2025-2026学年江苏扬州中学教育集团树人学校高一下学期6月阶段测试数学试卷-含解析

/数学考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.）1.某工厂生产A，B，C,3种不同型号的产品，产量之比为.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中A种型号的产品有18件，则样本容量（）A.40 B.60 C.80 D.1002.已知点，，若直线上的点满足，则点坐标为（）A. B. C. D.3.下列命题正确的个数为（）（1）如果直线，那么平行于经过的任何平面（2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行（3）如果直线，和平面满足，，那么（4）如果直线，和平面满足，，，那么A.1 B.2 C.3 D.44.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. D.5.已知平面向量，，若在上的投影向量为，则的值为（）A. B.-2 C.或-2 D.或-26.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）A. B.9 C. D.17.的值为（）A.1 B. C. D.28.若外接圆的圆心O，半径为，且，则边BC长为（）A. B. C. D.二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.）9.已知，，，，是平面向量，则下列选项中，正确的是（）A.若，，则B.若，，则，可以作为平面内的一组基底C.若，，则在上的投影向量为D.若，，，则10.在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（）A.，， B.，，C.，， D.，，11.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P是侧面内的动点不含边界，下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.存在点P，使得平面C.若正方体棱长为2，P为侧面的中心，则四棱锥的外接球体积为D.若正方体棱长为2，O为线段A1D的中点，OP与平面所成角为，则点P的轨迹长度为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）12.现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为______．95226000

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6460892513.用一张长，宽的矩形铁皮围成圆柱体的侧面，则这个圆柱体的体积=________14.已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是___________.四、解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15.已知，，与的夹角为.（1）求；（2）若向量与相互垂直，求实数k的值；（3）若向量与相互平行，求实数k的值.16.如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点F为侧棱PC上一点．（1）若PF＝FC，求证：PA∥平面BDF；（2）若BF⊥PC，求证：平面BDF⊥平面PBC．17.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调增区间；（2）若函数在区间上的值域，求m的取值范围.18.如图，在长方体中，，，点P为棱中点.（1）求证：平面PAC；（2）求异面直线与CP所成角的大小；（3）求二面角的平面角的正切值.19.如图，已知中，，，，，为线段上两点，且.（1）若，求的值；（2）设，试将的面积表示为的函数，并求其最大值；（3）若，求的值.

数学考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.）1.某工厂生产A，B，C,3种不同型号的产品，产量之比为.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中A种型号的产品有18件，则样本容量（）A.40 B.60 C.80 D.100答案：B解析：思路：运用分层抽样知识可解.解答过程：分层抽样抽样比为，样本中A种型号的产品有18件，则样本中B,C种型号的产品有12件,30件.则样本容量.故选：B.2.已知点，，若直线上的点满足，则点坐标为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，利用向量线性运算及坐标表示求解.解答过程：令坐标原点为，由，得，则，而点，，因此，所以点坐标为.故选：D3.下列命题正确的个数为（）（1）如果直线，那么平行于经过的任何平面（2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行（3）如果直线，和平面满足，，那么（4）如果直线，和平面满足，，，那么A.1 B.2 C.3 D.4答案：A解析：思路：对于（1）考虑到a可能与b在同一平面内即可判断；对于（2）根据直线与平面平行性质即可判断；对于（3）直线平行不能通过平面传递；（4）综合直线与平面平行性质与判定.解答过程：（1）如果直线，那么平行于经过的任何平面，错误，理由如下：还有可能在经过的平面内；（2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行，错误，理由如下：直线与平面内的直线平行或异面；（3）如果直线，和平面满足，，那么，错误，理由如下：直线，还可能相交或异面；（4）如果直线，和平面满足，，，那么，正确，理由如下：若，则存在使得，又，所以.4.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用正弦定理求出角，然后再求解的值.解答过程：由，，，可得，所以，.5.已知平面向量，，若在上的投影向量为，则的值为（）A. B.-2 C.或-2 D.或-2答案：D解析：思路：使用投影向量的概念求出在上的投影向量，再求出的值.解答过程：由于在上的投影向量为,又，所以，，解得或-2.6.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）A. B.9 C. D.1答案：C解析：思路：利用正弦定理可得，结合三角恒等变换运算求解.解答过程：因为，由正弦定理可得，且，即，整理可得，所以.7.的值为（）A.1 B. C. D.2答案：C解析：思路：运用和差化积公式进行化简分子部分变为，再使用诱导公式、二倍角公式化简分母，从而让问题得到解决.解答过程：运用和差化积公式进行化简，得.8.若外接圆的圆心O，半径为，且，则边BC长为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用二倍角正弦公式化简已知等式，再利用三角形外心、向量数量积及正弦定理、和角的余弦公式求解.解答过程：在中，令内角所对边分别为，其外接圆半径为，则，由，得，，则，等式两边同时乘以是，，由外心性质可得：，则，即，因此，所以．二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.）9.已知，，，，是平面向量，则下列选项中，正确的是（）A.若，，则B.若，，则，可以作为平面内的一组基底C.若，，则在上的投影向量为D.若，，，则答案：BC解析：思路：根据共线向量判断A、B，根据投影向量的定义判断C，根据数量积的运算律判断D.解答过程：对于A：当，、不平行时，满足，，得不出，故A错误；对于B：，，所以、不共线，、可作为平面内的一组基底，故B正确；对于C：因为，，所以，，所以在上的投影向量为，故C正确；对于D：，，，，故D错误．故选：BC．10.在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（）A.，， B.，，C.，， D.，，答案：ABD解析：思路：对于A、B、D根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解.解答过程：对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；对于C，由正弦定理，即，所以，因为，则,因为，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误；对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确.故选：ABD.11.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P是侧面内的动点不含边界，下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.存在点P，使得平面C.若正方体棱长为2，P为侧面的中心，则四棱锥的外接球体积为D.若正方体棱长为2，O为线段A1D的中点，OP与平面所成角为，则点P的轨迹长度为答案：AC解析：思路：对于A：根据面面平行的性质结合锥体的体积公式分析判断；对于B：根据正方体的性质可知⊥平面，进而可得结果；对于C：根据题意可证，结合直角三角形的性质分析求解；对于D：根据线面夹角可得，分析可知相应的轨迹，运算求解即可.解答过程：对于选项A：因为平面平面，可知点P到平面的距离为正方体棱长，设为，所以三棱锥的体积为，故A正确；对于选项B：因为为正方形，则，又因为平面，平面，则，且，平面，可得平面，由平面可得，同理可得：，且，平面，可得⊥平面，但点P是侧面内，即点P不与点C重合，所以不存在点P，使得⊥平面，故B错误；对于选项C：因为P为侧面的中心，，则，又因为平面，平面，则，且，平面，可得平面，由平面，可得，取的中点，可得，又因为，可得，即，可知三棱锥的外接球的球心为，半径，所以三棱锥的外接球体积为，故C正确；对于选项D：取的中点，连接，可知∥，且，因为平面，则平面，可知OP与平面所成角为，则，可知点P在平面内的轨迹为圆（虚线所示），点P在侧面内的轨迹为四段圆弧（实线线所示），取的中点，则，即，则，结合对称性可知：点P的轨迹长度为，故D错误；故选：AC.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）12.现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为______．95226000

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64608925答案：14解析：思路：根据随机数表法的读取规则，即可求解.解答过程：由题意可知，第一支为01，以后依次为17，09，08，06，14，所以第6支水笔的编号为14.故答案为：1413.用一张长，宽的矩形铁皮围成圆柱体的侧面，则这个圆柱体的体积=________答案：解析：解答过程：设圆柱的底面半径为,若圆柱的高为，则，即，所以圆柱的体积，若圆柱体的高为，则，即，所以圆柱的体积，故答案为或.14.已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是___________.答案：解析：思路：由结合题干中，得到，再由正弦定理得到，整理得，从而，由是锐角三角形得，由正弦定理，从而由的范围得到的取值范围.解答过程：因为，所以，所以，所以，整理可得：，即，在锐角三角形中，，即，即，又因为，得，所以，所以，因为，所以.故答案为：.方法提示：思路点睛：正弦定理边化角正弦定理（为的外接圆半径），则，，，，.四、解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15.已知，，与的夹角为.（1）求；（2）若向量与相互垂直，求实数k的值；（3）若向量与相互平行，求实数k的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先计算两向量的点积，再代入公式即可；（2）根据两向量垂直列式求解即可；（3）根据两向量平行列式求解即可.（1）由题意得，.（2）向量与相互垂直，，即，解得.（3）向量与相互平行，存在实数使得，又不共线，，解得，即.16.如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点F为侧棱PC上一点．（1）若PF＝FC，求证：PA∥平面BDF；（2）若BF⊥PC，求证：平面BDF⊥平面PBC．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）设AC，BD的交点为O，所以PA∥OF，利用线面平行的判定定理即可证得结论；（2）由题意得BD⊥AC，BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，则BD⊥PC，又BF⊥PC，所以PC⊥平面BDF，利用面面垂直的判定定理可得结论.（1）设AC，BD的交点为O，连OF，因为底面ABCD为菱形，且O为AC中点，PF＝FC，所以PA∥OF，又PA平面BDF，OF平面BDF，故PA∥平面BDF．（2）因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以BD⊥PA，又ACBD＝O，AC，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAC，又PC平面PAC，所以BD⊥PC，又BF⊥PC，BDBF＝B，BD，BF平面BDF，所以PC⊥平面BDF，又PC平面PBC，故平面BDF⊥平面PBC.17.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调增区间；（2）若函数在区间上的值域，求m的取值范围.答案：（1）最小正周期为，单调增区间为；（2）的取值范围是解析：（1），所以的最小正周期，正弦函数的单调增区间为，令，代入可得，即，所以的单调增区间为.（2）当时，，在区间上的值域为，即，所以，因为在上单调递减，在上单调递增，且，，所以，解得，即的取值范围是.18.如图，在长方体中，，，点P为棱中点.（1）求证：平面PAC；（2）求异面直线与CP所成角的