2026届广东省广州市第十三中学高三下学期考前适应性训练数学试卷-含解析

/数学（满分150，时间120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数z满足，则（）A. B.1 C.2 D.3.记等差数列的前项和为，若，，则（）A.6 B.8 C.10 D.124.已知，则（）A. B. C.2 D.35.某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（）A. B.评分的众数估值为70C.评分的第25百分位数估值为67.5 D.评分的平均数估值为766.某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（）A.35 B.36 C.42 D.507.设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（）A. B. C. D.8.已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（）A.4 B.3 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列命题正确的是（）A.若样本数据，，的方差为2，则数据的方差为4B.若，，，则C.在一组样本数据，，，，(，不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为D.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和410.已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，则下列有关函数及其性质的描述正确的是（）A.B.为函数图象的一条对称轴C.将的图象向右平移个单位长度后，将得到一个偶函数的图象D.函数的单调递减区间为11.在边长为的正方体中，动点在棱上，动点在棱上，满足．以下对运动过程的描述，正确的是（）A.存在，满足B.存在，使与所成角的余弦值为C.点到平面的距离为定值D.四面体的体积为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程是____________.13.若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______.14.已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记．（1）当时，求OP的长；（2）当面积最大时，求．16.如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体，如图．1若，证明：平面；2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．17.设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足求.18.已知函数．（1）当时，讨论的零点个数；（2）当时，证明：在区间内存在唯一的零点；（3）若对于任意的，都有，求整数的最大值．19.双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为．（1）求双曲线的标准方程；（2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为和．（i）设点的横坐标为，求的取值范围；（ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上．（附：双曲线以点为切点的切线方程为）

数学（满分150，时间120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由对数函数的性质及补集的定义可得.解答过程：因为集合是函数的定义域，根据对数函数性质，得，即.因为全集，由补集的定义得2.若复数z满足，则（）A. B.1 C.2 D.答案：A解析：思路：结合复数运算法则求的代数形式，再求其模.解答过程：因为，所以，所以，故选：A.3.记等差数列的前项和为，若，，则（）A.6 B.8 C.10 D.12答案：A解析：思路：设出公差，利用等差数列前项和公式，结合已知列出方程求解.解答过程：设等差数列的公差为，由，得，解得，由，得，则，所以.故选：A4.已知，则（）A. B. C.2 D.3答案：C解析：思路：根据两角和与差的正弦公式进行化简求值即可.解答过程：由于，那么，，则，故选：C．5.某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（）A. B.评分的众数估值为70C.评分的第25百分位数估值为67.5 D.评分的平均数估值为76答案：C解析：思路：根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出，再根据平均数、百分位数及众数的计算规则计算可得.解答过程：由题意：，解得，A错误，所以平均数为，故D错误；众数为，故B错误；因为，第百分位数估计为，故C正确；故选：C6.某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（）A.35 B.36 C.42 D.50答案：D解析：思路：以舱的人数为分类依据，将5人分配到A、B、C三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数.解答过程：有四类不同的安排情形：①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱，有种不同的安排方法；②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱，有种不同的安排方法；③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱，有种不同的安排方法；④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱，有种不同的安排方法；综上，不同的安排方法共有种.方法提示：本题是分类加法计数原理+分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀或不均匀分组与排列计算.7.设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：画出函数的图像，分析，，，间的关系，然后结合二次函数求解即可.【解答】函数的图像如图所示，，，，，，，，，又因为，所以.8.已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（）A.4 B.3 C. D.答案：A解析：思路：求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合抛物线的定义及三角形面积公式列式求出解答过程：抛物线的焦点，设直线，点，由消去得，则，，即，，，则，因此，所以.故选：A方法提示：易错点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列命题正确的是（）A.若样本数据，，的方差为2，则数据的方差为4B.若，，，则C.在一组样本数据，，，，(，不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为D.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和4答案：BD解析：思路：利用两组线性关系的数据间的方差转换公式可判断A；利用全概率公式可判断B；利用线性相关系数的定义可判断C；利用非线性回归方程的求法可判断D.解答过程：原数据方差，设，则，故A错误；，故B正确；所有样本点都在直线

上，说明完全线性相关，相关系数绝对值为

，直线斜率为负，故相关系数为

，故C错误；模型

取对数得

，令

，则回归方程为

，已知

，故

，，即

，，故D正确.10.已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，则下列有关函数及其性质的描述正确的是（）A.B.为函数图象的一条对称轴C.将的图象向右平移个单位长度后，将得到一个偶函数的图象D.函数的单调递减区间为答案：AC解析：思路：根据题意结合五点法求，即可判断A；对于B：根据最值点与对称轴之间的关系分析判断；对于C：根据图象变换可得，即可判断奇偶性；对于D：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断.解答过程：设函数的最小正周期为，由函数的第一个最低点为，可知；因为函数图象经过点，则，即，且，则或；又因为函数在y轴右侧的第一个零点为，则，即，且，则，解得，当时，，此时函数在y轴右侧的第一个零点为，不合题意；当时，此时，符合题意；对于选项A：，故A正确；对于选项B：因为，不为最值，所以不为函数图象的一条对称轴，故B错误；对于选项C：将的图象向右平移个单位长度，得，为偶函数，故C正确；对于选项D：令，解得，所以函数的单调递减区间为，故D错误.11.在边长为的正方体中，动点在棱上，动点在棱上，满足．以下对运动过程的描述，正确的是（）A.存在，满足B.存在，使与所成角的余弦值为C.点到平面的距离为定值D.四面体的体积为定值答案：ABD解析：思路：建立空间直角坐标系，设，，，由关系证明，由此可得，令，求，判断A，令与所成角的余弦值为，求判断B，取的不同位置，说明点到平面的距离不相等判断C，结合锥体体积公式求四面体的体积判断D.解答过程：以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．因为点在上，故可设点的坐标为；点在上，设点的坐标为，．所以，．因为，所以，得，因此，点坐标为，其中．若，则，故，又，，所以，所以，即存在，满足，A正确；因为，，所以，若与所成角的余弦值为，则，化简可得，所以，所以存在，使与所成角的余弦值为，B正确；设平面的法向量为，则，又，，所以，设，则，，所以为平面的一个法向量，又，所以点到平面的距离为，当或时，，当时，，故不为定值，C错误；四面体，即三棱锥的底面的面积为定值，又平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，故三棱锥的体积恒为定值，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程是____________.答案：解析：思路：应用导数的几何意义求切线方程即可.解答过程：由题设，则切线斜率，又，得，所以曲线在点处的切线方程是，所以切线方程为.故答案为：13.若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______.答案：解析：思路：由题设条件，可得且，解之即得.解答过程：设为与的夹角，则，因为为锐角，所以，解得，且，所以的取值范围是．故答案为：.14.已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________.答案：##解析：思路：根据给定条件，利用椭圆的定义将所求最大值转化为求值的最大值，再结合圆的性质求解.解答过程：因为为椭圆的右焦点，设其左焦点为，圆的圆心，半径，由椭圆的定义得，则，而，当且仅当点在直线上时取等号，所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段延长线与圆的交点时，取得最大值.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记．（1）当时，求OP的长；（2）当面积最大时，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）求出的值，由正弦定理即可求出OP的长；（2）由余弦定理及基本不等式求出与的乘积关系，写出面积表达式，即可得出的值.（1）由题意，在中，，，，∴为等腰直角三角形，∴在以为直径的圆上，取的中点，连接，∴，，在中，，，由正弦定理，，解得：（2）由题意及（1）知，，，在中，，，由余弦定理，，即，即，∴，当且仅当时，等号成立，又，∴当且仅当时，的面积最大，此时，∴．16.如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体，如图．1若，证明：平面；2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：1由正方形的性质推导出，结合，可得平面，由此，再由，能证明平面；2过作交于点，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，可得，利用向量垂直数量积为零求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出结果．解答过程：1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，由已知得，，平面又平面BDE，，又，，平面2在图2中，，，，即面DEFC，在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，由题意得，，由勾股定理可得，则，，过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，．设平面ACD的一个法向量为，由得,取得，设，则m，，，得设CP与平面ACD所成的角为，．所以方法提示：本题主要考查线面垂直的证明，以及空间向量的应用，是中档题．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.17.设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足求.答案：（I），；（II）解析：思路：（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；（II）根据题中所给的所满足的条件，将表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.解答过程：（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意，得，解得，故，，所以，的通项公式为，的通项公式为；（II），记①则②②①得，，所以.方法提示：本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.18.已知函数．（1）当时，讨论的零点个数；（2）当时，证明：在区间内存在唯一的零点；（3）若对于任意的，都有，求整数的最大值．答案：（1）只有一个零点．（2）证明：当时，，，当时，，在上单调递增，，，在区间内存在唯一的零点．（3）3解析：思路：（1）求导得到单调性，利用零点存在定理即可证明结论；（2）求导得到单调性，利用零点存在定理即可证明结论；（3）利用分离参数法得到，令，求导得到函数最小值，即可得到结果.（1）由，当时，由得，在上单调递减，解得，当时，在内只有一个零点．当时，，在上单调递减.，，.又，在内有一个零点．又在上单调递减，当时，在内有一个零点．综上，当时，只有一个零点．（2）略（3），且，，令，则，，由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，设该零点为，则，故当时，，即，在上单调递减，当时，，即，在上单调递增，，，故整数的最大值为3．19.双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为．（1）求双曲线的标准方程；（2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知