七年级上册数学人教版 实际问题与一元一次方程讲练（解析版）（人教版）

专题3.4实际问题与一元一次方程典例体系一、知识点列一元一次方程解应用题的基本步骤：审清题意、设未知数（元）、列出方程、解方程、写出答案。关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。解决问题的策略：利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系二、考点点拨与训练考点1：行程问题典例：（2020·全国单元测试）现有8位旅客要从60千米外的某地赶往火车站乘坐火车，此时离火车开车时间只有2小时20分，他们步行的速度是每小时5千米，唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，但这辆小汽车连同司机在内最多能乘坐5人，小汽车的平均速度是每小时75千米．（1）如果只有小汽车分两批来回接送，其他旅客在原地等待，这8位旅客都能赶上火车吗？为什么？（2）如果在小汽车接送第一趟4位旅客的同时，让其他旅客步行，小汽车到达火车站后，立即返回接送步行的旅客，第二趟旅客到达火车站时，离火车开车时间还有几分钟？【答案】（1）8位旅客不能都赶上火车，理由详见解析；（2）离火车开车时间还有8分钟．【解析】解：（1）小汽车从某地到火车站的时间为小时，即小时，小时＝2小时24分钟>2小时20分钟，所以8位旅客不能都赶上火车．（2）设步行的旅客步行的时间为小时．根据题意可得：，解得：．（小时），小时＝2小时12分钟，2小时20分钟－2小时12分钟＝8分钟．答：离火车开车时间还有8分钟．方法或规律点拨本题考查了一元一次方程的应用，要会根据路程=速度×时间这一公式找出正确的等量关系，难点在第二问，注意分段求解时间．巩固练习1．（2020·全国单元测试）从甲地到乙地，先下山然后走平路，某人骑自行车从甲地以每小时的速度下山，再以每小时的速度通过平地，到乙地用了1小时；他回来时以每小时的速度上山，回到甲地用了1小时15分钟，求甲、乙两地的距离．【答案】甲、乙两地的距离为10.5千米．【解析】设他在平地上行驶的时间为小时，1小时15分钟＝1.25小时，依题意得：，解得：，（千米）．答：甲、乙两地的距离为10.5千米．2．（2020·全国单元测试）、两地相距120千米，甲车的速度为每小时55千米，乙车的速度为每小时45千米．（1）两车分别从、两地同时同向而行（甲在乙后），经过多长时间甲车追上乙车．（2）两车同时从、两地相向而行，经过多长时间两车相距10千米．【答案】（1）12小时；（2）1.1小时或者1.3小时【解析】（1）设经过小时甲追上乙，则.解得．答：两车同时从、两地同向而行（甲在乙后），经过12小时甲车追上乙车.（2）两车同时从、两地相向而行，设经过小时两车相距10千米，分相遇之前、相遇之后两种情况讨论：①在相遇之前，有.，；②在相遇之后，有.，．答：两车同时从、两地相向而行，经过1.1小时或者1.3小时两车相距10千米．3．（2020·全国单元测试）有一天，小明从家里到学校上课，他先以4千米/时的速度步行了全程的一半，再顺路搭上了速度为20千米/时的班车，所以比原全程步行所需要的时间早到了一小时，求小明家到学校的距离．【答案】小明家到学校的距离是10千米【解析】解：设小明这天步行全程的一半用的时间是小时，则搭车用去了小时，根据题意得：，解得，∴全程的一半是：（千米），∴小明家到学校的距离是：（千米），答：小明家到学校的距离是10千米．4．（2020·陕西西安·西北工业大学附属中学期末）一队学生去校外进行军事野营训练，他们以6千米/时的速度行进，在他们走了一段时间后，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，以10千米/时的速度按原路追上去，用了15分钟追上了学生队伍，问通讯员出发前，学生走了多少时间？【答案】【解析】设通讯员出发前，学生走x小时，根据题意得：10×＝6×（x+）解得：x＝．答：学生走了小时．5．（2020·全国课时练习）一架飞机最多在空中飞行5小时，飞出速度为每小时650千米，飞回速度为每小时600千米，这架飞机最远能飞多少千米就应该飞回来．【答案】1560千米【解析】设这架飞机最远能飞x千米就应该回来根据题意列方程为：∴∴这架飞机最远能飞1560千米就应该飞回来．6．（2020·湖北黄石·初一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．请你求出此人第六天的路程．【答案】6.【解析】设第一天走了x里，依题意得：x+x+x+x+x+x=378，解得x=192．则（）5x=（）5×192=6（里）．7．（2019·广西田东·初一期中）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工需步行一段路，到学校共用时18分钟,他骑自行车的平均速度是300米/分钟，步行的平均速度是120米/分钟，他家离学校的距离是4500米.（1）李明上学时骑自行车的路程和步行的路程分别为多少米？（2）放学后李明从17:40开始离校回家，但此时道路施工的地段增长了600米，如果按照上学时的速度，问李明能否在18:00之前到家？请通过计算说明.【答案】（1）李明上学时骑自行车的路程为3900米，步行的路程为600米.（2）李明不能在18：00之前到家.【解析】解：（1）设李明上学时骑自行车的路程为米则步行的路程为米，依题意得：解这个方程得：（米）答：李明上学时骑自行车的路程为3900米，步行的路程为600米．（2）李明骑车的时间为：（分钟）李明步行的时间为：（分钟）（分钟）∴李明回家共用时间21分钟17：40到18：00为20分钟，而∴李明不能在18：00之前到家．8．（2020·安徽合肥·初三三模）《计算之书》是意大利中世纪著名数学家斐波那契（公元1175-1250年）的经典之作．书中记载了一道非常有趣的“狐跑犬追”问题：在相同的时间里，猎犬每跑，狐狸跑．若狐狸与猎犬同时起跑时狐狸在猎犬前面，问狐狸跑多少距离后被猎犬追上？【答案】狐狸跑100米后被猎犬追上．【解析】解：设设狐狸跑x米后被猎犬追上，由题意得：解得：．答：狐狸跑100米后被猎犬追上．9．（2020·福建漳州·初一期末）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？【答案】快马20天可以追上慢马【解析】解：设快马天可以追上慢马，依题意，得，解得，答：快马20天可以追上慢马.10．（2020·全国初一课时练习）周末，小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话：（1）他们的对话内容，求小明和爸爸的骑行速度，（2）一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸相距50m？【答案】（1）小明骑行速度为200m/分钟，爸爸骑行速度为400m/分钟；（2）爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过分或钟，小明和爸爸相距50m.【解析】（1）设小明的骑行速度为x米/分钟，则爸爸的骑行速度为2x米/分钟，根据题意得：2（2x-x）=400，解得：x=200，∴2x=400．答：小明的骑行速度为200米/分钟，爸爸的骑行速度为400米/分钟．（2）设爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸跑道上相距50m，①爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多骑了50米，根据题意得：400y-200y=50，解得：y=；②爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多骑了350米，根据题意得：400y-200y=350，解得：y=．答：第二次相遇前，再经过或分钟，小明和爸爸跑道上相距50m．11．（2020·全国初一课时练习）甲、乙两列火车的长分别为144m和180m，甲车比乙车每秒多行4m．（1）两列车相向行驶，从相遇到全部错开（从两车头相遇到两车尾离开）需9s，问两车速度各是多少？（2）在（1）的条件下若同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需多少秒钟？【答案】（1）甲车每秒行驶20m，乙车每秒行驶16m；（2）需要时间为81秒．【解析】（1）设乙车每秒行驶xm，则甲车每秒行驶（x+4）m，根据题意得：9（x+x+4）＝144+180，整理得：2x＝32，解得：x＝16，答：甲车每秒行驶20m，乙车每秒行驶16m；（2）由题意，得同向行驶时，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需要时间：（144+180）÷4＝324÷4＝81（秒）．考点2：配套问题典例：（2020·大庆市第六十九中学初二期中）工厂接到订单生产如图所示的巧克力包装盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，仓库有甲、乙两种规格的纸板共2600张，其中甲种规格的纸板刚好可以裁出4个侧面（如图①），乙种规格的纸板可以裁出3个底面和2个侧面（如图②），裁剪后边角料（图中阴影部分）不再利用．（1）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问两种规格的纸板各有多少张？（2）一共能生产多少个巧克力包装盒？【答案】（1）仓库有甲种规格的纸板1000张，有乙种规格的纸板1600张；（2）2400个．【解析】（1）设仓库有甲种规格的纸板x张，则有乙种规格的纸板（2600-x）张,根据题意得：4x+2（2600-x）=3（2600-x）×1.5，解得：x=1000，2600-x=1600（张），答：仓库有甲种规格的纸板1000张，有乙种规格的纸板1600张；（2）当x=1000时，4x+2（2600-x）=7200（个），7200÷3=2400（个），答：一共能生产2400个巧克力包装盒．方法或规律点拨本题主要考查一元一次方程的实际应用，找出等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．巩固练习1．（2020·湖南天心·长郡中学期末）列方程解应用题（1）某车间有24名工人，每人毎天平均生产螺栓12个或螺母18个，两个螺栓配三个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？（2）某校举行元旦汇演，七（01）、七（02）班各需购买贺卡70张，已知贺卡的价格如下：购买贺卡数不超过30张30张以上不超过50张50张以上每张价格3元2.5元2元（i）若七（01）班分两次购买，第一次购买24张，第二次购买46张，七（02）班一次性购买贺卡70张，则七（01）班、七（02）班购买贺卡费用各是多少元？哪个班费用更节省？省多少元？（ⅱ）若七（01）班分两次购买贺卡共70张（第二次多于第一次），共付费150元，则第一次、第二次分别购买贺卡多少张？【答案】（1）应该分配12名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，才能使每天的产品刚好配套；（2）（i）七（01）班所付费用为187元，七（02）班所付费用为140元；七（02）班更节省，省下了47元；（ⅱ）第一次、第二次分别购买贺卡10张、60张．【解析】（1）设可设分配名工人生产螺栓，名工人生产螺母．由题意得：，解得：，（人）．答：应该分配12名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，才能使每天的产品刚好配套．（2）（i）七（01）班所付费用为：（元），七（02）班所付费用为：（元）；七（02）班更节省，省下了元．（ⅱ）设第一次购买张，第二张购买张，则当第一次购买不超过30张，第二次购买30张以上不超过50张时，列方程为：，解得：（不合题意，舍去）；当第一次购买不超过30张，第二次购买超过50张时，列方程为：，解得：；当第一次购买30张以上不超过50张，第二次购买超过50张时，列方程为：，解得：（不合题意，舍去）．则，．答：第一次、第二次分别购买贺卡10张、60张．2．（2020·湖北黄石·初一期末）某车间有60个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？【答案】应分配15人生产甲种零件，45人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套．【解析】解：设分配x人生产甲种零件，则共生产甲零件24x个和乙零件12（60-x），依题意得方程：24x=12（60-x)，解得x=15，60-15=45（人）．答：应分配15人生产甲种零件，45人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套．3．（2020·河北三河·初一期末）列方程解应用题：油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的圆形铁片和长方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．如图，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套．生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套？【答案】生产圆形铁片的有24人，生产长方形铁片的有18人.【解析】设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为42﹣x人，根据题意可列方程：120x=2×80（42﹣x），解得：x=24，则42﹣x=18．答：生产圆形铁片的有24人，生产长方形铁片的有18人．4．（2020·全国初一课时练习）某圆柱形饮料瓶由铝片加工做成，现有若干张一样大小的铝片，若全部用来做瓶身可做900个，若全部用来做瓶底可做1200个．已知每一张这样的铝片全部做成瓶底比全部做成瓶身多20个．（1）问一张这样的铝片可做几个瓶底？（2）这些铝片一共有多少张？（3）若一个瓶身与两个瓶底配成一套，则从这些铝片中取多少张做瓶身，取多少张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多？【答案】（1）80个（2）15张（3）6张；9张【解析】解：（1）设一张这样的铝片可做x个瓶底．根据题意，得．解得．．答：一张这样的铝片可做80个瓶底．（2）（张）答：这些铝片一共有15张．（3）设从这15张铝片中取a张做瓶身，取张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多．根据题意，得．解得．则．答：从这些铝片中取6张做瓶身，取9张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多．5．（2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末）某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个．甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？【答案】安排生产甲零件的天数为天，安排生产乙零件的天数为天．【解析】解：设安排生产甲零件x天，则安排生产乙零件（30-x）天根据题意可得：解得x=，则30-x=．答：安排生产甲零件的天数为天，安排生产乙零件的天数为天．6．（2020·丰县欢口镇欢口初级中学）用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？【答案】用张制盒身，张制盒底【解析】解：设用x张制盒身，则（150-x）张制盒底，

根据题意得：16x×2=43（150-x），

解得x=86，

所以150-x=150-86=64（张），

答：用86张制盒身，则64张制盒底．7．（2020·黑龙江铁力·初一期末）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面或者制作400条桌腿，现有24立方米木材，要使桌面和桌腿正好配套，应分别计划用多少立方米木材制作桌面和桌腿？【答案】计划用20立方米木材制作桌面，4立方米木材制作桌腿．【解析】解：计划用x立方米木材制作桌面，则用(24-x)立方米木材制作桌腿．由题意，得20x×4=(24-x)×400．整理得：6x=120，解得：x=20．24-20=4(立方米)．答：计划用20立方米木材制作桌面，4立方米木材制作桌腿．8．（2019·广西防城港·初一期末）劳作课上，王老师组织七年级5班的学生用硬纸制作圆柱形笔筒．七年级5班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，每名学生每小时能剪筒身30个或剪筒底90个．（1）七年级5班有男生，女生各多少人；（2）原计划女生负责剪筒身，男生负责剪筒底，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，男生应向女生支援多少人，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．【答案】（1）七年级5班有男生26人，女生29人；（2）不配套，男生应向女生支援4人，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．【解析】解：(1)设七年级5班有男生x人，则有女生（x+3）人，由题意得：x+x+3=55，解得x=26，女生：26+3=29（人）．答：七年级5班有男生26人，女生29人；（2）男生剪筒底的数量：26×90=2340（个），女生剪筒身的数量：29×30=870（个），∵一个筒身配两个筒底，2340:870≠2:1，∴原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不配套．设男生应向女生支援y人，由题意得：90×（26﹣y）=（29+y）×30×2，解得y=4．答：男生应向女生支援4人，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．9．（2020·东海晶都双语学校初一月考）食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A，B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，问A，B两种饮料各生产了多少别瓶？【答案】A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶.【解析】设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了瓶.根据题意得．解方程，得．（瓶）.答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶.10．（2020·四川宜宾市叙州区东辰初级中学初一期中）甲、乙两人要加工200个零件，甲先单独加工5小时，后与乙一起加工4小时完成了任务．已知甲每小时比乙多加工2个零件，分别求甲、乙两人每小时加工的零件个数．【答案】甲每小时加工零件16个，乙每小时加工零件14个．【解析】试题分析：如果乙每小时加工x个零件，那么甲每小时加工（x+2）个零件，根据要加工200个零件，甲先单独加工5小时，然后又与乙一起加工4小时，完成了任务以及甲每小时比乙多加工2个，可列出方程求解即可．解:设乙每小时加工零件x个，则甲每小时加工零件(x+2)个．根据题意，得5(x+2)+4(x+2+x)=200.解得x=14.x+2=14+2=16.答：甲每小时加工零件16个，乙每小时加工零件14个．11．（2020·四川宜宾·初一期中）工厂某车间有48名工人，平均每人每天加工大齿轮10个或小齿轮15个，已知1个大齿轮与3个小齿轮配成一套，那么怎么安排工人，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？【答案】32名工人加工大齿轮，16人加工小齿轮【解析】解：设需安排x名工人加工大齿轮，则（48﹣x）人加工小齿轮，由题意得10x×3＝15（48﹣x），解得：x＝32．所以48﹣x＝16．答：需安排32名工人加工大齿轮，16人加工小齿轮．考点3：和差倍分问题典例：（2020·江苏姜堰·初一期末）学校体育室有两个球筐，已知甲筐内的球比乙筐内球的个数的2倍还多6只．现进行如下操作：第一次，从甲筐中取出一半放入乙筐；第二次，又从甲筐中取出若干只球放入乙筐．设乙筐内原来有只球．（1）第一次操作后，乙筐内球的个数为只；（用含a的代数式表示）（2）若第一次操作后乙筐内球的个数比甲筐内球的个数多10只，求a的值；（3）第二次操作后，乙筐内球的个数可能是甲筐内球个数的2倍吗？请说明理由．【答案】（1）2a+3（2）10（3）可能；第二次从甲筐中取出1只球放入乙筐【解析】解：（1）由题意可得,甲筐原来有：（2a+6）个球,乙筐原来有a个球,

第一次操作后,甲筐有：（2a+6）=（a+3）个球,乙筐有：a+（a+3）=(2a+3)个球,（2）由题意可得,(2a+3)-（a+3）=10,

解得,a=10,

即a的值是10．答：第一次操作后乙筐内球的个数比甲筐内球的个数多10只,则a的值是10．（2）由题意可得,若第二次操作后,乙筐内球的个数可能是甲筐内球个数的2倍,则：设第二次,又从甲筐中取出x只球放入乙筐．(2a+3)+x=2[（a+3）-x]．解得x=1．检验,当x=1时符合题意．答：可能；第二次从甲筐中取出1只球放入乙筐．方法或规律点拨本题考查列代数式、一元一次方程的应用,解题的关键是明确题意,列出相应的代数式或者方程,会求代数式的值和解方程．巩固练习1．（2020·广西平桂·期中）“壮丽70年，奋斗新时代!”国庆节期间，唐玲同学仅用3天时间就看完了一本课外读物．第二天看的页数比第一天看的页数的一半少5页，第三天看的页数刚好是第二天的2倍．设第一天看了该书的页，问：（1）用含x的代数式表示这本书的页数；（2）当x=60时，这本书的页数是多少？（3）如果这本书有225页，唐玲第二天看了多少页？【答案】（1）（2）当x=60时，这本书共135页；（3）唐玲第二天看了43页【解析】解：（1）这本书的页数为：=；（2）当x=60时，，答：当x=60时，这本书共135页；（3）由题意，得：，解之，得：，所以：．答：唐玲第二天看了43页．2．（2020·全国课时练习）有两个工程队，第一队有50人，第二队比第一队少12人．因任务需要，要求第一队的人数比第二队人数多2倍，问需要从第二队抽调多少人去支援第一队？【答案】16人【解析】设需要从第二队调配到第一队人，

根据题意得：，

解得：，

答：需要从第二队调配到第一队16人．3．（2020·全国课时练习）今天小丽一家人的岁数总和是100岁，爸爸比妈妈大5岁，妈妈的岁数是小丽岁数的4倍少2岁，则小丽爸爸和妈妈今年各几岁？【答案】小丽11岁，爸爸47岁，妈妈42岁【解析】解：设小丽为x岁，则妈妈的岁数为，爸爸的岁数为，根据题意可得：，解得，∴妈妈的岁数为，爸爸的岁数为，答：小丽今年11岁，爸爸47岁，妈妈42岁．4．（2020·浙江青田·初一期末）年月日，第二届华侨进口商品博览会在青田落下帷幕，本届博览会成果丰硕，意向成交额为亿元，是第一届博览会意向成交额的倍少亿（1）求第一届华侨进口商品博览会的意向成交额（2）以这样的增长速度，预计下届华侨进口商品博览会意向成交额（精确到亿元）【答案】（1）15.6亿元；（2）41亿元【解析】解：（1）设第一届华侨进口商品博览会的意向成交额为x亿元，则：2x-5.9=25.3，解得：x=15.6，∴第一届华侨进口商品博览会的意向成交额为15.6亿元；（2）设第二届的意向成交额比第一届的增长率为y，则15.6（1+y）=25.3，则1+y=25.3÷15.6，∴下一届华侨进口商品博览会意向成交额为：25.3×（1+y）=25.3×（25.3÷15.6）≈41（亿元）．5．（2020·四川甘孜·初一期末）某校初一学生（共三个班）为灾区捐款，一班捐款为初一总捐款的，二班捐款为一班、三班捐款数的和的一半，三班捐了元，求初一三个班的总捐款数．【答案】初一总捐款数为元【解析】解：设初一总捐款为元解得：答：初一总捐款数为元．6．（2020·金昌市金川总校第五中学初一期中）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．（1）这个班有多少学生？（2）这批图书共有多少本？【答案】（1）这个班有45名学生，（2）这批图书共有155本．【解析】解：（1）设这个班有x名学生．依题意有：3x+20=4x-25解得：x=45（2）3x+20=3×45+20=155答：这个班有45名学生，这批图书共有155本．7．（2020·德惠市第三中学初一月考）某工厂第一车间人数比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调10人到第一车间，那么第一车间人数就是第二车间人数的，求原来每个车间的人数．【答案】原来第一车间的人数为170人，第二车间的人数为250人．【解析】解：设原来第二车间有x人，由题意得x-30+10=（x-10），解得：x=250，

则×250-30=170（人）．

答：原来第一车间的人数为170人，第二车间的人数为250人．8．（2020·深圳市龙岗区百合外国语学校初一期末）列方程解应用题：现有校舍面积20000平方米，为改善办学条件，计划拆除部分旧校舍，建造新校舍，使新造校舍的面积是拆除旧校舍面积的3倍还多1000平方米．这样，计划完成后的校舍总面积可比现有校舍面积增加20%．（1）改造多少平方米旧校舍；（2）已知拆除旧校舍每平方米费用80元，建造新校舍每平方米需费用700元，问完成该计划需多少费用．【答案】（1）1500平方米；（2）3970000元．【解析】解：（1）设需要拆除的旧校舍的面积是x平方米，那么新造校舍的面积是3x+1000平方米．由题意得：20000-x+3x+1000=20000（1+20%）解得：x=1500∴改造1500平方米旧校舍；（2）3x+1000=5500完成计划需要的费用为：80×1500+5500×700=3970000元答：完成该计划需3970000元．9．（2018·唐山市第五十四中学初一月考）用方程解答下列问题（1）与之和的倍等于与之差的倍，求；（2）的倍与之和的二分之一等于与之差的四分之一，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得：，∴，即，解得：；（2）由题意得：，∴，即：，解得：.10．（2020·山西初一月考）2020年1月“新型冠状肺炎”来袭，全国人民众志成城，展开全民战“役”，携手共筑坚强后盾，纷纷捐款捐物，我校师生也参与了为武汉捐款活动：七年级学生捐款数为全校总捐款数的；八年级学生捐款数比七年级和九年级学生捐款数和的一半少450元；九年级捐款3900元．请分别求出七年级和八年级各捐款多少元？【答案】七年级捐款3800元，八年级捐款3300元【解析】解：设全校总捐款数为元．由题意得．解得，七年级捐款：（元），八年级捐款：（元）．答：七年级捐款3800元，八年级捐款3300元．11．（2020·福建省惠安科山中学初一月考）今年母女两人的年龄和为60岁，10年前母亲的年龄是女儿的7倍，则今年母亲、女儿的年龄各是多少岁？【答案】女儿今年15岁，母亲今年45岁【解析】解：设今年女儿x岁，则母亲今年（60-x）岁，依题意可得：60-x-10=7(x-10)解得x=15所以60-x=45答：女儿今年15岁，母亲今年45岁.考点4：日历问题典例：（2019·广东天河·华南师大附中初一期中）某单位在五月份准备组织部分员工到背景旅游7天，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为每人7天共2000天，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠举措；甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位员工的费用，其余员工八折优惠.（1）如果设参加旅游的员工共有人，则甲旅行社的费用为元，乙旅行社的费用为元；（用含的式子表示，并化简）（2）假如这个单位有20名员工参加旅游，该单位选择哪一家旅行社比较合算？并说明理由.（3）假如这7天的日期之和为63的倍数，则他们可能于五月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程）【答案】（1）1500a；（1600a-1600）；（2）甲旅行社更优惠，理由见解析；（3）6号或15号或24号出发．【解析】（1）由题意得，甲旅行社的费用=2000×0.75a=1500a；

乙旅行社的费用=2000×0.8（a-1）=1600a-1600，

故答案为：1500a；（1600a-1600）；

（2）将a=20代入得，甲旅行社的费用=1500×20=30000（元）；

乙旅行社的费用=1600×20-1600=30400（元）

∵30000＜30400元

∴甲旅行社更优惠；

（3）设最中间一天的日期为a，则这七天分别为：a-3，a-2，a-1，a，a+1，a+2，a+3

∴这七天的日期之和=（a-3）+（a-2）+（a-1）+a+（a+1）+（a+2）+（a+3）=7a，

①当7a=63×1时，则x=9，故9−3=6，他们6号出发；②当7a=63×2时，则x=18，故18−3=15，他们15号出发；③当7a=63×3时，则x=27，故27−3=24，他们24号出发；④当7a=63×4时，则x=36；因为五月最多有31天可知，不合实际；则他们可能是6号或15号或24号出发.此题考查列代数式和代数式的求值，一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．方法或规律点拨本题考查的是解一元一次方程，掌握去括号与去分母解一元一次方程是解题的关键．巩固练习1．（2020·酒泉市第二中学初一期中）将连续的偶数2，4，6，8……，排成如图所示：（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？（2）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2020吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．【答案】（1）是16的5倍；（2）5x；（3）能，五个数分别为394、402、404、406、414【解析】解：（1）十字框中的五个数的和为6+14+16+18+26=80=16×5，即是16的5倍；（2）设中间的数为x，则十字框中的五个数的和为：(x﹣10)+(x+10)+(x﹣2)+(x+2)+x=5x，所以五个数的和为5x；（3）假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x，由（2）得5x=2020，所以x=404，所以这五个数分别为394、402、404、406、414，它们的和等于2020．2．（2017·浙江初一课时练习）图1为全体奇数排成的数表，用十字框任意框出5个数，记框内中间这个数为a（如图2）．（1）请用含a的代数式表示框内的其余4个数；（2）框内的5个数之和能等于2015，2020吗?若不能，请说明理由；若能，请求出这5个数中最小的一个数，并写出最小的这个数在图1数表中的位置．（自上往下第几行，自左往右的第几个）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）设中间的数是a，则a的上一个数为a−18，下一个数为a＋18，前一个数为a−2，后一个数为a＋2；（2）设中间的数是a，依题意有5a＝2015，a＝403，符合题意，这5个数中最小的一个数是a−18＝403−18＝385，2n−1＝385，解得n＝193，193÷9＝21…4，最小的这个数在图1数表中的位置第22排第4列．5a＝2020，a＝404，404是偶数，不合题意舍去；即十字框中的五数之和不能等于2020，能等于2015．3．（2020·山西文水·初一期末）在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律,下图是2020年1月份的日历,我们用如图所示的四边形框出五个数.2020年1月(1)将每个四边形框中最中间位置的数去掉后,将相对的两对数分别相减,再相加,例如:,.不难发现,结果都是16.若设中间位置的数为,请用含的式子表示发现的规律,并写出验证过程.(2)用同样的四边形框再框出5个数,若其中最小数的2倍与最大数的和为56,求出这5个数中的最大数的值.【答案】（1）16；（2）这5个数中最大数的值为28.【解析】（1）规律：，验证：==2+14=16；（2）设中间位置的数为x，则最小的数为x-7，最大的数为x+7，根据题意得：2(x-7)+(x+7)=56，解得：x=21，，答：这5个数中最大数的值为28．4．（2019·沈阳市第七中学初一期中）生活与数学（1）莹莹在日历上圈出三个数，呈大写的“一”字，这三个数的和是中间数的倍，莹莹又在日历上圈出5个数，呈“十”字框形，它们的和是50，则中间的数是：（2）小丽同学也在某月的日历上圈出如图所示“七”字形，发现这八个数的和是125，那么这八个数中最大数为：（3）在第（2）题中这八个数之和为101（填“能”或“不能”）．【答案】（1）3；10；（2）26；（3）不能【解析】解：（1）设中间的数为x，则这三个数分别为x-1，x，x+1，因为，所以，在日历上圈出三个数，呈大写的“一”字，这三个数的和是中间数的3倍，设中间的数为x，则这五个数分别为x-7，x-1，x，x+1，x+7，因为，所以，在日历上圈出5个数，呈“十”字框形，它们的和是中间的数的5倍，又因为它们的和是50，则中间的数是10；故答案为：3，10．（2）设最小的数为x，则其余数分别为：x+6，x+7，x+8，x+14，x+21，x+22，x+23，根据题意得x+（x+6）+（x+7）+（x+8）+（x+14）+（x+21）+（x+22）+（x+23）＝125，解得x＝3，∴这八个数中最大数为3+23＝26．故答案为：26；（3）x+（x+6）+（x+7）+（x+8）+（x+14）+（x+21）+（x+22）+（x+23）＝101，解得x＝0，但是日历上最小的数是1，所以在第（2）题中这八个数之和不能为101．故答案为：不能5．（2020·银川九中英才学校初一期中）生活中的数学(1)小明同学在某月的日历上圈出2×2个数（如图），正方形方框内的4个数的和是28，那么这4个数是；(2)小丽同学在日历上圈出5个数，呈十字框型（如图），他们的和是65，则正中间一个数是；(3)某月有5个星期日，这5个星期日的日期之和为80，则这个月中第一星期日的日期是号；(4)有一个数列每行8个数成一定规律排列如图：①图a中方框内的9个数的和是；②小刚同学在这个数列上圈了一个斜框（如图b），圈出的9个数的和为522，求正中间的一个数.【答案】(1)3、4、10、11；(2)13；(3)2；(4)①252；②正中间的数是58.【解析】解：(1)设第一个数是x，其他的数为x+1，x+7，x+8，则x+x+1+x+7+x+8=28，解得x=3，∴四个数分别为3、4、10、11，故答案为3、4、10、11；(2)设中间的数是x，则上、下两个数分别为x-7、x+7，左、右两个数分别为x-1、x+1，由题意得：x+(x+1)(x-1)+(x-7)+(x+7)=65，解得x=13，故答案为13；(3)设第一个星期日是x，则后四个星期日为：x+7，x+14，x+21，x+28，则x+x+7+x+14+x+21+x+28=80，解得x=2，即第一个星期日是2号，故答案为2；(4)①和是中间的数的9倍，所以和是28×9=252，故答案为252；②设中间的数是x，则9x=522，解得x=58，答：正中间的数是58.6．（2018·江西南昌二中初一期中）问题探究（1）在6月份的日历中（如图1），任意圈出一列上相邻的三个数，设中间的一个数为a，则用含a的代数式表示这三个数（从小到大）分别是________________________________．（2）连续的自然数1至2004按图中的方式派成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数（如图2）①图2中框出的这16个数之和是____________；②在图2中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于839、2000，是否可能？若不可能，试说明理由．若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数与最大数．【答案】（1）a−7，a，a+7；（2）①352；②存在和是2000的16个数，此时，最小的数是113，最大的数是113+24=137．不存在和是839的16个数，理由见详解．【解析】（1）∵若中间的数是a，那么上面的数是a−7，下面的数是a+7，∴这三个数(从小到大)分别是a−7，a，a+7，故答案是：a−7，a，a+7；（2）①16个数中，第一行的四个数之和是：10+11+12+13=46，第二行的四个数之和是：46+4×7=74，第三行的四个数之和是：74+4×7=102，第四行的四个数之和是：102+4×7=130，于是16个数之和=46+74+102+130=352，故答案是：352；②设最小的数是x，第一行的四数之和就是：4x+6，以此类推，第二行的四数之和就是：4x+34，第三行的四数之和就是：4x+62，第四行的四数之和就是：4x+90，若4x+6+4x+34+4x+62+4x+90=2000，解得：x=113，∴存在和是2000的16个数，此时，最小的数是113，最大的数是113+24=137．若4x+6+4x+34+4x+62+4x+90=839，解得：x=40.4375（不是整数,不合题意），∴不存在和是839的16个数．7．（2018·湖北房县·初一期末）如图是2015年12月月历．（1）如图，用一正方形框在表中任意框往4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是______，______，______；（2）在表中框住四个数之和最小记为a1，和最大记为a2，则a1+a2=______；（3）当（1）中被框住的4个数之和等于76时，x的值为多少；（4）在（1）中能否框住这样的4个数，它们的和等于92．若能，则求出x的值；若不能，则说明理由．【答案】（1）x+1；x+7；x+8；（2）128；（3）15；（4）不能，理由见解析．【解析】解：（1）由图表可知：左右相邻两个数差1，上下相邻的两个数相差为7，左上角的一个数为x，则另外三个数用含x的式子从小到大依次表示x+1；x+7；x+8；故答案为x+1；x+7；x+8；（2）∵当四个数是1，2，8，9时最小，a1=1+2+8+9=20；当四个数是23，24，30，31时最小，a2=23+24+30+31=108，∴a1+a2=20+108=128．故答案为128；（3）由题意得，x+x+1+x+7+x+8=76，解得x=15，答：当被框住的4个数之和等于76时，x的值为15；（4）不能．由题意得，x+x+1+x+7+x+8=92，解得x=19，故由此框住的四个数应是19，20，26，27，但是19，20不在同行的相邻位置，所以不能框住4个数的和等于92．8．（2019·深圳布心中学初一期中）将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如下表，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：（1）十字框中的五个数的和等于．（2）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，设中间的数为，用代数式表示十字框中的五个数的和是．（3）在移动十字框的过程中，若框住的五个数的和等于2020，这五个数从小到大依次是：，，，，，……（4）框住的五个数的和能等于2019吗？答：（回答“能”或“不能”）理由是：_______________________________________________________________．【答案】（1）80；（2）5x；（3）394，402，404，406，414；（4）不能，计算得中间的数不是偶数.【解析】解：（1）6+14+16+18+26=80，

故答案为：80；

（2）设中间的数为x，则另四个数分别为：x-10，x+10，x-2，x+2，

∴x-10+x+10+x-2+x+2+x=5x，

故答案为：5x；

（3）根据题意得：5x=2020，

解得：x=404，

所以，另四个数分别为：394，402，406，414，

故答案为：394，402，404，406，414；（4）根据题意得：5x=2019，解得，不是整数更不是偶数，所以，这五个数之和不能为2019．故答案为：不能，计算得中间的数不是偶数．9．（2019·山东兰山·初一期中）将连续的奇数1，3，5，7，9……排成如下的数表：（1）十字框中的5个数的和与中间的数23有什么关系？若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数还有这种规律吗？（2）设十字框中中间的数为，用含的式子表示十字框中的其他四个数；（3）十字框中的5个数的和能等于2019吗？若能，请写出这5个数；若不能，说明理由．【答案】（1）十字框中的5个数的和为23的5倍，有；（2），，，；（3）不能，理由见解析．【解析】解：（1），所以十字框中的5个数的和为中间的数23的5倍，无论十字框如何平移，框住的5个数的和均为中间数的5倍，故这5个数还有这种规律；（2）根据题意可得，另外4个数分别为，，，；（3）不能，理由如下：设中间的数为，根据题意，得，解得，因为不是整数，所以十字框中的5个数的和不能等于2019．10．（2019·湖北洪山·初一期中）如图1是2019年11月的日历，用如图2所示的曲尺形框框(有三个方向，从左往右依次记为一、二、三个框)，可以框住日历中的三个数，设被框住的三个数中最大的数为日一二三四五六请用含的代数式填写以下三个空:第一个框框住的最小的数是_，第二个框框住的最小的数是__，第三个框框住的三个数的和是__．这三个框分别框住的中间的数之和能恰好是的倍数吗？如能请求出的值，若不能请说明理由．【答案】（1）x-7，x-8，3x-15；（2）【解析】（1）设被框住的三个数中最大的数为x．

第一个框框住的三个数分别是x，x-7，x-6，则最小的数是x-7；

第二个框框住的三个数分别是x，x-1，x-8，则第二个框框住的最小的数是x-8；

第三个框框住的三个数分别是x，x-7，x-8，第三个框框住的三个数的和是x+x-7+x-8=3x-15．

故答案为：x-7，x-8，3x-15．

（2）设三个框分别框住的中间的数分别为x-6，x-1，x-7，

∴x-6+x-1+x-7=3x-14，

若3x-14是7的倍数，且x为正整数，则x=7，14，21，28．

其中x=7舍去，

∴x=14，21，28．11．（2019·山西初一一模）有两个如图所示的曲尺形框,框和框，用它们分别可以框住下表中的三个数(如图所给示例)，（1）若被框框住的三个数中最小的数为．若这三个数的和是，问的值是否存在?若存在，求出的值;若不存在，说明理由；（2）若被框框住的三个数中最小的数为．若这三个数的和是，问的值是否存在?若存在,求出的值;若不存在,说明理由．【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）存在，的值是【解析】（1）的值不存在，根据题意可得:,解得,根据题意,是整数,所以的值不存在；（2）的值存在，根据题意可得:,解得，三个数为11，18，19，所以的值是．12．（2019·河南中牟·初一期中）（1）如图（1），在某年某月的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一个数为，则用含的代数式表示这三个数分别是__________；（按从小到大的顺序写在横线上）（2）现将连续自然数1~2007按图（2）的方式排成一个长方形阵形然后用一个正方形框出16个数．①图中框出的这16个数的和是__________；②在图（2）中，要使一个正方形框出的16个数的和等于2016，2168，是否可能？若不可能，请说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．【答案】（1），，；（2）①352；②框出的16个数它们的和可以等于2016，且最小数为114，最大数为138；它们的和不可能等于2168，见解析【解析】解：（1）若中间的数是a，那么上面的数是a-7，下面的数是a+7，

故这三个数从小到大排列分别是a-7，a，a+7；（2）①16个数中，

第一行的四个数之和是：10+11+12+13=46，

第二行的四个数之和是：46+4×7=74，

第三行的四个数之和是：74+4×7=102，

第四行的四个数之和是：102+4×7=130．

于是16个数之和=46+74+102+130=352．

故图中框出的这16个数之和是352；②设这16个数中最小的数为，则这16个数分别为，，，，，，，，，，，，，，，，它们的和为（为正整数），所以它们的和可以等于2016，理由：，解得，所以，因此框出的16个数它们的和可以等于2016，且最小数为114，最大数为138，它们的和不可能等于2168，理由：，解得，而应为整数，所以16个数的和不可能等于2168．考点5：比赛积分问题典例：（2020·广东江城·初一期末）足球比赛的规则为：胜场得3分，平场得1分，负一场得0分，一支球队在某个赛季共需比赛14场，现已经赛了8场，输了一场，得17分，请问：（1）前8场比赛中胜了几场？（2）这支球队打满14场后最高得多少分？（3）若打14场得分不低于29分，则在后6场比赛中这个球队至少胜几场？【答案】（1）前8场比赛中胜了5场；（2）这支球队打满14场后最高得35分；（3）在后6场比赛中这个球队至少胜3场．【解析】（1）设这个球队胜x场，则平（8﹣1﹣x）场，依题意可得3x+（8﹣1﹣x）＝17，解得x＝5．答：这支球队共胜了5场；（2）打满14场最高得分17+（14﹣8）×3＝35（分）．答：最高能得35分；（3）由题意可知，在以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可，所以胜场不少于4场，一定可达到预定目标．而胜3场，平3场，正好也达到预定目标．因此在以后的比赛中至少要胜3场．答：至少胜3场．方法或规律点拨本题考查了一元一次方程的应用、逻辑分析．根据题意准确的列出方程和不等关系，通过分析即可求解，要把所有的情况都考虑进去是解题的关键．巩固练习1．（2020·全国初一课时练习）盛盛同学到某高校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）：院系篮球赛成绩公告比赛场次胜场负场积分2212103422148362202222盛盛同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题：（1）从表中可以看出，负一场积______分，胜一场积______分（2）某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由．【答案】(1)1，2；(2)胜场数为11场时，胜场的积分等于负场的2倍.【解析】（1）由表中最后一行的信息可知，某队22场全负共积了22分，∴负一场的积分为：22÷22=1（分）；设胜一场积分，则由表中第一行信息可得：，解得：，∴胜一场积2分；（2）设该队胜了场，根据题意可得：，解得：，∴若某队赛完全部22场，胜了11场，则该队的胜场积分是负场积分的2倍.答：若该队在22场比赛中胜了11场，则其胜场积分是负场积分的2倍.2．（2020·全国初一课时练习）为了促进全民健身运动的开展，某市组织了一次足球比赛，下表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况.代表队场次（场）胜（场）平（场）负（场）积分（分）651016660018632111631210（1）本次比赛中，胜一场积______分；（2）参加此次比赛的代表队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分，请你求出代表队胜出的场数.【答案】(1)3；(2)7【解析】解：(1)根据B代表队的积分情况可得胜一场的积分情况：（分）(2)由A代表队的积分情况得出平一场的积分情况：（分）由C代表队的积分情况得出负一场的积分情况：（分）设代表队胜出的场数为x，则平场为（9-x）场，列方程得：3x+1(9-x)=23解方程得：x=7答：代表队胜出的场数为7场.3．（2020·金昌市金川总校第五中学初一期中）七年级进行法律知识竞赛，共有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．（1）小红同学参加了竞赛，成绩是90分，请问小红在竞赛中答对了多少道题？（2）小明也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请问小明有没有可能拿到100分？试用方程的知识来说明理由．【答案】（1）小红在竞赛中答对了25道题；（2）小明没有可能拿到100分．【解析】解：（1）设小红在竞赛中答对了x道题，根据题意得4x﹣2（30﹣x）=90，解得x=25．答：小红在竞赛中答对了25道题；（2）如果小明的得分是100分，设他答对了y道题，根据题意得4y﹣2（30﹣y）=100，解得y=．因为y不能是分数，所以小明没有可能拿到100分．4．（2018·河南嵩县·初一期中）在学完“有理数的运算”后，我县某中学七年级每班各选出5名学生组成一个代表队，在数学老师的组织下进行一次知识竞赛．竞赛规则是：每队都必须回答50道题，答对一题得4分，不答或答错一题倒扣1分．（1）如果七年级一班代表队最后得分为190分，那么七年级一班代表队回答对了多少道题？（2）七年级二班代表队的最后得分有可能为142分吗？请说明理由．【答案】（1）48道；（2）不可能，理由见解析【解析】解：（1）设七年级一班代表队回答对了x道题，根据题意列方程：4x﹣（50﹣x）=190，解这个方程得：x=48．故七年级一班代表队回答对了48道题．（2）七年级二班代表队的最后得分不可能为142分．理由如下：七年级二班代表队答对了y道题，根据题意列方程：4y﹣（50﹣y）=142，解这个方程得：y=38．因为题目个数必须是自然数，即y=38不符合该题的实际意义，所以此题无解．即七年级二班代表队的最后得分不可能为142．5．（2019·安徽淮南·初一月考）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了一场，得17分．（1）前8场比赛中，这支球队共胜了多少场；（2）这支球队打满14场比赛，最高能得多少分；（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标．【答案】（1）5；（2）35分；（3）3场．【解析】解：（1）设这个球队胜x场，则平（8-1-x）场，依题意可得3x+（8-1-x=17解得x=5；（2）打满14场最高得分17+（14-8）×3=35（分）；（3）由题意可知，在以后的6场比赛中，只要得分不低于（12分）即可，所以胜场不少于4场，