69344-应用数学-习题参考答案

第一章1.1.4[练手题]答案，；1.2.3[练手题]答案...1.3.3[练手题]答案...1.4.4[练手题]答案1.连续.2.连续.3.1.6[章末习题]答案1.填空题（1）；（2）；（3）（4）（5）（6）.（7）.（8）存在.（9）一定.（10）间断点.2.计算题（1）（2）；；.（3）.（4）.（5），.（6）；；；；.（7）.（8）.（9）.（10）.（11）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨.（12），.（13），.（14）.（15）连续区间为：，，；，，；间断点为：（第一类间断点）及（第二类间断点）（16）.（17）=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③.④；⑤；（18）=1\*GB3①（无穷间断点），（可去间断点）；=2\*GB3②（可去间断点）；（为整数）（第二类间断点）.（19）.（20）提示：考虑函数在内的根.3.应用题（1）（2）=1\*GB3①；=2\*GB3②.（3）=1\*GB3①；=2\*GB3②，即11月13日新感染人数最多为630人.（4）=1\*GB3①；=2\*GB3②投资1~6天时，可以考虑选择方案一；投资7天，可以考虑选择方案一或二；投资8~10天，可以考虑选择方案二；投资11天以上，可以考虑选择方案三.（5）.（6）为的第一类间断点，且为的跳跃间断点.（7）.第二章2.1.3[练手题]答案1..2..3.，.2.2.4[练手题]答案....2.3.4[练手题]答案1.，.2.，，.3.4.5.，.2.4.4[练手题]答案1..2..3..4..5..2.5.3[练手题]答案1..2..3..4..5..2.6.4[练手题]答案1..2..3..4..2.7.5[练手题]答案1.不是.2.二.3..4..2.9[章末习题]答案1.填空题（1），，.（2）.（3）.（4）.（5）（6）.（7）（8）（9），.（10），.（11），.（12）.（13）.（14）；.（15）.（16）.（17）.（18）.（19）.（20）.（21）=1\*GB3①；②.（22）=1\*GB3①；②.（23）二.（24）五.（25），.（26）不是，通.2.计算题（1）.（2）.（3）.（4），，.（5），.（6）=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③.（7）=1\*GB3①.=2\*GB3②.=3\*GB3③（8）（9）（10）（11）*.（12）*.（13）*.（14）=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④.（15）=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④.（16）单调增加区间为、，单调减少区间为.（17）当时，极小值为.（18）凸区间为，凹区间为，拐点为（19）=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥.（20）.（21）.（22）.（23）.（24）.（25）.（26）.（27）.（28）.（29）.（30）.（31）.（32）.（33）=1\*GB3①；②；=3\*GB3③；=4\*GB3④.（34）=1\*GB3①；②；=3\*GB3③；=4\*GB3④.（35）*=1\*GB3①；②.（36）*=1\*GB3①；②.（37）=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥.（38）=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③.（39）.3.应用题（1）.（2）.（3），.（4）.（5），，.（6）所求矩形的底，高.（7）.（8）.（9）.（10）.（11）.（12）=1\*GB3①;=2\*GB3②.（13）.（14）=1\*GB3①；②.（15）.（16）.第三章3.1.5[练手题]答案1.、、.2.，，.3..4.，.5..3.2.5[练手题]答案1.1、2、2、-4.2.2、2、14.3..4.11.5..3.3.5[练手题]答案1..2.3..[练手题]答案1.不一定.2..3..4..3.5.4[练手题]答案1.，，.2.是，无穷多.3.无解.3.6.4[练手题]答案1.，相应的特征向量为，不为零；，相应的特征向量为，不为零.2.，相应的特征向量为，，不为零；，相应的特征向量为，不为零.3.9[章末习题]答案1.填空题（1）.（2）（3）（4）（5）AB=BA.（6）1.（7）.（8）.（9）（10），（11），=.（12）；.（13）且时，方程组有唯一解，当时，有无穷多解.（14）其中，，为任意常数.2.计算题（1），，，，，，.（2）=1\*GB3①，；=2\*GB3②，；=3\*GB3③.（3）.（4）.（5），.（6）=1\*GB3①线性相关；=2\*GB3②线性无关；=3\*GB3③线性相关.（7），.（8），.（9）=1\*GB3①，=2\*GB3②.（10）.（11）.（12）=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥522.（13）=1\*GB3①；=2\*GB3②.（14）=1\*GB3①；=2\*GB3②.（15）.（16）=1\*GB3①；=2\*GB3②.（17）=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③.（18）=1\*GB3①,,.（19）.（20）.（21）=1\*GB3①，其中，，为任意常数.=2\*GB3②，其中为任意常数.（22）且时，方程组相容.（23）=1\*GB3①，其中为任意常数；=2\*GB3②；=3\*GB3③无解.（24）=1\*GB3①，相应的特征向量为，不为零；，相应的特征向量为，不为零.=2\*GB3②，相应的特征向量为，，不为零；，相应的特征向量为，不为零.=3\*GB3③只有一个特征值，相应的特征向量为，不为零.=4\*GB3④只有一个特征值，相应的特征向量为，不为零.（25）=1\*GB3①，；=2\*GB3②，；=3\*GB3③，；=4\*GB3④，.3.应用题（1），.（2）.（3）3个月后该企业的产品市场占有率是.（4）.（5）.第四章4.1.4[练手题]答案..,.,.4.2.3[练手题]答案1.，.2.，.3..4.3.3[练手题]答案（1）.（2）.（3）.4.4.3[练手题]答案1.不是.2.极大值：.3.极大值：.4.极小值：.4.8[章末习题]答案1.填空题（1），.（2）；；；.（3）.（4）.（5）.（6）.2.计算题（1）=1\*GB3①，；=2\*GB3②，.（2）.（3），.（4）=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④.（5）.（6）=1\*GB3①，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③，，；（7），，.（8）=1\*GB3①，；=2\*GB3②，.（9），.（10），.（11）.（12）.（13）grad，grad.（14）增加最快的方向为，方向导数为；减少最快的方向为,方向导数为.（15）.（16）当两直角边都是时，可得最大的周长.（17）当长、宽都是，而高为时，水池的表面积最小.（18）.（19）当矩形的边长分别为及时，绕短边旋转所得圆柱体的体积最大.（20）当长、宽、高都是时，可得最大的体积.（21）最大值为，最小值为.3.应用题（1）=1\*GB3①，；=2\*GB3②甲种产品边际利润，乙种产品边际利润.（2）kg.（3）切平面方程：.（4）=1\*GB3①.=2\*GB3②四个可能的极值点：由于，故可以作为攀岩的起点.（5）最热点在，最冷点在.（6）最热点在.第五章5.1.5[练手题]答案1..2..3.，，，，.4..5.2.6[练手题]答案1..2..3..4..5.3.9[练手题]答案1..2..3..5.4.6[练手题]答案.2.分布3.分布.[练手题]答案1.独立，代表，不大于.2.，.3.分布（标准正态分布）.5.7[章末习题]答案1.填空题（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6），，，.（7）.（8）Piosson.（9）（10）（11）.（12）.2.计算题（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）=1\*GB3①；=2\*GB3②.（7）（8）（9）=1\*GB3①=2\*GB3②（10）=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④.（11）=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③.（12）.（13）.（14）.（15）.（16）.（17）=1\*GB3①；=2\*GB3②.（18）（19）.（20）=1\*GB3①；=2\*GB3②（21）（22）（23）.（24）.（25）.（26）.（27）置信区间为.（28）拒绝假设,不合格.（29）有显著差异.3.应用题（1）=1\*GB3①；=2\*GB3②.（2）.（3）（4）.（5）.（6）.（7）=1\*GB3①；=2\*GB3②③分布列可表示为：01234数学期望为.（8）.（9）.（10）.（11）接受假设，即认为这次考试考生的平均成绩为分.（12）①拒绝原假设，即认为这批螺丝的平均长度与设计要求存在显著差异，因此不符合设计要求；②执行右侧单边检验，在的显著性水平下，拒绝原假设，即认为有充分证据表明改进工艺后螺丝的平均长度有显著提高.第六章6.1.5[练手题]答案1.图形不唯一2.30.3.图(a)、(b)、(c)、(d)是同构的；图(e)、(f)、(g)、(h)是同构的.4.C5.（1）是通道，但不是迹和路；（2）是通道，但不是迹和路；（3）是通道、迹、路；（4）是通道，但不是迹和路；6.邻接矩阵A(D)=07.关联矩阵8.图形不唯一9.a-c-b,路长为4；a-c,路长为1；a-c-d,路长为5；a-c-d-e,路长为6；a-c-f,路长为4；a-d-c-g,路长为7..6.2.3[练手题]答案1.存在,其中一路线为1-6-3-8-4-7-2-5-9-6-11-8-12-7-10-9-11-12-10-5-1.2.图中a、b、c三个图形都能一笔画成.3.(a)是欧拉图、是哈密尔顿图；(b)既不是欧拉图也不是半欧拉图、是半哈密尔顿图;(c)是半欧拉图、是哈密尔顿图.6.3.3[练手题]答案1.9 2.103.（1）a,f,d,g;(2)c,e;(3)b,c;(4)e的兄弟是c,d，儿子是g；（5）2.4.相同，因为它们的根j5.先修(A,F),(F,B),(F,E),(E,G),(G,D),(G,C)公路，总费用为101亿元.6.5[章末习题]答案1.单选题1-5ABCBC6-10BCAAB11-15BADDA2.填空题1.平凡图;2.7；(2，2，2，3，3，4，4);3.是某条边的两个端点;无边关联4.G'G且G'≠G;G'⊆G且=V；5.10；6.n-1;m-k;n;m=1；7.4;16；v到u存在通路:G中任意两点都是连通;;;到长度为k的通路数；G的生成树:树枝;均为割边;G是连通图;k-1;-1;二叉树3.判断题1.x2.√3.√4.x5.x6.x7.x8.x9.√10.x11.√12.√4.计算题1.解(1)略(2)G中各点的度如下:d()=3，d()=4，d()=3，d()=3，d()=1，d()=0.奇数度顶点的个数为4.2.解：A到B的最短路径为AB，权为1;A到E的最短路径为ABE,权为3;A到F的最短路径为ABEF，权为4;A到C的最短路径为ABEFC，权为7:A到D的最短路径为ABEFCD，权为9.3.解：按克鲁斯卡尔算法，可得最小生成树:W(T)=3+4+7+10=24.4.解：在一个有限图中，各点的度数总和是边数的2信;而树中的边数为点数减1.根据这两点，可知树中各点的度数总和=2×(树中点数-1)，设树叶有x个，于是，2×2+3+3×4+x=2×(2+1+3+x-1)得x=9.5.证明题1.证明：假设不成立，则G中所有顶点度数≤2，则G中所有顶点度数相加为2e≤2n,即2(n+1)≤2n,该式不成立因此，G中至少有一个顶点度数≥3.2.证明：设图的顶点数为n，则n个顶点的自补图边数为n(n-1)/4.而n与n-1一奇一偶，要使得它们能被4整除，则或者n被4整除，或者n-1被4整除，所以，自补图的顶点数不是4k就是4k+1.3.证明：反证法.若G不是连通图，则至少存在两个顶点a和b，他们之间没有路，又因为，每个顶点度数至少为n，设与a相邻的顶点为，，…,，与b相邻的顶点为,,...,则{,…,}∩{,…,}=∅,否则,若，则有通路(a,,b),与假设矛盾，因为{,…,}∩{,…,}=∅,所以|v|≥|{,…,}|+|{,…,}|+|{a,b}|=2n+2,与G至多有2n个顶点矛盾。若简单图G至多有2n个顶点，每个顶点度数至少为n-1,则G不一定是连通图，如下图所示，图中有6个顶点(即n≡3)，每个顶点度数为2，但不连通.4.略第七章7.1.4[练手题]答案1.给定两个变量a与b,要求不使用临时变量仅使用算术运算符把它们的值互换.Python代码：a,b=3,7a=a+b;b=a-b;a=a-bprint(a,b)#期望输出732.给定三个互不相等的整数a,b,c,不用排序(max/min),用基本比较运算符(<、>等),求出它们的中位数.Python代码：a=3;b=9;c=5median=a+b+c-max(a,b,c)-min(a,b,c)3.从1数到n,如果是3的倍数就打印"Boom",否则直接打印数字.要求用for循环完成.Python代码：n=10foriinrange(1,n+1):print("Boom"ifi%3==0elsei,end='')4.写一个函数print_table99(),用双重for循环打印标准1～9的乘法口诀表.Python代码：defprint_table99():foriinrange(1,10):forjinrange(1,i+1):print(f"{j}×{i}={i*j:2d}",end='')print()5.猜数字小游戏.写一个函数guess_number(secret),参数是1～100的整数.在函数里用whileTrue循环读取玩家输入（int(input())）,直到猜中为止:猜大了打印"Toobig"猜小了打印"Toosmall"猜中时打印"Bingo"并结束循环。示例交互（secret=42）：50Toobig30Toosmall42BingoPython代码：defguess_number(secret):whileTrue:g=int(input())ifg>secret:print("Toobig")elifg<secret:print("Toosmall")else:print("Bingo")break7.2.6[练手题]答案1、一元微积分实验1.用python画函数在区间的图像,并标出轴范围.Python代码：#通用导入importsympyasspimportnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltx,y,k=sp.symbols('xyk',real=True)f=x**3-6*x**2+9*x+1sp.plot(f,(x,-2,5),ylim=(-10,10),title='f(x)=x³-6x²+9x+1')2.用python画函数在区间的图像,并在处用红色虚线标出.Python代码：#通用导入importsympyasspimportnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltx,y,k=sp.symbols('xyk',real=True)f=sp.sin(x)/xp=sp.plot(f,(x,-3*sp.pi,3*sp.pi),show=False,line_color='b')p.show()#手动加红虚线plt.axhline(1,color='r',linestyle='--');plt.show()3.用python.求极限和Python代码：#通用导入importsympyasspimportnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltx,y,k=sp.symbols('xyk',real=True)f=(x**2-3*x+2)/(x**2-4*x+3)lim1=sp.limit(f,x,1)lim2=sp.limit(f,x,sp.oo)4.用python求函数的导数.Python代码：#通用导入importsympyasspimportnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltx,y,k=sp.symbols('xyk',real=True)f=sp.ln(x)*sp.cos(x)sp.diff(f,x)#→cos(x)/x-log(x)*sin(x)5.用python求函数的5阶导数.Python代码：#通用导入importsympyasspimportnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltx,y,k=sp.symbols('xyk',real=True)f=sp.exp(2*x)*sp.sin(3*x)sp.diff(f,x,5).simplify()6.用python求积分和.Python代码：#通用导入importsympyasspimportnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltx,y,k=sp.symbols('xyk',real=True)#计算不定积分indefinite_integral=egrate(x*sp.exp(x**2),x)#计算定积分definite_integral=egrate(x*sp.sin(x),(x,0,sp.pi))2、线性代数实验1.，Python代码：importnumpyasnp#定义矩阵A=np.array([[2,1,1],[3,0,1],[2,7,2]])#假设为3x3矩阵B=np.array([[3,4,3],[2,1,7],[9,1,1]])#假设为3x3矩阵#计算A+B和ABA_plus_B=A+BA_mul_B=A@B#矩阵乘法print("A+B:\n",A_plus_B)print("AB:\n",A_mul_B)2.Python代码：importnumpyasnp#定义矩阵A=np.array([[1,3,1,2],[4,7,6,1],[2,8,2,7],[6,5,3,6]])#计算行列式det_A=np.linalg.det(A)print("行列式det(A)=",det_A)3..Python代码：importnumpyasnp#定义矩阵A=np.array([[1,2,3],[2,1,2],[1,3,3]])#计算逆矩阵A_inv=np.linalg.inv(A)print("A的逆矩阵:\n",A_inv.round(4))4.矩阵的秩为3.Python代码：importnumpyasnp#定义矩阵（推测）A=np.array([[1,3,1,2],[4,7,6,1],[3,4,5,-1],[6,5,3,6]])#计算秩rank_A=np.linalg.matrix_rank(A)print("矩阵A的秩=",rank_A)5..Python代码：importnumpyasnp#系数矩阵A和常数向量bA=np.array([[2,3,1],[1,-2,4],[3,8,-2]])b=np.array([4,-5,13])#求解方程组x=np.linalg.solve(A,b)print("方程组的解:")print(f"x1={x[0]:.4f},x2={x[1]:.4f},x3={x[2]:.4f}")6.，相应的特征向量为，，不为零；，相应的特征向量为，不为零.Python代码：importnumpyasnp#定义矩阵A=np.array([[2,2,-2],[2,5,-4],[-2,-4,5]])#计算特征值和特征向量eigenvalues,eigenvectors=np.linalg.eig(A)print("特征值:\n",eigenvalues.round(4))print("特征向量（列向量）:\n",eigenvectors.round(4))，，Python代码：importnumpyasnp#定义矩阵A=np.array([[2,-1,1],[1,0,1],[3,-1,4]])#奇异值分解U,s,Vt=np.linalg.svd(A)print("左奇异矩阵U:\n",U.round(4))print("奇异值s:\n",s.round(4))print("右奇异矩阵转置Vt:\n",Vt.round(4))s=np.diag(s)A_reconstructed=U@s@Vtprint("重建的矩阵A_reconstructed:")print(A_reconstructed)3、多元微分学实验1.设,用python求.Python代码：importsympyasspx,y,z,u,v=sp.symbols('xyzuv',real=True)f=x**3*y+sp.sin(x*y)fx=sp.diff(f,x)#3*x**2*y+y*cos(x*y)fy=sp.diff(f,y)#x**3+x*cos(x*y)2.设,用python求.Python代码：importsympyasspx,y,z,u,v=sp.symbols('xyzuv',real=True)f=sp.ln(x**2+y**2+1)f_xy=sp.diff(sp.diff(h,x),y)#-4*x*y/(x**2+y**23.设,用python求梯度.Python代码：importsympyasspx,y,z,u,v=sp.symbols('xyzuv',real=True)f=x**2*y-y**3grad=sp.Matrix([sp.diff(f,var)forvarin(x,y)])#→Matrix([2*x*y,x**2-3*y**2])4.设,用python求在点沿方向的方向导数.Python代码：importsympyasspx,y,z,u,v=sp.symbols('xyzuv',real=True)f=x**2+y**2point={x:1,y:2}u=sp.Matrix([sp.Rational(3,5),sp.Rational(4,5)])grad_f=sp.Matrix([sp.diff(f,x),sp.diff(f,y)])D_u=grad_f.dot(u).subs(point)#→22/54、概率与统计实验某生产线零件长度服从正态分布，随机抽取10个零件测得长度(mm)：[24.8,25.1,24.9,25.2,25.0,24.7,25.3,24.8,25.1,24.9]用Python求μ和σ²的最大似然估计值。Python代码：importnumpyasnpdata=np.array([24.8,25.1,24.9,25.2,25.0,24.7,25.3,24.8,25.1,24.9])mu_mle=np.mean(data)sigma2_mle=np.var(data,ddof=0)#ddof=0表示最大似然估计print(f"μ的MLE:{mu_mle:.4f}")print(f"σ²的MLE:{sigma2_mle:.4f}")某小麦品种亩产量服从正态分布，随机抽取16块试验田，平均亩产量为480kg，样本标准差为12kg。求总体均值μ的95%置信区间。Python代码：fromscipyimportstatsimportnumpyasnpn=16x_bar=480s=12alpha=0.05#计算t临界值t_critical=stats.t.ppf(1-alpha/2,df=n-1)#计算置信区间lower=x_bar-t_critical*(s/np.sqrt(n))upper=x_bar+t_critical*(s/np.sqrt(n))print(f"95%置信区间:({lower:.2f},{upper:.2f})kg")某饮料装瓶生产线标准装量为500ml，已知标准差σ=5ml。质检员抽检25瓶，平均装量498ml。在α=0.05下，检验装量是否符合标准。Python代码：fromscipyimportstatsimportnumpyasnpmu0=500sigma=5x_bar=498n=25alpha=0.05#计算Z统计量z_stat=(x_bar-mu0)/(sigma/np.sqrt(n))#计算临界值z_critical_left=stats.norm.ppf(alpha/2)z_critical_right=stats.norm.ppf(1-alpha/2)print(f"Z统计量:{z_stat:.4f}")print(f"临界值区间:({z_critical_left:.4f},{z_critical_right:.4f})")print("结论:","拒绝H0"ifz_stat<z_critical_leftorz_stat>z_critical_rightelse"不拒绝H0")某手机厂商宣称其新款手机满电续航时间为24小时。消费者协会随机测试了18台该手机，得到平均续航时间23.5小时，样本标准差1.8小时。在α=0.05显著性水平下，检验厂商宣传是否准确。Python代码：fromscipyimportstatsimportnumpyasnp#输入数据mu0=24#宣称续航时间x_bar=23.5#样本均值s=1.8#样本标准差n=18#样本量alpha=0.05#显著性水平#计算t统计量t_stat=(x_bar-mu0)/(s/np.sqrt(n))#计算双侧临界值t_critical_left=stats.t.ppf(alpha/2,df=n-1)t_critical_right=stats.t.ppf(1-alpha/2,df=n-1)print(f"t统计量:{t_stat:.4f}")print(f"临界值区间:({t_critical_left:.4f},{t_critical_right:.4f})") print("结论:","拒绝H0"ift_stat<t_critical_leftort_stat>t_critical_rightelse"不拒绝H0")某零件加工标准要求直径方差σ²=0.04mm²。随机抽取20个零件，样本方差0.05mm²。在α=0.05下检验方差是否符合标准。Python代码：fromscipyimportstatsn=20s2=0.05sigma0_2=0.04alpha=0.05#计算卡方统计量chi2_stat=(n-1)*s2/sigma0_2#计算临界值（双侧检验）chi2_critical_left=stats.chi2.ppf(alpha/2,df=n-1)chi2_critical_right=stats.chi2.ppf(1-alpha/2,df=n-1)print(f"卡方统计量:{chi2_stat:.4f}")print(f"临界值区间:({chi2_critical_left:.4f},{chi2_critical_right:.4f})")print("结论:","拒绝H0"ifchi2_stat<chi2_critical_leftorchi2_stat>chi2_critical_rightelse"不拒绝H0")7.5[章末习题]答案1.应用题（1）根据总利润=总收益-总成本可得，偏导数满足：调用7.3.4中梯度下降法python代码，求上述二元函数的最大值，可得Python代码#调用7.3.4中梯度下降法python代码importnumpyasnpdefgradient_descent(gradient_func,#梯度函数initial_guess,#初始猜测值learning_rate=0.01,#学习率max_iterations=1000,#最大迭代次数tolerance=1e-6,#收敛容差verbose=False#是否打印过程):"""多元函数梯度下降算法参数:gradient_func:计算梯度的函数，接受参数x，返回梯度向量initial_guess:初始猜测值，numpy数组learning_rate:学习率(步长)max_iterations:最大迭代次数tolerance:收敛容差(当两次迭代间变化小于此值时停止)verbose:是否打印迭代过程返回:找到的最小值点"""x=np.array(initial_guess,dtype='float64')history=[x.copy()]#记录迭代历史foriinrange(max_iterations):grad=gradient_func(x)x_new=x-learning_rate*grad#检查收敛ifnp.linalg.norm(x_new-x)<tolerance:ifverbose:print(f"在{i+1}次迭代后收敛")breakx=x_newhistory.append(x.copy())ifverboseandi%100==0:print(f"Iteration{i+1}:x={x},grad={grad}")returnx,np.array(history)#定义目标函数和梯度函数deff(xy):#将Q1设为xQ2设为yx,y=xyreturn-(70*x-3.5*x**2+170*y-11*y**2-2*x*y)defgrad_f(xy):x,y=xydf_dx=-(70-7*x-2*y)#对x的偏导df_dy=-(170-22*y-2*x)#对y的偏导returnnp.array([df_dx,df_dy])#使用梯度下降initial_guess=[0.0,0.0]optimal_point,history=gradient_descent(grad_f,initial_guess,learning_rate=0.01,#梯度选取max_iterations=500,#迭代次数tolerance=1e-6,verbose=True)print("\n最优解:",optimal_point)print("最优值:",f(optimal_point))（2）用牛顿迭代法研究下列问题:①设,试着从下列初值出发研究最终收敛到哪个根.②设,研究从初值出发能够得到解?如果不能,应该如何选择初值?③试分析以上例子体现出牛顿迭代法的什么特征.解:前面的例子可以说明下面几个现象:1)哪怕初值离零解不远，收敛的速度并不会很快，这表示对某些函数，采用牛顿迭代法并不能迅速地得到近似解；2)哪怕初值有微小的误差，其收敛的解可能是不同的，这表示对某些函数，牛顿迭代法对误差(哪怕是非常微小的)的承受能力较差；3)在某些初始条件下，牛顿迭代法会进入到一个循环，并且是局部稳定的。这些现象都增加了牛顿迭代法的使用难度（3）R-L电路的瞬态与稳态电流问题.一个由电阻R=10Ω与电感L=0.1H串联组成的R-L电路,在初始时刻t=0时接通电源,分别考察直流电源(E=12V)与交流电源两种情形.电路中的电流满足微分方程:.要求用4阶龙格-库塔法（RK4）计算0≤t≤0.2s内电流i(t)的数值解,并绘制对比图.解:直流曲线从0A指数上升,时间常数τ=L/R=0.01s,最终趋于稳态1.2A;交流曲线从0A开始,经过约3~5个周期后达到稳态正弦,相位滞后于电压.Python代码：importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotasplt#============================参数设置============================R=10.0#ΩL=0.1#Hh=1e-4#时间步长(s)t_end=0.2#仿真总时长(s)N=int(t_end/h)t=np.linspace(0,t_end,N+1)#============================激励函数============================defv_dc(t_arr):"""直流12V阶跃"""return12.0*np.ones_like(t_arr)defv_ac(t_arr):"""交流12V@50Hz"""return12.0*np.sin(2*np.pi*50*t_arr)#============================RK4求解器==========================defrhs(t,i,v_func):"""di/dt=(v(t)-R*i)/L"""return(v_func(t)-R*i)/Ldefrk4(v_func):"""4阶Runge-Kutta求解"""i=np.zeros(N+1)forkinrange(N):tk,ik=t[k],i[k]k1=rhs(tk,ik,v_func)k2=rhs(tk+h/2,ik+h*k1/2,v_func)k3=rhs(tk+h/2,ik+h*k2/2,v_func)k4=rhs(tk+h,ik+h*k3,v_func)i[k+1]=ik+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6returni#============================计算并绘图==========================i_dc=rk4(lambda_t:12.0)#直流情形i_ac=rk4(lambda_t:12.0*np.sin(2*np.pi*50*_t))#交流情形plt.figure(figsize=(8,4))plt.plot(t,i_dc,label='DCstep(12V)',linewidth=2)plt.plot(t,i_ac,label='AC50Hz(12Vpeak)',linewidth=2)plt.xlabel('Timet[s]')plt.ylabel('Currenti(t)[A]')plt.title('R-LCircuitCurrentvia4th-orderRunge–Kutta')plt.grid(True)plt.legend()plt.tight_layout()plt.show()（4）设某地不同房屋面积（m²）与售价（万元）的关系如下表,试以此为基础建立一元线性回归模型，并预测115m²的房价.面积售价95.4483.278.3418.7120.9584.562.1354.4113.7558.6解:Python代码：importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltfromsklearn.linear_modelimportLinearRegression#数据X=np.array([95.4,78.3,120.9,62.1,113.7]).reshape(-1,1)y=np.array([483.2,418.7,584.5,354.4,558.6])#建模&预测model=LinearRegression().fit(X,y)x_new=np.array([[115]])pred=model.predict(x_new)print(f"115m²预测售价={pred[0]:.1f}万元")#可视化plt.scatter(X,y,label='样本')plt.plot(X,model.predict(X),color='red',label='拟合线')plt.scatter(x_new,pred,color='green',marker='x',s=100,label='预测点')plt.xlabel('面积(m²)');plt.ylabel('售价(万元)')plt.legend();plt.show()（5）用动态规划方法研究下列问题:①假设只有2元、5元和7元的硬币,要凑成27元最少需要多少个硬币?②最大子序列和:给定一个整数数组,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和.示例:输入:[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],输出:6解释:连续子数组[4,-1,2,1]的和最大,为6.解:①凑硬币问题1)定义最优值函数:表示凑出元至少需要多少枚硬币,其中取正整数;2)分析状态所有可能的前置状态的集合:;3)分析从的前置状态转移至的决策的效能:;4)列出状态转移方程:;5)确定边界条件:;6)计算机求解最优值和最优方案:需要5枚硬币,具体如下..Python代码：#凑硬币问题：用2、5、7凑出27元，最少需要多少枚硬币coins=[2,5,7]n_max=27#--------------动态规划：求最少枚数--------------INF=10**6#表示“无穷大”dp=[INF]*(n_max+1)#dp[i]表示凑i元所需最少硬币数dp[0]=0#0元需要0枚foriinrange(1,n_max+1):forcincoins:ifi>=c:dp[i]=min(dp[i],dp[i-c]+1)#--------------回溯：构造具体方案--------------xn=n_maxre=[]#存放硬币面值whilexn>0:forcincoins:ifxn>=canddp[xn]==dp[xn-c]+1:re.append(c)xn-=cbreak#找到一条路径即可跳出#--------------输出结果--------------print(f"至少需要{dp[n_max]}枚硬币，具体方案如下：")print(re)②最大子序列和1)定义最优值函数:数列前项的连续子数组以第项结束的条件下的最大和;2)分析状态所有可能的前置状态的集合:;3)分析从的前置状态转移至的决策的效能:连续子序列包含第项:;连续子序列不包含第项:.需要注意的是从状态转移到有两个决策,并不唯一,这与前面的例子不同.4)列出状态转移方程:;5)确定边界条件:,;6)计算机求解最优值和最优方案:最大和为6,相应的连续子数组为[4,-1,2,1].Python代码：#最大连续子数组和（Kadane算法+回溯）a=[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]n=len(a)#----------动态规划----------dp=[0]*ndp[0]=a[0]#边界条件foriinrange(1,n):dp[i]=max(dp[i-1]+a[i],a[i])max_sum=max(dp)end_idx=dp.index(max_sum)#最大和所在的最后一个下标#----------回溯子数组----------start_idx=end_idxwhilestart_idx>0anddp[start_idx]==dp[start_idx-1]+a[start_idx]:start_idx-=1sub_array=a[start_idx:end_idx+1]#----------输出----------print(f"数组{a}的连续子数组最大和为{max_sum}，具体方案如下：")print(sub_array)（6）设生产T、B、C的数量分别为kg，满足：约束条件：目标函数：调用7.3.4中单纯形python代码，求上述整数规划问题，可得Python代码#调用7.3.4中单纯形法python代码importnumpyasnpclassSimplexSolver:def__init__(self,c,A,b):"""初始化单纯形法求解器:paramc:目标函数系数向量(1×n):paramA:约束系数矩阵(m×n):paramb:约束右侧常数向量(m×1)"""self.c=np.array(c,dtype=float)self.A=np.array(A,dtype=float)self.b=np.array(b,dtype=float)self.m,self.n=self.A.shape#m约束数，n变量数self.tableau=Noneself.basis=Nonedefinitialize(self):"""构造初始单纯形表"""#添加松弛变量self.tableau=np.zeros((self.m+1,self.n+self.m+1))#目标函数行self.tableau[-1,:self.n]=-self.c#负号因为我们要最大化#约束部分self.tableau[:-1,:self.n]=self.Aself.tableau[:-1,self.n:self.n+self.m]=np.eye(self.m)#松弛变量self.tableau[:-1,-1]=self.b#基变量索引self.basis=list(r