2025-2026学年江苏苏州常熟市中学高二下学期5月学习效果阶段调研数学试卷-含解析

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.随机变量的方差是2，则随机变量的方差是（）A.2 B.8 C.5 D.92.展开式中的系数为（）A.504 B.84 C. D.3.在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（）A. B. C. D.4.将2个完全相同的黑球和4个完全相同的白球排成一排的排法种数是（）A.15 B.20 C.30 D.125.函数存在大于1的极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（）A. B. C. D.7.设为两个事件，已知，则（）A. B. C. D.8.苏州旅游局在中小学生春假期间选出6名学生去苏州博物馆、拙政园、虎丘做志愿者，规定：每名学生只能去一个地方，每个地方至少安排一名志愿者，若甲、乙两名学生去拙政园，则不同的安排方法的种数有（）A.38 B.42 C.50 D.56二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知离散型随机变量的分布列为：且，则（）A. B. C. D.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是函数定义域内的极小值点B.的单调减区间是C.若方程有两个不同的实根，则D.在定义域内有最小值，无最大值11.给定正整数，，进行次独立重复试验，每次试验成功的概率为，设事件表示第1次试验成功，事件表示前2次试验中恰有1次成功，事件表示次试验中恰有次成功，事件表示次试验中至少成功次，下列说法正确的有（）A. B.C. D.对任意，事件与事件都不独立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________．13.甲乙兄弟二人与其他六位朋友以随机顺序排成一排照相，则两兄弟之间恰有三人的概率是__________．14.若一条直线经过曲线上一点，且与曲线在处的切线垂直，则称该直线为曲线在处的法线，已知存在一条直线，既是曲线的切线，又是该曲线的法线，则的最大值是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知且满足各项的二项式系数之和为256．（1）求的值；（2）求的值．16.甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为，乙赢的概率为，求：（1）在一轮比赛中，甲的得分的概率分布列（列表表示）；（2）在两轮比赛中，甲的得分的均值与方差．17.如图，在直三棱柱中，平面，，为棱的中点，且．（1）求证：；（2）若平面和平面所成角为，求；（3）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且变化时，球的体积取到最小值，求此时直线与平面所成角的正弦值．18.某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响．（1）当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；（2）当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；（3）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值．19.已知函数，其中，．（1）若，求的单调区间；（2）设，令，已知满足对任意都有两个不同的零点，（i）求的取值范围；（ii）若，1，成等差数列，证明．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.随机变量的方差是2，则随机变量的方差是（）A.2 B.8 C.5 D.9答案：B解析：解答过程：由题意，，.2.展开式中的系数为（）A.504 B.84 C. D.答案：C解析：思路：根据二项式展开式的通项公式，通过赋值法即可求得结果.解答过程：对，其展开式的通项公式，令，故的系数为.故选：C.3.在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设点位于平面内,可得,依次检验选项即可.解答过程：设点位于平面内,则,因为平面的一个法向量，，所以,即若点位于平面内,满足，对于A，若，代入，不为，故A不正确；对于B，若，代入，故B正确；对于C，若，代入，不为，故C不正确；对于D，若，代入，不为，故D不正确；4.将2个完全相同的黑球和4个完全相同的白球排成一排的排法种数是（）A.15 B.20 C.30 D.12答案：A解析：解答过程：将2个完全相同的黑球和4个完全相同的白球排成一排相当于将个球放入个位置中.先从个位置中选个位置放入黑球，余下的个位置放入白球，所以共有种排法.5.函数存在大于1的极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求出函数导数，将问题转化为存在大于1的根，即存在大于1的解，即存在大于1的解，结合二次函数性质即可求得答案.解答过程：由题意知的定义域为，则，由存在大于1的极值点，可知存在大于1的根，即存在大于1的解，即存在大于1的解，而时，随x增大而增大，故，故，故选：B6.有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用超几何分布即可求解.解答过程：由题意知的可能取值为，，，，服从超几何分布，则.7.设为两个事件，已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意可得，解得，因为，所以.8.苏州旅游局在中小学生春假期间选出6名学生去苏州博物馆、拙政园、虎丘做志愿者，规定：每名学生只能去一个地方，每个地方至少安排一名志愿者，若甲、乙两名学生去拙政园，则不同的安排方法的种数有（）A.38 B.42 C.50 D.56答案：C解析：解答过程：将甲、乙安排到拙政园，则剩余的4名学生需分配到苏州博物馆、拙政园、虎丘三个地方，且苏州博物馆和虎丘各至少有一人，总分配方式有种，其中苏州博物馆为空的情况有种，虎丘为空的情况有种，苏州博物馆和虎丘都为空的情况有1种，因此满足条件的不同的安排方法有种.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知离散型随机变量的分布列为：且，则（）A. B. C. D.答案：BCD解析：思路：利用分布列的性质和期望公式可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可判断AB选项，可得出的分布列，利用方差公式可判断C选项，利用分布列的性质可判断D选项.解答过程：由分布列的性质和期望公式可得，解得，所以离散型随机变量的分布列为故，，BCD都对，A错.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是函数定义域内的极小值点B.的单调减区间是C.若方程有两个不同的实根，则D.在定义域内有最小值，无最大值答案：AC解析：思路：先求导数，利用导数求解单调性，极值点，最值即可.解答过程：对于A，定义域为，，令可得，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以是函数的极小值点，A正确；对于B，由A可知当时，，为减函数，所以的单调减区间是和，B不正确；对于C，由前面分析，的单调减区间是和，增区间为，极小值为，简图如下，由图可知，方程有两个不同的实根，则，C正确；对于D，由选项C可知，在定义域内无最小值，也无最大值，D不正确.11.给定正整数，，进行次独立重复试验，每次试验成功的概率为，设事件表示第1次试验成功，事件表示前2次试验中恰有1次成功，事件表示次试验中恰有次成功，事件表示次试验中至少成功次，下列说法正确的有（）A. B.C. D.对任意，事件与事件都不独立答案：ABD解析：解答过程：对于A，，事件表示第1次试验成功，第2次失败，则，故，A正确；对于B，，事件表示第1次试验成功，剩余次恰有次成功，,故，B正确；对于C，表示第1次已成功，剩余次至少次成功的概率；表示第1次已失败，剩余次至少次成功的概率；显然在剩余次试验中需要达标次数越少越容易发生，故，C错误；对于D，第1次成功且n次试验至少成功次剩余次试验至少成功次，次试验至少成功次，显然剩余次试验至少成功次次试验至少成功次，故，即对任意，事件与事件都不独立，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________．答案：解析：思路：由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解.解答过程：由题意得单位向量，，且两两之间夹角为，所以，，所以.13.甲乙兄弟二人与其他六位朋友以随机顺序排成一排照相，则两兄弟之间恰有三人的概率是__________．答案：解析：思路：首先由排列数公式可得甲乙兄弟二人与其他六位朋友共8人排成一排的情况数目，进而分3步计算两兄弟之间恰有三人的情况数目，①甲乙兄弟二人，②从6名朋友中选3个，插在甲乙兄弟二人之间，③把甲乙兄弟二人和3名朋友看成一个整体和余下的3个朋友排列，由分步计数原理可得其情况数目，由等可能事件的概率计算可得答案．解答过程：甲乙兄弟二人与其他六位朋友共8人排成一排，有种情况，要使得两兄弟之间恰有三人的，可以先排甲乙兄弟二人有种方法，再从6名朋友中选3个，插在甲乙兄弟二人之间，有种方法，再把甲乙兄弟二人和3名朋友看成一个整体和余下的3个朋友排列共种方法，所以两兄弟之间恰有三人的情况有种，所以其概率为.14.若一条直线经过曲线上一点，且与曲线在处的切线垂直，则称该直线为曲线在处的法线，已知存在一条直线，既是曲线的切线，又是该曲线的法线，则的最大值是__________．答案：解析：思路：设该直线是曲线在点处的切线，同时是曲线在点处的法线，先对曲线求导，结合题意可得；同时切线斜率为，可推出，代入后整理得到，利用换元法整理为一元二次方程，结合判别式，即可求得答案.解答过程：由，得，设存在一条直线，是曲线在处的切线，又是该曲线在处的法线，且，则可得，又这条直线的斜率为，即得，化简得，即，则，结合，得，即，代入到中，得，令，则，即，该方程存在非负实数根，由于，故方程的两根为正数，故，得，解得，故的最大值是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知且满足各项的二项式系数之和为256．（1）求的值；（2）求的值．答案：（1）448（2）255解析：思路：（1）先由各项的二项式系数之和为256．可得，求得，再利用通项求解即可；（2）利用赋值法令，得，再令，得，再减去即可．（1）因为各项的二项式系数之和为256，所以，所以，二项式展开式的通项为，所以；（2）令，得，令，得，所以．16.甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为，乙赢的概率为，求：（1）在一轮比赛中，甲的得分的概率分布列（列表表示）；（2）在两轮比赛中，甲的得分的均值与方差．答案：（1）答案见解析（2）甲的得分的均值与方差分别为解析：思路：（1）根据题意一轮比赛中，甲得分的可能取值为，分别求解概率即可得分布列；（2）甲在二轮比赛中的得分可能取值为，分别求解概率，根据均值与方程的定义求解即可得结论.（1）一轮比赛中，甲得分的可能取值为，，则的概率分布列为：（2）甲在二轮比赛中的得分可能取值为，，，，，所以甲的得分的均值为，甲的得分的方差为，甲的得分的均值与方差分别为.17.如图，在直三棱柱中，平面，，为棱的中点，且．（1）求证：；（2）若平面和平面所成角为，求；（3）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且变化时，球的体积取到最小值，求此时直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）在直三棱柱中，平面，又平面，可得，已知，且，故平面．因为平面，所以．（2）1；（3）．解析：思路：（1）利用线面垂直的性质定理求证；（2）设，结合空间向量知识，用表示平面和平面所成角的余弦值，进而列方程求解；（3）设外接球心，半径为，由表达与的关系，进而求出球的体积取到最小值时的值，在用向量法求直线与平面所成角的正弦值．（1）略（2）以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．设，则，，，．易求得平面的一个法向量为．平面的一个法向量为．由题意：解得，因，故，即．（3）直角的外接圆心为斜边中点．设外接球心，半径为，由可得：解得．球半径，当且仅当时，取得最小值，体积最小．此时，且球心．所以，代入（2）中求出的法向量可得平面的法向量．设所求角为，则：直线与平面所成角的正弦值为．18.某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响．（1）当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；（2）当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；（3）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值．答案：（1）（2）的分布列为：01234数学期望为；（3）解析：思路：（1）利用条件概率公式求解；（2）求出的可能值，再利用二项分布的概率求出分布列及期望.（3）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出概率，再结