积的变化规律（例3）教学设计

积的变化规律（例3）教学设计一、基本信息授课课题：积的变化规律（例3）授课学段：小学四年级授课学科：小学数学授课版本：人教版四年级上册第四单元课时安排：1课时课型定位：新授课（规律探究模型课）设计者身份：深谙课程改革理念的资深教研员、学科带头人二、课程标准的深度解读与核心素养导向【重要】本节课的教学设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，属于“数与代数”领域“数量关系”主题的内容。课标指出，学生要在具体情境中探索数量关系，发现并理解规律，发展模型意识和应用意识。积的变化规律不是简单的计算技巧，而是函数思想在乘法中的具体体现，是连接算术思维与代数思维的重要桥梁。核心素养培育指向：数感：在观察因数与积的变化中，感受数的运算规律，增强对数字之间关系的敏感度。量感：通过面积、总价等实际问题，将抽象的积的变化规律赋予现实意义，形成初步的量感。推理意识：经历“观察—猜想—验证—归纳—应用”的全过程，有依据地进行类比推理和归纳推理，这是本课最重要的素养目标。【核心】模型意识：将发现的规律用简洁的数学语言（文字或字母）表达出来，初步建立“一个因数不变，另一个因数变化引起积变化”的数学模型。三、教材与学情的深度剖析（一）教材分析本节课是人教版四年级上册第四单元《三位数乘两位数》中的例3。教材编排了“6×2=12，6×20=120，6×200=1200”和“20×4=80，10×4=40，5×4=20”两组算式。第一组体现“一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几”；第二组体现“一个因数不变，另一个因数除以几，积也除以几”。教材通过两组算式的对比，引导学生从正反两个维度完整地把握规律，并将两条规律概括为“一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）几”。例3后面配套的“做一做”及练习九中的习题，既有直接应用规律的填空，也有解决实际问题（如长方形面积扩大问题），体现了知识的应用价值。（二）学情分析知识经验：学生已经掌握了两位数乘两位数和三位数乘两位数的计算方法，具备基本的计算能力。同时，在之前的学习中（如乘法口诀、商不变的性质前测），学生有过初步观察算式找规律的体验，但缺乏系统的探究规律的方法论。认知特点：四年级学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们能够感知具体的数字变化，但要抽象出一般性的规律并用严谨的语言表述，存在一定的难度。【难点】对于“0除外”这一特殊情况的处理，需要通过反例让学生深刻理解其必要性。生活经验：学生在购物（单价×数量=总价）和求面积（长×宽=面积）等情境中，已经积累了“一个量变化，另一个量随着变化”的生活经验，这为本课的探究提供了丰富的感性支撑。四、教学目标与重难点定位（一）教学目标1.【基础】引导学生通过观察、计算、比较，自主发现并掌握“一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘或除以几”的变化规律。2.【核心】经历“举例验证—归纳总结—解释应用”的探究过程，初步获得探索数学规律的一般方法和经验，发展观察能力、类比分析能力和初步的归纳概括能力。3.【情感】在探究活动中感受数学的规律美和简洁美，体验成功的乐趣，增强学习数学的兴趣和自信心，养成严谨求实的科学态度。（二）教学重难点教学重点：【高频考点】发现并理解积的变化规律，即一个因数不变时，积随另一个因数的变化而变化。教学难点：【难点】【易错点】全面、准确地用语言表述规律（特别是“乘几或除以几”“0除外”的限定）；初步体会函数思想，理解变与不变的辩证关系。五、教学准备与课时规划（一）教学准备教师：多媒体课件（PPT）、学习任务单（含导学案与分层作业）、实物投影仪、计算器（备用验证）。学生：完成课前导学案、课本、练习本。（二）课时规划（40分钟）1.课前导学，唤醒经验（3分钟）2.情境创设，提出问题（2分钟）3.合作探究，发现规律（18分钟）4.深化理解，拓展应用（10分钟）5.分层练习，巩固反馈（5分钟）6.课堂总结，评价反思（2分钟）六、教学实施过程（核心环节）（一）课前导学，唤醒经验（基于导学案的反馈）教师提前一天下发导学案，布置前置性小研究，旨在唤醒学生对“变化”的感知。导学案内容：【我探路】1.算一算，填一填，想一想，你发现了什么？6×2=（）6×20=（）6×200=（）我发现：第2个算式与第1个比，因数6（），因数2乘了（），变成了20，积12乘了（），变成了（）。2.根据上面算式的规律，不计算直接写出答案。25×4=10025×8=25×（4×2）=100×（）=（）25×12=25×（4×3）=100×（）=（）【设计意图】通过简单的计算和填空，让学生初步感知“一个因数不变，另一个因数扩大，积也扩大”的现象，为课堂的深度探究做好铺垫，体现了以学定教的思想。（二）情境导入，聚焦问题师：同学们，课前我们做了一组关于文具单价的计算。请看大屏幕（课件出示文具店情境）：笔记本每本6元，买2本多少钱？买20本呢？买200本呢？生列式：6×2=12（元），6×20=120（元），6×200=1200（元）。师：观察这三个算式，它们之间有什么联系？因数发生了什么变化？积又发生了什么变化？这其中是否隐藏着某种固定的规律呢？今天我们就来当一回小小数学家，一起探究“积的变化规律”。（板书课题：积的变化规律）【设计意图】利用学生熟悉的购物情境，将抽象的算式赋予现实意义，激发探究欲望，并直接引出本课的核心研究素材。（三）合作探究，建构模型（例3教学）1.纵向观察，探寻变化（以第一组算式为例）师：请同学们以小组为单位，重点观察第一组算式（6×2=12，6×20=120，6×200=1200）。按照“从上往下”和“从下往上”的顺序，看看因数和积分别是怎样变化的？（学生小组讨论，教师巡视指导，参与交流）小组汇报1（从上往下看）：生：我们发现，第一个因数6始终没变。第二个因数从2到20，是乘了10，积就从12到120，也乘了10。再从20到200，第二个因数又乘了10，积从120到1200，也乘了10。师引导板书：不变×10×106×2=126×20=1206×200=1200师：谁能把我们的发现用一句话概括？生1：一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。小组汇报2（从下往上看）：生：从下往上看，第一个因数还是不变。第二个因数从200到20，是除以10，积从1200到120，也是除以10。再从20到2，第二个因数除以10，积也从120除以10得到12。师引导板书：不变÷10÷10师：这又说明了什么？生2：一个因数不变，另一个因数除以几，积也除以几。【重要】师点睛：同学们太了不起了！从不同的观察方向发现了两个看似不同但本质相连的规律。无论是“乘几”还是“除以几”，都是说因数变化了，积也跟着发生相同的变化。2.横向验证，确认规律（以第二组算式为例）师：刚才的发现仅仅是从一组算式中得来的，是不是所有的乘法算式都有这样的规律呢？我们还需要进行验证。请看第二组算式（20×4=80，10×4=40，5×4=20）。师：这一次，请大家先独立观察，看看这一组算式中，是哪个因数不变？另一个因数和积又是如何变化的？生独立观察后汇报：这一组是第二个因数4不变，第一个因数在变。从上往下看，20到10是除以2，积从80到40也是除以2；从下往上看，5到10是乘2，积从20到40也是乘2。师：这再一次验证了我们刚才的发现——一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也乘（或除以）几。3.补充特例，完善规律（攻克难点）师：同学们，规律似乎已经浮出水面了。但老师有个疑问：这个“几”可以是任何数吗？如果另一个因数乘0或者除以0，会怎么样？生思考、辩论。生1：如果乘0，比如6×2=12，要是另一个因数2乘0得0，那算式就是6×0=0，积12乘0也得0，好像也对？生2：不对，不能除以0，因为0不能做除数。师：数学讲究严谨。虽然乘0在形式上似乎也说得通，但我们研究规律的目的是为了更好地理解和应用。如果另一个因数变成0，整个乘法算式就失去了我们研究的“变化”的意义，变成了特殊的0乘问题。更重要的是，在“除以几”的情况下，0绝对不能出现。所以，为了确保规律的普适性和严谨性，我们要在规律后面加上一个重要的补充——（0除外）。（板书补充：0除外）师生共同完善规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘或除以几。4.符号表达，抽象建模师：数学追求简洁美。你能不能用字母或者符号来表示这个规律？假如用a、b、c来表示三个数，你能写一写吗？生尝试：a×b=c（a不变，b×m，则c×m）（a不变，b÷m（m≠0），则c÷m）【设计意图】本环节遵循“观察—猜想—验证—归纳—表达”的科学探究路径。通过两组算式的对比，排除了偶然性；通过讨论“0除外”，培养了思维的严谨性；通过符号表达，初步渗透了代数思想。整个探究过程全员参与，思维层层递进，是落实核心素养的关键所在。【核心】（四）分层练习，应用规律（基于分层作业的设计）为了满足不同层次学生的需求，练习设计分为三个层次：1.基础性练习——直接应用（面向全体，巩固新知）（1）【热点】先算出第一题的积，再直接写出下面两题的得数。（教材P51做一做第1题改编）12×3＝3648×5＝2408×50＝400120×3＝（）48×50＝（）8×25＝（）120×30＝（）48×500＝（）4×50＝（）（2）判断下列说法是否正确。①两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘5，积也乘5。（）②两个数相乘，一个因数除以4，另一个因数不变，积也除以4。（）③两个数相乘，一个因数乘10，另一个因数除以10，积不变。（）（此题预伏下节课的扩展内容，引发认知冲突）2.综合性练习——变式应用（面向大多数，培养能力）（3）【难点】解决问题。（教材P51做一做第2题）一块长方形绿地，面积是200平方米，宽是8米。如果长不变，宽增加到24米，扩大后的绿地面积是多少？（引导学生分析：长不变，宽从8米增加到24米，相当于宽乘了3，根据积的变化规律，面积也应该乘3。列式：24÷8=3，200×3=600平方米）（4）根据第一题的算式，直接写出后面算式的得数。18×24=432（18×2）×24=（）18×（24÷4）=（）3.拓展性练习——开放探究（面向学有余力，发展思维）（5）想一想，填一填。如果A×B=600，那么：（A×5）×B=（）A×（B÷3）=（）（A÷2）×（B×2）=（）（此题将两个因数同时变化，为后续学习埋下伏笔）（6）生活数学：妈妈在超市买了5千克苹果，花了40元。如果苹果的单价不变，买15千克这样的苹果需要多少钱？请你用今天学的规律来解决，并说说你的思路。【设计意图】分层作业设计确保了“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。基础题当堂反馈，确保达标；综合题强调分析过程，培养模型应用意识；拓展题引导思维向纵深发展，实现知识的迁移和延伸。（五）课堂总结，评价反思师：同学们，今天这节课，我们当了一回“数学家”。回顾一下，我们是怎样发现“积的变化规律”的？生：我们先观察算式，发现了变化；然后举例验证；接着归纳出了规律；最后还用规律解决了问题。师：总结得太棒了！“观察—验证—归纳—应用”正是我们探索数学奥秘的“金钥匙”。希望同学们在今后的学习中，继续用好这把金钥匙，去开启更多的数学宝藏。七、板书设计积的变化规律（例3）【示例组1】6×2=12【示例组2】20×4=80↓不变↓×10↓×10↓÷2↓不变↓÷26×20=12010×4=40↓不变↓×10↓×10↓×2↓不变↓×26×200=12005×4=20规律：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）几。符号表达：a×b=c（a不变，b×m→c×m）（a不变，b÷m（m≠0）→c÷m）八、导学案设计（课前使用）【学习目标】1.通过预习，能正确计算给定的乘法算式。2.尝试观察算式中因数和积的变化，提出自己的初步发现。【预习任务】1.温故知新：口算下面各题。15×2=25×4=12×5=150×2=25×8=24×5=2.探究准备：阅读课本第51页例3。看第一组算式：6×2=12，6×20=120，6×200=1200。想一想：如果让你接着写一道算式，你会写什么？6×（）=（），你的理由是什么？3.我的疑问：通过预习，你还有哪些不明白的地方？或者你想提出一个什么样的问题考考大家？___________________________【设计意图】导学案重在“导”，引导学生提前接触新知，带着思考和问题进课堂，变被动接受为主动探究。九、分层作业设计（课后使用）【A层·基础达标】（必做）1