2026届河南省普通高中学生高三下学期考前适应性考试数学试卷-含解析

/数学满分150分.考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，则（）A. B. C.2 D.3.在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（）A. B. C. D.4.已知函数，则曲线在区间上的对称中心的个数为（）A.6 B.3 C.4 D.55.若定义在上的偶函数满足，且当时，，则（）A. B.0 C. D.6.已知数列的前项和为，且，则“”是“数列为递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（）A. B. C. D.28.已知函数，点在曲线上，则（）A.有最大值为，最小值为1 B.有最大值为0，最小值为C.有最大值为0，无最小值 D.无最大值，有最小值为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.每年4月23日为“世界读书日”，某学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表：

二月三月四月五月六月月份代码12345月借阅量（百册）4.95.15.55.75.8根据上表，可得关于的经验回归方程为，则下列结论正确的是（）A.B.借阅量的下四分位数为5.7C.与的线性相关系数D.七月的借阅量一定不少于百册10.已知为坐标原点，抛物线，，，异于原点的点，分别在，上，，的焦点分别为，，若，则（）A. B.当时，C. D.11.三棱锥中，，且，，与平面所成角为，下列说法中正确的有（）A.当时B.当时三棱锥的外接球半径为C.三棱锥的外接球半径为2时D.三棱锥的外接球半径最小时，三棱锥的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为________.13.在锐角三角形中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为__________.14.甲､乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为的张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取张卡片.记为甲抽取的张卡片中较大编号者的编号，为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为__________；游戏规定：出现“默契局”时，乙得分，甲得分，否则乙得分，甲得分，则三局游戏后甲､乙两人得分之和的数学期望__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.现有一堆除颜色外其他都相同的小球在甲、乙两个袋子中，其中甲袋中有3个红色小球和3个白色小球，乙袋中有2个红色小球和3个白色小球．小明先从甲袋中任取2个球不放回，若这2个球的颜色相同，则再从乙袋中取1个球；若这2个球的颜色不相同，则再从甲袋中取1个球．（1）求小明第二次取到的球是红球的概率；（2）记为小明取到的红球个数，求的分布列及期望值．16.在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，．（1）若，求的面积；（2）求的取值范围．17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，（1）求证：平面；（2）若，分别为棱，的中点，求证：∥平面；（3）设为等边三角形，求直线与平面所成角的大小．18.已知，，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意，都有，求a的取值范围；（3）若，证明：．19.已知椭圆的离心率为，左焦点为，直线0）交椭圆于P，Q两点．（1）求的值．（2）若点在椭圆上（与点P，Q不重合），直线MP的斜率与直线MQ的斜率分别为和．（i）求证：“”的充要条件是“”；（ii）若，求面积的最大值．

数学满分150分.考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先求出集合中不等式的解集，然后根据集合的交集定义求出.解答过程：由，可得，，故.故选：D.2.已知，则（）A. B. C.2 D.答案：A解析：解答过程：因为，所以.3.在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：建立平面直角坐标系确定、的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可.解答过程：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.因为，，所以，，，因为为中点，所以，，则.所以，.所以.4.已知函数，则曲线在区间上的对称中心的个数为（）A.6 B.3 C.4 D.5答案：D解析：思路：结合正弦型函数性质计算可得对称中心的横坐标，，再计算其中在区间中的个数即可得.解答过程：对于函数，其对称中心的横坐标满足，故，，解得，，其在区间上的横坐标可以为，，，，，于是曲线在区间上有个对称中心.故选：D.5.若定义在上的偶函数满足，且当时，，则（）A. B.0 C. D.答案：C解析：解答过程：因为是偶函数，所以，由，得，所以，得，所以是以4为周期的函数，所以．6.已知数列的前项和为，且，则“”是“数列为递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：根据与的关系求出，进而求得，结合数列为递增数列，求出的范围；结合充分条件、必要条件判断即可.解答过程：当时，，当时，，当时，，要使数列为递增数列，则，即，解得；若，则一定满足且，数列递增，充分性成立；若数列递增，则必有，必要性成立；所以“”是“数列为递增数列”的充要条件.7.过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（）A. B. C. D.2答案：A解析：思路：结合图形可知，当时取得最小值，然后可解.解答过程：将圆化为，圆心，半径，因为，所以点在圆C内，记圆心C到直线l的距离为d，则，由图可知，当，即时，取得最小值，因为，所以的最小值为.故选：A8.已知函数，点在曲线上，则（）A.有最大值为，最小值为1 B.有最大值为0，最小值为C.有最大值为0，无最小值 D.无最大值，有最小值为答案：B解析：思路：首先利用导数求出函数的值域，即为的取值范围，再利用，令，转化为求的最值.解答过程：由，则，设，，当时，，在区间单调递增，当时，，在区间单调递减，所以当时，取得最大值，，且时，，，所以当时，，即，函数在区间上单调递增，当时，，即，函数在区间上单调递减，所以当时，取得最大值，当时，，当时，，所以函数的值域是，由题意可知，，所以，设，，当时，，所以当时，，在区间单调递减，当时，，在区间单调递增，所以当时，取得最小值，当时，，当时，，且，所以函数的值域是，所以的取值范围是，故选：B．方法提示：关键点睛：由点在曲线上，即，因此本题的关键是将求的最值转化为求的最值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.每年4月23日为“世界读书日”，某学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表：

二月三月四月五月六月月份代码12345月借阅量（百册）4.95.15.55.75.8根据上表，可得关于的经验回归方程为，则下列结论正确的是（）A.B.借阅量的下四分位数为5.7C.与的线性相关系数D.七月的借阅量一定不少于百册答案：AC解析：思路：对于A：根据回归方程必过样本中心点分析运算；对于B：根据百分位的定义分析运算；对于C：根据相关系数的概念分析理解；对于D：取，代入回归直线分析运算.解答过程：对于A：因为，，所以，得，所以A正确；对于B：因为，所以借阅量的下四分位数为，所以B错误；对于C：因为，所以与的线性相关系数，所以C正确；对于D：由选项A可知线性回归方程为，当，则，所以七月的借阅量约为百册，所以D错误；故选：AC.10.已知为坐标原点，抛物线，，，异于原点的点，分别在，上，，的焦点分别为，，若，则（）A. B.当时，C. D.答案：ABD解析：思路：运用抛物线的性质，结合给定条件把直线与曲线联立求出交点，将三角形面积比转化为关于式子之比，逐个计算判断即可.解答过程：因为，所以抛物线不重合，故，不可能共点，即，故A正确，由题意得，不妨设点，均在直线上，且设，，联立方程组，，得到，解得或，即，同理，因为，所以，由弦长公式得，，而，当时，成立，故B正确，由于直线过原点，故，到直线的距离之比等同其到原点的距离之比，故，化简得，故C错误，而，故D正确.故选：ABD方法提示：关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用抛物线的性质并联立求出交点，然后用含有的式子表示三角形面积，得到所要求的比例关系即可．11.三棱锥中，，且，，与平面所成角为，下列说法中正确的有（）A.当时B.当时三棱锥的外接球半径为C.三棱锥的外接球半径为2时D.三棱锥的外接球半径最小时，三棱锥的体积为答案：AD解析：思路：由题意，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用线面角公式求出与的数量关系，结合外接球球心坐标公式、体积公式列方程分别求出点的坐标，再利用三角函数范围确定参数.解答过程：由，，得.以为原点，为轴正方向，为轴正方向，过点垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：则，，.设，由得：，，则，所以.因，则，所以.代入得：，由得，即，所以，结合，得.在底面上的投影为，与平面所成角满足：.对于A，当时，则有，解得，则，，故A正确；对于B，当时，由选项A得，则对于，有，，故.设球心，则，，由得，解得，则球心，半径，故B错误；对于C，设球心，半径，由得，所以.由得.当时，由，解得（舍）或（舍）；当时，由，解得（舍）或.代入得，即，解得，则，而，故C错误；对于D，外接球半径最小时，球心在底面上，，此时，由，得，代入，解得，所以，，故，则三棱锥的体积为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为________.答案：80解析：思路：二项式展开式的通项公式求解即可.解答过程：的展开式的通项为，令，可得，则，故的系数为80.13.在锐角三角形中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为__________.答案：解析：思路：借助正弦定理与三角形内角和可将、用角表示，再借助三角恒等变换公式可用表示出，最后求出的范围即可得解.解答过程：由正弦定理可得、，则，由三角形为锐角三角形，则，即，则，故，即，即的取值范围为.14.甲､乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为的张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取张卡片.记为甲抽取的张卡片中较大编号者的编号，为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为__________；游戏规定：出现“默契局”时，乙得分，甲得分，否则乙得分，甲得分，则三局游戏后甲､乙两人得分之和的数学期望__________.答案：①.②.解析：思路：①根据的可能取值分类讨论即可，②先考虑单局游戏得分之和的数学期望，再根据每局游戏是相互独立的，从而计算结果.解答过程：①甲先从张卡片中随机抽取张，有种组合，乙从剩下的张中随机抽取张，有种组合，因此一局游戏中甲乙抽卡的所有可能结果总数为种，甲抽取张卡片中较大编号为，乙抽取张卡片编号为，“默契局”的条件是，由题意可知，的可能取值是，当时，甲抽到的卡片只能是，此时需满足，则乙只能抽到，情况数为种；当时，甲抽到的卡片可以是或，此时需满足，则乙可以抽到或，情况数为种；当时，甲抽到的卡片可以是或或，此时需满足，则乙可以抽到或或，情况数为种；当时，甲抽到的卡片可以是或或或，此时需满足，则乙可以抽到或或，情况数为种；当时，甲抽到的卡片可以是或或或或，此时需满足，则乙可以抽到或，情况数为种；当时，甲抽到的卡片可以是或或或或或，此时需满足，则乙只能抽到，情况数为种；当时，甲抽到的卡片可以是或或或或或或，此时需满足，没有满足条件的，情况数为种；因此，“默契局”的总情况数为种，一局游戏成为“默契局”的概率为.②设单局游戏中甲乙得分之和为，则如果是“默契局”：乙得分，甲得分，此时，概率为；如果不是“默契局”：乙得分，甲得分，此时，概率为；则单局得分之和的期望为，由于三局游戏是相互独立的，总得分之和是三局得分之和的累加，根据数学期望的线性性质，有.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.现有一堆除颜色外其他都相同的小球在甲、乙两个袋子中，其中甲袋中有3个红色小球和3个白色小球，乙袋中有2个红色小球和3个白色小球．小明先从甲袋中任取2个球不放回，若这2个球的颜色相同，则再从乙袋中取1个球；若这2个球的颜色不相同，则再从甲袋中取1个球．（1）求小明第二次取到的球是红球的概率；（2）记为小明取到的红球个数，求的分布列及期望值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用全概率公式求解即可；（2）随机变量的值为，分别求得对应的概率，可得分布列，进而可求得期望值.（1）记小明从甲袋中取2个球的颜色相同为事件，记小明从甲袋中取2个球的颜色不相同为事件，记小明第二次取到的球是红球为事件，则，，，，所以由全概率公式，得；（2）随机变量的值为，小明先从甲袋中取2个白球，再从乙袋中取1个白球时，则，小明先从甲袋中取2个球的颜色不相同，则再从甲袋中取1个白球或小明先从甲袋中取2个白球，再从乙袋中取1个红球时，则，小明先从甲袋中任取2个红球，再从乙袋中取1个白球或小明先从甲袋中取2个球的颜色不相同，再从甲袋中取1个红球时，则，小明先从甲袋中任取2个红球，则再从乙袋中取1个红球时，则，所以的分布列如下：0123.16.在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，．（1）若，求的面积；（2）求的取值范围．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换化简，求出角；已知角、边和，利用余弦定理建立关于的方程，求出的值，代入三角形面积公式计算面积；（2）利用正弦定理将其转化为关于角，的三角函数表达式，结合三角形内角和关系将表达式统一为角的三角函数，根据角的取值范围，利用三角函数的性质确定取值范围.（1），；由正弦定理得.，；；.，;，即；，.，，；由余弦定理得，即，解得；.（2）由（1）得，，即.由正弦定理得；，；，，即.17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，（1）求证：平面；（2）若，分别为棱，的中点，求证：∥平面；（3）设为等边三角形，求直线与平面所成角的大小．答案：（1）证明：因为底面为矩形，所以，因为侧面底面，侧面底面，底面，所以平面.（2）证明：取中点，连接，，因为是中点，所以，，又因为矩形，所以，，且是中点，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（3）解析：思路：（1）根据面面垂直的性质定理即可证明平面；（2）易证四边形是平行四边形，进而根据线面平行的判断定理证明即可；（3）由（1）可知平面平面，进而可知是直线与平面所成角，在三角形中求解即可.（1）略（2）略（3）由（1）可知平面，因为平面，所以平面平面，又平面平面，因为为等边三角形，所以，平面，所以平面，连接，所以是直线与平面所成角，在矩形中，，在正中，，所以，因为，因此，即直线与平面所成角为方法提示：18.已知，，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意，都有，求a的取值范围；（3）若，证明：．答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）对进行求导，再通过导数的几何意义结合点斜式即可求出；（2）通过求的二阶导数判断的一阶导数的符号，进而求出的单调性，再求出的最小值即可求出a的取值范围；（3）通过不等式将原式化为只需证，再通过化简变形得到，对进行求导，最后令，对其进行求导即可证明.（1），所以点处的切线斜率为，又，所以切线方程为，即．（2），因为在上均为增函数，所以在上单调递增，又，故当时，，当时