相交平面的两

个公共点，两点连线就是交线.

2.利用线面平行与面面平行的判定定理寻找线面平行及面面平行，再利用性质

作出交线.

3.对于球与多面体的交线长问题，根据交线的不同有两种计算方法：一是利用

弧长公式计算，只需找出弧所对的圆心角即可；二是转化为截面小圆计算，只需

找到小圆半径即可.

典凰H（2020•新高考I卷）已知直四棱柱力BCQd向GA的棱长均为2,ZBAD

=60。.以A为球心，而为半径的球面与侧面BCCB的交线长为.

答案：丫⑵“

解析：易知四边形小BiGQi为菱形,N囱小。i=60°,连接囱易,则△SGQ1

为正三角形，取81G的中点。，连接，O,易得。。所以"O_L平面

8CG8.取88的中点E,CG的中点E连接D】F,OE,OF,EF,易知

DiE=D\F=®易知以。i为球心，遥为半径的球面与侧面8CG8的交线是以

。为圆心，OE为半径的疑，因为8E=8Q=1,所以。E=尤，同理OF=&,

易知EF=2,所以NEOF=900,所以3的长=：x（2兀x何=亨.

对点练1.在四面体力8C。中，AB,AC,力。两两垂直且48=力。=%。=6，

以。为球心，2为半径的球。与该四面体每个面的交线的长度之和为（）

A.B.兀

6

C.yD.y

答案：D

解析：由题意得△,4CD,A48C为等腰直角三角形.设球C与妁边

CD,4。分别交于点M,N,如图①所示，设球。与Rt△4的边4B,CB分

别交于点〃，G,如图②所示.易得cos/ACN等,则N4CN=g,AN=ACtan

L6

7=1,所以NNCM=N4CD—N/CV=£-m=g所以项的长=2X^=g同

64612126

理，G”的长=..在内，如图③所不,因为/1H=4N=^22—(J5)=1,

/HAN=3则项的长=IX；=：.

在△8。。内，如图④所示，易知俞是以顶点C为圆心，2为半径，圆心角为T

的弧，则俞的长=2X?=§,所以球C与该四面体每个面的交线的长度之和为

+3+g=?.故选D.

ooZ5Z

对点练2.（2024•四川成都二模）在所有棱长均相等的直四棱柱

中，/5/。=60°,点P在四边形力小囱8内（含边界）运动.当GP=?CG时，

点P的轨迹长度为g,则该四棱柱的表面积为（）

A.16+48B.8+2百

C.4+V3D.4A/3

答案：A

解析：设棱长为防延长小S,过点G作G。垂直于4向的延长线于O,由

ZBAD=60\可得0当三,小。=等；由直四棱柱的性质可得，GO_L平面

AABB,OPu平面A4山山，所以GO_LOP；因为©尸=与。6=%所以。产

=JC/2一的。2=。.在平面AATBTB内,点。的轨迹是以。为圆心，。为半径的

圆夹在四边形4小8山内的部分，即图中圆弧EE因为。4=去OF=a,/OB\F

=90°,所以因为点尸的轨迹长度为日，所以。。=2,即。=2.四棱

柱的表面积为4*2乂2+2*2乂2乂曰=16+4b.故选A.

EBi/\o

题型二多面体中的截面问题

1.正方体中的基本斜截面

锐角等腰等边梯形平行

三角形三角形三角形四边形

任意正六

六边形边形

2.多面体中找截面的几种方法

(1)直接法：有两点在多面体的同一个面上，连接这两点即为多面体与截面的交

线，找截面实际就是找交线的过程.

(2)延长线法：若直线相交，但在多面体中未体现，可以通过作延长线的方法找

到交点，然后借助交点找到交线.

(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面

平行，可以通过过点作直线的平行线找到多面体与截面的交线.

角度1作空间几何体的截面

典例❷

(1)画出过小，Ci,2的截面;

(2)画出过4,Di，尸的截面.

解：(1)因为此三点在几何体的棱上，且两两在一人平面内，直接连接4P,4G,

GP就得到截面4Gp.

(2)连接4P,其余面上的交线根据平面的性质寻找，由

于小，尸在一个平面内，且两个平面出力02和B8CG平行，过P作小Oi

的平行线，设CG的中点为。，连接P。和。0,得到截面4A0P.

学生用书第195页

典例§在正方体/BCD・/闰。。।中，E,F,。分别为45,BC,4小的中点，

画出过E,凡。的截面.

解：连接EE得到平面EF0和平面48CO的交线，其余面由正方体的性质和平

面的性质来判断，延长RE,EF,分别交DC的延长线于G,H,则G,Q

都在面力4。。内，连接G0并延长交4。于点P,交。。的延长线于S,则S,

〃都在面。DCC内，连接S”交。Ci于点交CG于点N,连接0E,NF,

PM,就得到截面EFNMPQ.

角度2截面图形的判断与计算

典例口⑴在正方体力BCQd向GO中，M,N分别是棱。。।和8S上的点，

MD二DD[,NB=§BB],那么正方体中过点M,N,G的截面图形是()

A.三角形B.四边形

C.五边形D.六边形

(2)如图，在正方体48。。-力囚GQ中，E是8C的中点，平面a经过直线8D且

与直线GE平行，若正方体的棱长为2,则平面a截正方体所得的多边形的面积

为—

答案：⑴C（2）2

解析：（1）先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面

与几何体的棱的交点.如图，设直线GM,CO相交于点P,直线GN,C4相交

于点0,连接尸。交直线力。于点七，交直线力3于点八则五边形G"£7W为

所求截面图形.故选C.

（2）如图，过点8作4A/〃GE交囱G于点过点用作8。的平行线，交CQi

于点N,连接DV,则平面8OMW即为符合条件的平面图由作图可知"，N分

别为办G,GO的中点，故8。=2加，MN=S且BM=DN=®所以等腰

梯形MNDB的高为仁」（府-囹=乎，所以梯形的面积为gx

（V2+2V2）x^=1

对点练3.（多选）正方体/8CO・4历CO的棱长为2,已知平面〃，/©,则关于a

截此正方体所得截面的判断正确的是（）

A.截面形状可能为正三角形

B.截面形状可能为正方形

C.截面形状可能为正六边形

D.截面面积最大值为38

答案：ACD

解析：易知A、C正确，B不正确，下面说明D正确，如图，截面为正六边形，

当六边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，MN=20GH=&,0E=

J002+0宓2=J1+（?）=字所以S=2xgx（&+2&）x苧=3百，故D

正确.故选ACD.

M,Z产

逑,

CPB

对点练4.（2024•北京丰台二模）“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当

圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”.利用这个原理，

小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在湍上投影出两个相同的椭圆（图

①），光锥的一条母线恰好与墙面垂直.图②是一个射灯投影的直观图，圆锥尸O

的轴截面/PB是等边三角形，椭圆。|所在平面为a,PBLa,则椭圆Oi的离心

率为（）

图①图②

A-TB-T

C.《D.f

23

答案：D

解析：设43=2广，由于尸8J_a,所以尸在等边三角形h3中，点M为

28的中点，于是4M=何，在平面。中，由椭圆的对称性可知，力。产欣力=务

连接。彷，POi,延长POi与48交于点。，由于。，。1为中点，所以在△POiM

中，尸M=尸，MO尸务由勾股定理可得|PO]|=0PM|2+|河0][2=]丁2+（曰r）”

=斗，在△尸0。中，PO=J（3）r,POi=qr,。。产"由余弦定理可得cos

|PO1|2+|PO|2一|0O]|2_»2+3户一；户_3抵

ZOPO\=,在RlZ\P0。中，由于cos/

2IP01HP0I2x争'X闹714

,—LV7

°PO|=黑，所以|PQ|=\PO\=叵=.八于是有解=等=右设椭

COSZOPO\3后

14

圆Oi短轴的两个顶点为G,H,连接PG,分别交圆锥于E,F,由于△PG”

s4PEF,所以髭=解=a由于PE为圆锥母线，所以尸E=E4=2厂，从而有

|PG|=*|PE|=*x2r=》,在Rt△PGOy中，由勾股定理可得|G0/=

J|PG|2