2026届贵州省遵义市播州区新南高级中学高三下学期考前质量检测数学试卷-含解析

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B.5 C.5 D.552.若命题p：，，则命题P的否定为（）A.， B.，C.， D.，3.已知集合，，则（）A. B. C.(0,1) D.4.在△ABC中，”A>BA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布．估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有（）参考数据：若，则，．A.75人 B.77人 C.79人 D.81人6.已知直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，且直线l与抛物线交于，B两点，若直线lA.16 B.8 C.12 D.47.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A.12种 B.18种 C.24种 D.36种8.已知函数有唯一零点，则A.−12 B. C. D.1二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知函数，则（）A.的最小正周期为2π B.若，则C.在区间上单调递增 D.的图象关于点中心对称10.甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有2个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（）A.两两互斥 B.C.事件B与事件相互独立 D.11.已知分别为双曲线的左、右焦点，过F2的直线交的右支于A,B两点，若，，则（）A. B.C.的渐近线方程为 D.的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.△ABC的内角，B，所对的边分别为，，.已知，则________．13.已知数列an，若，则数列的前n项和为__________．14.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为__________．四、解答题：本题共5小题，共69分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在△ABC中，已知，．（1）求△ABC（2）若，求△ABC的周长．16.如图，三棱柱的所有棱长均为2，且．（1）证明：；（2）若三棱柱的体积为3，求平面与平面A1CB17.已知椭圆C：（a>b>0），P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过点且与C相交于A，B两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点.18.设函数，其中．(1)若m=1，求函数的单调递减区间．(2)求函数的极值．(3)若函数在区间上恰有两个零点，求m的取值范围．19.某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次．（1）若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望；（2）若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止．①求至少发射3次的概率；②定义为第n次发射成功的概率，是否存在实数t使得数列为等比数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B.5 C.5 D.55答案：A解析：解答过程：因为，故，故.2.若命题p：，，则命题P的否定为（）A.， B.，C.， D.，答案：D解析：思路：由特称命题的否定，将存在改任意并否定原结论，即可确定答案.解答过程：由特称命题的否定为全称命题，所以原命题的否定为，.故选：D3.已知集合，，则（）A. B. C.(0,1) D.答案：B解析：思路：解不等式得到集合A,解答过程：，，所以.故选：B.4.在△ABC中，”A>BA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：借助正弦定理完成边角互化，分别证明充分性与必要性，判定两个命题的等价关系.解答过程：在△ABC中，因，，则sinA>0，先证充分性：A>等价于，由正弦定理得sinAsinB=a再证必要性：sinA由可得sinAsinB>1,由正弦定理得ab=综上，“A>B”

是“5.某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布．估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有（）参考数据：若，则，．A.75人 B.77人 C.79人 D.81人答案：C解析：思路：，，由概率计算人数即可.解答过程：，，，因为，所以，所以数学成绩在分以上的人数约为人.故选：C．6.已知直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，且直线l与抛物线交于A，BA.16 B.8 C.12 D.4答案：A解析：思路：先利用焦点在已知直线上求出参数，联立直线与抛物线方程得到交点横坐标之和，结合抛物线焦点弦长公式直接计算弦长.解答过程：抛物线的焦点坐标为Fp2直线过点F，将Fp2,0代入直线方程得解得，抛物线方程化为.联立y=x−2y2展开整理x2−4x设，，由一元二次方程根与系数关系得x1+x抛物线焦点弦长公式|AB代入数值|AB7.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A.12种 B.18种 C.24种 D.36种答案：D解析：解答过程：4项工作分成3组,可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种．故选D.8.已知函数有唯一零点，则A.−12 B. C. D.1答案：C解析：思路：解答过程：因为，设，则，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当t=0时，才满足题意，即x=1是函数的唯一零点，所以，解得a=12.故选：C.方法提示：利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知函数，则（）A.的最小正周期为2π B.若，则C.在区间上单调递增 D.的图象关于点中心对称答案：AC解析：思路：利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D.解答过程：利用辅助角公式化简：.选项A，最小正周期，A正确；选项B，若，则，即，得：，即，因此，B错误；选项C，当时，令，则在上单调递增，因此在上单调递增，C正确；选项D，若函数关于点中心对称，则满足，则，D错误.10.甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有2个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（）A.两两互斥 B.C.事件B与事件相互独立 D.答案：AD解析：思路：根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.解答过程：因为每次取一球，所以是两两互斥的事件，故A项正确；因为，，故B项错误；又，所以，故D项正确.从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B与事件不相互独立，故C项错误.故选：AD11.已知分别为双曲线的左、右焦点，过F2的直线交的右支于A,B两点，若，，则（）A. B.C.的渐近线方程为 D.的面积为答案：ABD解析：思路：根据双曲线定义计算可判断A；根据计算可判断B；根据双曲线定义结合B可得，再根据双曲线渐近线方程计算可判断C；根据三角形面积公式计算可判断D.解答过程：对于A，双曲线，则a=2，不妨设A点在第一象限，由双曲线定义可知，因为，所以，，故A正确；对于B，因为，，所以，故，所以，故B正确；对于C，由B可知，，因为，所以，所以，即，所以，即，所以的渐近线方程为，故C错误；对于D，由余弦定理可得，，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.△ABC的内角A，B，所对的边分别为，b，.已知，则________．答案：####60°解析：思路：运用余弦定理解三角形即可.解答过程：在△ABC中，由余弦定理知，又，所以，又，所以.故答案为：.13.已知数列an，若，则数列的前n项和为__________．答案：解析：思路：根据递推公式，求得通项公式，进而利用裂项法求其前n项和．解答过程：因为所以两式相减得所以设数列的前n项和为Sn则方法提示：本题考查了通项公式的求法，裂项求和法的简单应用，属于基础题．14.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为__________．答案：解析：思路：圆锥内半径最大的球是圆锥的内切球，设球与底面相切于H，与侧面相切于点B，利用相似三角形即可求出内切球的半径，从而求出内切球的表面积.解答过程：如图，由题意可知，，圆锥内半径最大的球满足与底面相切于H，与侧面相切于点B，则，所以，设球的半径为r，则，所以，解得，故.故答案为：方法提示：本题主要考查了圆锥内切球的表面积的求法，属于中档题.四、解答题：本题共5小题，共69分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在△ABC中，已知，．（1）求△ABC（2）若，求△ABC的周长．答案：（1）（2）15解析：思路：（1）由数量积以及三角形的面积公式求解即可.（2）由余弦定理求解即可.（1）设角的对边分别为a,b,c，则由已知，因为，所以，故△ABC的面积．（2）由余弦定理，所以，所以△ABC的周长．16.如图，三棱柱的所有棱长均为2，且．（1）证明：；（2）若三棱柱的体积为3，求平面与平面A1CB答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）取AB中点M，连接，，可证得平面A1MC，利用线面垂直的性质可证结论；（2）利用体积可得，进而可证，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面A1CB1的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面A1（1）取AB中点M，连接，，又因为△ABC是等边三角形，所以CM又因为，，所以△A1AB是等边三角形，所以A又因为，平面A1MC，所以平面A1MC又平面A1MC，所以.（2）由三棱柱的体积为3．可知三棱锥的体积为1．即,解得，即，所以，又CM⊥AB，A1M所以以M为原点．以MA方向为x轴，以方向为轴，以方向为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，所以，设平面的法向量为，则，令，得，所以平面的一个法向量为，又设平面A1CB则，令，得，所以平面A1CB设平面与平面A1CB1.即平面与平面A1CB117.已知椭圆C：（a>b>0），P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过点且与C相交于A，B两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点.答案：(1)x2(2)证明见解析.解析：解答过程：试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入x24+y2=1，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出k和的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过，P4两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为x2（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知t≠0，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入x24+y由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当m>−1时，Δ>0，欲使l：，即，所以l过定点（2，）点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.18.设函数，其中．(1)若m=1，求函数的单调递减区间．(2)求函数的极值．(3)若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．答案：（1）.（2）的极大值为，无极小值．（3）.解析：思路：（1）先求定义域，由，由可求得单调递减区间．（2）由于m>0,，由的根为>,可求得极值．（3）由（）可知，因为m>0，且，所以只需．解答过程：（）依题意，函数的定义域为，当时，，，令，得，解得x<−1或，又∵，∴函数的单调递减区间是．（），，∵m>0，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，无极小值，综上，的极大值为，无极小值．（）由（）可知，当m>0时，，又，∴0为的一个零点，∴若在恰有两个零点，则，即，解得．方法提示：求函数零点问题，一般利用导数分析函数单调性与极值等图像特征，再根据零点存在性定理分析函数零点个数，数形结合更有利于解题．19.某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次．（1）若某次发射