2025-2026学年江西丰城市第九中学、第二中学高一下学期5月月考检测数学试卷-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.2.已知函数的最小正周期为，则的对称中心为（）A. B.C. D.3.在中，向量与满足，且，则为（）A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰非等边三角形4.如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（）参考数据：.A.米 B.米 C.300米 D.米5.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则（）A. B. C. D.7.定义在上的奇函数满足，且当时，，则错误的是（）A.满足B.在上单调递减C.的图象关于直线对称D.的图像关于点对称8.在中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（）A.点G为的重心，若，则B.若满足，，的有两解，则t的取值范围为C.若则是的外心D.若点O为内一点，且，则二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在音乐合成中，两个简单的声波可以叠加形成新的波形.已知某合成波形对应的函数为，下列关于该函数说法正确的是（）A.的最小正周期为 B.的最大值为C.的图象关于直线对称 D.在区间上单调递增10.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得B.若，则C.若且，则D.若平面内有四个点A、B、C、D，则必有11.下列说法正确的是（）A.5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件B.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为C.数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4D.某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则________．13.函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为________．14.已知是边长为4的等边三角形，P是平面ABC内一点，则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，，．（1）求，；（2）若，求的取值范围．16.在中，内角，，的对边分别为，，，，（1）求角；（2）若，求的面积．17.已知函数且为奇函数.（1）求实数的值及函数的值域；（2）解不等式；（3）求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围.18.已知，，函数.（1）求函数的解析式及周期；（2）若，且，求的值.（3）角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值.19.如图，在中，延长至点，使得，点在线段上，延长，交于点，且，记，．（1）请用表示向量；（2）若为的中点，求实数的值；（3）在（2）的条件下，若，求的值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：已知，则，解得，在方向上的投影向量为：．2.已知函数的最小正周期为，则的对称中心为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先利用正切函数的周期公式求出参数，再根据正切函数对称中心的性质列方程求解横坐标，得到的对称中心.解答过程：对于正切型函数，最小正周期公式为，已知最小正周期，代入得，解得，因此函数为.

正切函数的对称中心为，令整体，解得，即，​因此的对称中心为.3.在中，向量与满足，且，则为（）A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰非等边三角形答案：D解析：思路：由方向向量和向量垂直可得的角平分线与边垂直，再根据数量积定义和三角形内角和定理判断三角形形状即可.解答过程：、分别是、方向的单位向量，两个单位向量的和方向为的角平分线方向，由条件，可知的角平分线与边垂直，因此，为等腰三角形.由向量数量积的定义，可得：是三角形内角，即，因此.结合得，可得，三个内角不全相等，故是等腰非等边三角形.4.如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（）参考数据：.A.米 B.米 C.300米 D.米答案：A解析：解答过程：由题可知，则，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又，两式相加，得，即，解得.5.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由可求出的取值范围，根据函数的单调性可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围.解答过程：因为，当时，，因为函数在上单调递减，所以，所以，解得，由可得，又因为，所以可得，即，又因为，所以，故，所以的取值范围是.6.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据条件，可得，由正弦定理边化角，结合两角差的正弦公式，可得，根据角的范围，整理求解，即可得答案.解答过程：因为，，所以.由正弦定理，得，所以，即.在锐角三角形中，，，所以，即，所以.7.定义在上的奇函数满足，且当时，，则错误的是（）A.满足B.在上单调递减C.的图象关于直线对称D.的图像关于点对称答案：B解析：思路：根据函数的周期性、单调性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.解答过程：根据题意，依次分析选项：对于A，函数满足，则，是周期为的周期函数，A正确；对于B，因为为奇函数，当时，，则，，故在上不具有单调性，B错误；对于C，是周期为的周期函数，则有，变形可得，的图象关于直线对称，C正确；对于D，奇函数是周期为的周期函数，则，变形可得，的图象关于点对称，D正确；故选：B8.在中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（）A.点G为的重心，若，则B.若满足，，的有两解，则t的取值范围为C.若则是的外心D.若点O为内一点，且，则答案：C解析：思路：根据重心的性质用表示，可得，从而求得判断A；根据余弦定理及二次方程有两根，求得的范围，判断B；由向量的数量积的运算及外心的定义判断C；延长交于点，由向量的线性运算法则及向量共线定理，可得，从而求得面积比，判断D.解答过程：选项A：点为的重心，设中点为，则=，故，即，，所以，A正确；选项B：首先，且必有两种可能的取值，由余弦定理，得，故关于的方程必有两个不同的正数解，所以，解得.另一方面当时，，所以，所以，且，所以可能是锐角，也可能是钝角，所以确有两解.所以的取值范围是，B正确；选项C：若，则，所以，所以点在边的高上，所以不一定是的外心，所以C错误；选项D：若点为内一点，且，延长交于点，故存在实数，使得，由于在直线上，故，从而，即，所以，故，D正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在音乐合成中，两个简单的声波可以叠加形成新的波形.已知某合成波形对应的函数为，下列关于该函数说法正确的是（）A.的最小正周期为 B.的最大值为C.的图象关于直线对称 D.在区间上单调递增答案：AB解析：思路：化简函数，结合三角函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解.解答过程：由函数，对于A，函数的最小正周期为，所以A正确；对于B，函数的最大值为，所以B正确；对于C，令，可得，其中不是的解，所以不是的对称轴，所以C错误；对于D，由，可得，当时，即时，函数单调递增；当时，即时，函数单调递减，所以D错误.10.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得B.若，则C.若且，则D.若平面内有四个点A、B、C、D，则必有答案：AD解析：解答过程：根据向量共线定理，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得，所以选项A正确；是方向相同，模长相等，不能得出，所以B错误；由得，当时，得，不能得出，所以C错误；对于平面内任意四个点A、B、C、D，由，所以D正确；11.下列说法正确的是（）A.5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件B.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为C.数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4D.某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生答案：AD解析：解答过程：对于A，“甲站正中间”与“乙站正中间”不可能同时发生，它们是互斥事件，A正确；对于B，向上面的点数是3的整数倍的概率为，B错误；对于C，这组数据已经是从小到大排列，又，故25%分位数为，C错误.对于D，，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则________．答案：解析：思路：先利用和，将原式化为关于的二次齐次式，再通过弦化切转化为关于的分式方程，结合分母不为零的条件解得，最后用正切二倍角公式求出的值．解答过程：由，得，即，化简得，所以，解得，所以．13.函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为________．答案：解析：思路：根据三角函数的图象，求出函数的周期及，进而求出，再逆用五点法求出，即可得到结论．解答过程：由图象得，，即周期，即，所以，又，所以函数的解析式为.14.已知是边长为4的等边三角形，P是平面ABC内一点，则的最小值为______．答案：解析：思路：建立平面直角坐标系，设，则即可求解.解答过程：以为轴，中垂线为轴建立平面直角坐标系，由已知有，设点，则有，所以，所以，当点时，等号成立.所以的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，，．（1）求，；（2）若，求的取值范围．答案：（1），或（2）解析：思路：（1）利用交集、并集与补集定义计算即可得；（2）利用集合间包含关系运算即可得.（1）由，，则或，则，或；（2）由于，则有，解得.16.在中，内角，，的对边分别为，，，，（1）求角；（2）若，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由，，可得，利用正弦定理将边转化为角的正弦即可求解；（2）根据余弦定理可求得，利用面积公式求解即可.（1）由，，得，由正弦定理可得，因为，所以，所以，故，由，得；（2）由余弦定理可，得，解得，所以的面积为.17.已知函数且为奇函数.（1）求实数的值及函数的值域；（2）解不等式；（3）求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围.答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解；（2）根据条件得，利用指数不等式的解法，即可求解；（3）根据条件，将问题转化成在上有两个不等根，令，利用二次函数根的分布建立方程组，即可求解.（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数，则，解得，所以，则，所以满足题意，又，所以，则，所以函数的值域为.（2）由（1）知，由，得到，整理得到，解得，所以不等式的解集为.（3）因为，令，即，整理得到，又函数在区间上有两个不同的零点，所以时，方程有两个不等根，令，得到，又在区间上单调递增，所以，则在上有两个不等根，令，则，解得，所以实数的取值范围为.18.已知，，函数.（1）求函数的解析式及周期；（2）若，且，求的值.（3）角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值.答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可；（2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可；（3）由得出，根据余弦定理结合基本不等式计算求解即可.（1）.周期；（2）由可知，，化简得，，，