平行四边形的判定（讲）-八年级数学下学期重要考点复习（人教版）原卷版

18.1.2平行四边形的判定

题型1：平行四边形的判定（边的关系）題型6:平行四边形的判定与动点问题

題型2:平行四边形的判定（角的关系）题型7:平行四边形的判定筒单综合

题型3:平行四边形的判定（对角线关系）题型8:三角形的中位线（一条）

平行四边形的判定

题型4:平行四边形的判定与坐标三角形的中位线（多条）

題型5:二次证明平行四边形题型10：构造三角形中位线解題

•■■★紀不等式的基本，性质

平行四边形的判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3.-组对边平行旦相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

注意：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平

行四边形时，应选择较简单的方法.

（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.

题型1：平行四边形的判定（边的关系）

図園1.下列条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）

A.一组对边平行，另一组对边相等

B.一组对边平行，一组对角相等

C.-组邻边相等，-组对角相等

D.ー组对边平行，一组对角互补

【变式1-1】如图，在四边形48C。中，AC与3か相交于点。，下列条件不能判定四边形

488为平行四边形的是（）

A.AB//DC,AB=DCB.AB=DC,AD=BC

C.AB//DC,AD=BCD.OA=OC,OB=OD

【变式L2】如图，已知平行四边形ABC。中，点E为BC边的中点，连OE并延长OE交

AB延长线于点凡求证：四边形りBFC是平行四边形.

题型2:平行四边形的判定（角的关系）

皿•下列N4NB：ZC：NO的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）

A.1：2：3：4B.1：4：2：3C.1：2：2：1D.3：2：3：2

【变式2-1】求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

【变式2-2】如图，在四边形ABCD中，A"、CG、8E、ドり分别是/4、NC、NB、ZD

的角平分线，且BE，FD,AH//CG,证明四边形48co为平行四边形.

题型3:平行四边形的判定（对角线关系）

図園3•如图，四边形ABC。的对角线AC和8。相交于点。，ド列能判定四边形4300是平

行四边形的是（）

A.AO=OC,AC=BDB.80=00,

AC=BD

C.AO=BO,CO=DOD.AO=OC,

BO=OD

【变式3-1】如图，在四边形ABC。中，AB//CD,BC//AD,且4。=。。，则下列说法:

①四边形ABCD是平行四/形；

®AB=BC；

®AC1BDへ

④AC平分N34D：//

⑤若AC=6,40=8,则四边形ABC。的面积为24.^^\/

其中正确的有()3シニ-------、厶

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式3-2】如图，AC,8。相交于点0,AB//CD,AD//BC,E,F分别是。B,。力的中

点，求证：四边形APCE是平行四边形.

题型4:平行四边形的判定与坐标

国園4•在平面直角坐标系中，以A(0,2),8(・1,0),C(0.-2),り为顶点构造平行

四边形，下列各点中，不能作为顶点3的坐标是()

A.(-1,4)B.(-1,-4)C.(-2,0)D.(1,0)

【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中-，A(1,0),3(-1,3),C(-2,-1),找一点

。,使得以点A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，则点力的坐标不可能是()

A.(2,4)B.(-4,2)

B.C.(0,-4)D.(-3,2)

【变式4-21在直角坐标系中，点4、B的坐标分别为(-2,4)、(-5,2),点M是x轴

上的点，点N是ア轴上的点，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那

么符合条件的点M有()

A.1B.2C.3D.4

【变式4-3】已知平面直角坐标系内三点4(2,1),B(3,-1),C(-2,2),在平面内

求一点り，使以A，B,C.り为顶点的四边形为平行四边形，写出点り的坐标.

题型5:二次证明平行四边形

關四5.如图，已知点E,C在线段BF上，BE=EC=CF,AB//DE,^ACB=^F.

(1)求证：△ABC纟△£>eド；

(2)试判断：四边形4ECO的形状，并证明你的结论.

【变式5-1】已知：如图，在山48C。中，N84。和NBCD的平分线4E、C"分别与对角线

8。相交于点E，F.证明：四边形AEC〜是平行四边形.

【变式5-2】如图，在团ABCD中，E,ド为B。上的点，BF=DE,那么四边形4ECド是什么

图形？试用两种方法证明.

题型6:平行四边形的判定与动点问题

位園6•如图，在平面直角坐标系中，0048C的顶点んC的坐标分别为（10,0）,（2,4）,

点。是。A的中点，点P在BC上由点8向点C运动，速度为2cm厶

（1）当点P运动多少秒时，四边形PCD4是平行四边形？并求此时点P的坐标：

（2）当△OOP是等腰三角形时，求点P的坐标.

【变式6-1】如图，在团A8CD中，A8=6cm,点P从点A出发，以lcm/s的速度向点8运

劫，点Q从点C出发，以2cm厶的速度向点。运动，当一个点运动到端点时，另一个点

也停止运动，经过多长时间后，四边形4PQ。是平行四边形？

【变式6-2】如图，在△ABC中，A8=AC=13cm,8c=10cm,BF〃AC,动点尸从点。出

发以257厶的速度沼CA向终点A移动，过P作PE//BC交BF丁点E,设动点P的运动

时间为/秒.

（1）请用含，的代数式表示AP的长；

（2）当，为何值时，四边形3以七为平行四边形，并说明理由；

（3）求出四边形3以E的面积.

题型7:平行四边形的判定简单综合

協國7.如图，在。ABCO中，E、尸是对角线AC上的两点，AE=CF.

(1)求证：四边形8EQF是平行四边形:

(2)達接区。交EF于点。，当BE丄EF时，3e一8,とドー10,求Bの的长.

【变式フ-1】如图，平行四边形A8CO的对角线AC,8。相交于0点，OE丄AC于E点,

BF±AC于F.

(1)求证：四边形。EBド为平行四边形;

(2)若A8=20,Aり=13,AC=21,求△。〇E的面积.

【变式7-2】如图，四边形ABC。中，EF过对角线交点，且。8+3E=0。+。ダ，若。E=0r,

证明四边形ABCD为平行四边形.

【变式7-3】如图，在△46。中，点。，E分别是AC,A8的中点，点“是CB延长线上的

一点，且Cr=3BF,连接。8,EF.

(1)求证：四边形。EFB是平行四边形；

(2)若N4CB=90°,AC=\2cm,DE=4cm,求四边形0EF8的周长.

三角形的中位线

1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2.定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

注意：(1)三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.

(2)三甭形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周

长为原三角形周长的丄，每个小三角形的面积为原三角形面秋的丄.

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(3)三角形的中位线不同于三角形的中线.

题型8:三角形的中位线(一条)

風園8.如图，在△ABC中，4C=10,。e是△ABC的中位线，則。E的长度是()

C.4.8

【变式8-1】如图，OE为△山?C的中位线，点ド在。E上，且/

AFB=90°,若43=7,BC=10,则EF的长为

【变式8-2】如图，ZXABC中，点。，E在边BC上，N4BC的平分线垂直4E,垂足为点N,

NACB的平分线垂直4。，垂足为点M,连接MM若BC=7,MN=ち,则△48C的周

2

长为()

另N

【变式8-3】如图，^ABCD^,点E是4。的中点，BE的延长线与C。的延长线相交于

点、F.

(1)求证：。e是△8。ア狗中位线.

(2)试连接B。，AF,判断四边形AB。F的形状，并证明你的结论.

题型9:三角形的中位线(多条)

図園9.如图，△A5C中，三条中位线围成的△。eF的周长是15亜，则△A8C的周长是

【变式9口】如图，在四边形ABC。中，AB=CD,M.N、P分别

是A