2026届陕西西安铁一中滨河高级中学高三下学期二模数学试卷-含解析

/数学一、单选题（共40分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.已知，其中为虚数单位，则（）A. B.1 C.3 D.3.已知向量，，若，则=（）A. B. C. D.124.设定义在上的奇函数，满足对任意的都有，且当时，，则的值等于（）A. B. C. D.5.若，则的值为（）A. B. C. D.6.2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没•重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（）A. B. C. D.7.已知圆，过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，，若，，…，是公差为的等差数列，则n的最大值是（）A.10 B.11 C.12 D.138.已知函数，若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（共18分）9.下列命题为真命题的是（）A.若样本数据的方差为2，则数据的方差为17B.一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5C.用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好D.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和210.函数的部分图象如图所示，则（）A.的图象关于直线对称B.的图象向左平移个单位长度后得到函数C.的单调递增区间为D.若方程在上有且只有6个根，则11.如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆其左、右焦点分别是，，P为椭圆C上任意一点，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，点，若|的最大值为7，则（）A.椭圆C的离心率为B.若的内切圆半径为则C.若则D.若垂足为，则三、填空题（共15分）12.若二项式展开式的所有项系数之和为，则______．13.已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________．14.如图，已知，是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为__________．四、解答题（共77分）15.设的内角、、的对边分别为、、，已知．（1）求角的大小；（2）若，且，求边上中线的长．16.如图，在四棱锥中，底面，．（1）设分别为的中点，为的重心，证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17.2025年春晚舞台上，机器人扭秧歌表演成为一大亮点.参与表演的机器人UnitreeA1由中国某科技企业制造，其具备出色的负载能力和环境适应能力，可应用于巡检与监控､物流运输､安防与救援等场景.现统计出机器人UnitreeA1在某地区2024年2月至6月的销售量，数据如下表：月份23456销售量455570110用最小二乘法得到UnitreeA1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销售量的方差.（1）求的值（结果精确到0.1）；（2）（i）求的值；（ii）现从这5个月份中随机有放回地抽取3次，每次抽取1个月份，设抽取到销售量大于60的月份次数为，求的分布列和方差.附：回归系数，相关系数.18.如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．（1）若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标；（2）若，证明：；（3）若直线过点，请判断直线是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由．19.已知函数，（1）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值；（3）若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围．

数学一、单选题（共40分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：求出集合A和集合B，再利用集合的交集定义求解．解答过程：由题得，集合，集合，所以．故选：D．2.已知，其中为虚数单位，则（）A. B.1 C.3 D.答案：D解析：思路：整理等式为,等号左右两边实部、虚部对应相等,进而求得解答过程：由题,,所以,则,故选：D方法提示：本题考查相等的复数,考查复数的实部与虚部的定义,属于基础题3.已知向量，，若，则=（）A. B. C. D.12答案：B解析：思路：求出的坐标，根据可得，结合数量积的坐标表示，即可求得答案.解答过程：由题意知向量，，，则，而，故，解得，故选：B4.设定义在上的奇函数，满足对任意的都有，且当时，，则的值等于（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用函数的奇偶性和对称性可分别求得和的值，相加即可求得结果.解答过程：由于函数为上的奇函数，满足对任意的都有，则，，因此，.故选：C.方法提示：本题考查利用函数的奇偶性与对称性求函数值，考查计算能力，属于基础题.5.若，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由辅助角公式得到，再结合余弦二倍角公式即可求解.解答过程：，，故选：C．6.2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没•重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：首先求出基本事件总数，再求出满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的方案数，最后根据古典概型的概率公式计算可得.解答过程：依题意每位同学均有种选择，则四位同学一共有种方案，若小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影，有两人看《哪吒之魔童闹海》，则有种方案，有一人看《哪吒之魔童闹海》电影，则有种方案，即满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案，所以所求概率.故选：C.7.已知圆，过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，，若，，…，是公差为的等差数列，则n的最大值是（）A.10 B.11 C.12 D.13答案：D解析：思路：求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n的最大值解答过程：解：由题意在圆中∴圆心，半径为3，过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，过圆心作弦的垂线，交圆于两点，如下图所示：由几何知识得，当时，为最短弦长；为最长弦长，为6.此时，直线的解析式为：直线的解析式为：圆心到弦BC所在直线的距离：连接,由勾股定理得，∴，∴最短弦长，∵，，…，是公差为的等差数列∴设∵最长弦长为6∴解得：故选：D.8.已知函数，若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用导数研究的单调性，结合函数值的符号和单调性画出示意图，由题意或共有4个不同的实根，由知与的图象仅有一个交点，从而的图象与直线有3个交点，数形结合即可求解.解答过程：由得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，，当时，，画出其大致图象如图.方程即，所以或.因为的极大值为，而，由图可知与的图象仅有一个交点.要使原方程有4个不同的实数根，需的图象与直线有3个交点，由图可知此时的取值范围为.故选：B二、多选题（共18分）9.下列命题为真命题的是（）A.若样本数据的方差为2，则数据的方差为17B.一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5C.用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好D.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2答案：BCD解析：思路：根据方差的性质即可判断A；根据百分位数计算公式即可判断B；根据决定系数的概念即可判断C；根据非线性回归方程的求法并结合对数运算性质即可判断D.解答过程：对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A错误；对B：，则其第80百分位数是，故B正确；对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，故D正确.故选：BCD.10.函数的部分图象如图所示，则（）A.的图象关于直线对称B.的图象向左平移个单位长度后得到函数C.的单调递增区间为D.若方程在上有且只有6个根，则答案：ACD解析：思路：先根据函数图象即得代入两点坐标，求得的值，即得函数解析式，再根据各选项的要求逐一分析，计算，结合正弦函数的图象性质即可判断.解答过程：由图可知，且经过，故可得，由①，结合，则得，代入②，化简得，即，由图知，原函数的最小正周期满足，解得，故，即.对于A，当时，因，故直线是的一条对称轴，故A正确；对于B，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，故B错误；对于C，因，由，可得，即的单调递增区间为，故C正确；对于D，由可得，设，因，则，依题意函数与在上必有6个交点，作出函数的图象如下：由图知，需使，解得，故D正确.故选：ACD.11.如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆其左、右焦点分别是，，P为椭圆C上任意一点，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，点，若|的最大值为7，则（）A.椭圆C的离心率为B.若的内切圆半径为则C.若则D.若垂足为，则答案：BCD解析：思路：对A，结合椭圆定义及三角形不等式即可求解；对B，应用等积法及向量数量积即可求解；对C，应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对D，延长交于点，应用对称性及圆的定义即可求解.解答过程：由，当且仅当三点共线时取得等号，解得，则椭圆方程为，则，A错误；对B，的内切圆半径为，则，解得，根据对称性不妨设在第一象限，由，解得，则，则，即，B正确；由椭圆的光学性质，得点P与l垂直的直线为角的角平分线，则，则，则，则，则，则,,解得或，当时，，M与O重合，不合题意，所以，即，C正确；对D，如图，延长交于点，则在中，，则且为中点，在中，，则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，D正确.故选：BCD三、填空题（共15分）12.若二项式展开式的所有项系数之和为，则______．答案：解析：思路：根据展开式所有项系数的求法，通过赋值，即可求得.解答过程：令得，二项式展开式的所有项系数之和为，解得.故答案为：13.已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________．答案：解析：思路：利用导数的几何意义求a，然后通过数列{}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出．解答过程：由题意知，则，，故，，故，.故答案为方法提示：本题考查数列求和，切线的应用，熟记求和基本方法，准确计算是关键，是基础题14.如图，已知，是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为__________．答案：解析：思路：作图，取的中点并连接，得到，，从而求出直线的斜率，设，，利用点差法得到的值，再根据离心率的公式计算即可得结果.解答过程：如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接，由双曲线的对称性可知为线段的中点，则，所以．由直线的斜率，得，则直线的斜率．设，，则两式相减，得，化简得，即，所以该双曲线的离心率．故答案为：方法提示：方法点睛：本题主要用到了点差法，即利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出两交点的中点坐标和直线斜率的关系，然后再结合题中的相应条件建立等式便可解决问题.四、解答题（共77分）15.设的内角、、的对边分别为、、，已知．（1）求角的大小；（2）若，且，求边上中线的长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）利用正弦定理可得出的值，利用余弦定理得出的值，利用中线向量可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，即为所求.（1）在中，由及正弦定理得，即，因为、，则，即，可得，故.（2）由正弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，，因为为边上的中线，所以，所以，故，因此，边上的中线的长为.16.如图，在四棱锥中，底面，．（1）设分别为的中点，为的重心，证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）因为分别为的中点，则．又在平面外，则平面．连接，延长交于，连接．因为为的重心，则为的中点，从而．又在平面外，则平面．因为是平面内的两条相交直线，则平面平面．因为平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）只需证明平面及平面进而证得平面平面，根据面面平行的性质，证得结果；（2）建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，利用向量公式即可得解.（1）略（2）因为底面，以为原点，如图所示建立空间直角坐标系．由已知可得，点．则．设为平面的法向量，则，即．取，则，所以．设直线与平面所成的角为，则．所以直线与平面所成角的正弦值为．17.2025年春晚舞台上，机器人扭秧歌表演成为一大亮点.参与表演的机器人UnitreeA1由中国某科技企业制造，其具备出色的负载能力和环境适应能力，可应用于巡检与监控､物流运输､安防与救援等场景.现统计出机器人UnitreeA1在某地区2024年2月至6月的销售量，数据如下表：月份23456销售量455570110用最小二乘法得到UnitreeA1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销售量的方差.（1）求的值（结果精确到0.1）；（2）（i）求的值；（ii）现从这5个月份中随机有放回地抽取3次，每次抽取1个月份，设抽取到销售量大于60的月份次数为，求的分布列和方差.附：回归系数，相关系数.答案：（1）（2）（i）；（ii）的分布列为0123，解析：思路：（1）只需求出即可；（2）（i）由回归直线必定过样本中心点即可求解；（ii）由题意，由此可求出分布列，进一步由二项分布的均、方差公式求解方差.（1）由表得，.由，得.，，.（2）（i）回归直线过样本中心点，且，.即，解得.（ii）这5个月中销量大于60的月份有3个，每次抽取到销量大于60的月份的概率为，，，的分布列为0123根据二项分布的方差公式，.18.如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于点，与，．（1）若点是抛物线上位于第一象限内一点，且其到焦点的距离为2，求点的坐标；（2）若，证明：；（3）若直线过点，请判断直线是