2025-2026学年江西省上饶市横峰县横峰中学高二下学期5月期中数学试卷-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列的通项公式为，则的值为（）A.1 B.2 C.0 D.32.在等差数列中，若，则（）A.3 B.4 C.6 D.123.定义在上的函数，则（）A. B. C.2 D.44.已知数列是等比数列，且，则（）A.4 B.8 C.12 D.165.下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.6.已知数列的首项为1，是数列的前项和，则下列结论正确的是（）A. B.数列是等比数列C. D.7.对于数列，定义为数列的“最优值”，现已知数列的“最优值”，记数列的前项和为，则（）A.2027 B. C.2028 D.8.已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是，接下来的两项是、，再接下来的三项是、、，以此类推，若且该数列的前项和为2的整数幂，则的最小值为（）A.440 B.330 C.220 D.110二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列曲线在x=0处的切线的倾斜角为钝角的是（）A.曲线 B.曲线C.曲线 D.曲线10.某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（）A. B.C. D.11.已知对勾函数的图象是双曲线，焦点分别为、，直线与对勾函数的图象交于、两点，且和在第一象限，过作直线的垂线，垂足为，则（）A.对勾函数的离心率为 B.C. D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则_____________．13.已知是函数图象上的点，则到直线的最小距离为_____________．14.在数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知曲线．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过原点的切线方程．16.已知数列前n项和为，且，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．17.如图，在四棱锥中，平面，为棱PD上一点，．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．18.马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复.（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为；①证明：为等比数列；②当时，恒成立，求m的取值范围.19.已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于不同两点，与圆相切于点．①证明：（为坐标原点）；②设，求实数的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列的通项公式为，则的值为（）A.1 B.2 C.0 D.3答案：A解析：思路：根据数列的通项公式的意义求解即可.解答过程：因为数列的通项公式为，所以.2.在等差数列中，若，则（）A.3 B.4 C.6 D.12答案：C解析：解答过程：在等差数列中，若，则4a6=24，解得：3.定义在上的函数，则（）A. B. C.2 D.4答案：A解析：思路：根据导数的定义求解.解答过程：4.已知数列是等比数列，且，则（）A.4 B.8 C.12 D.16答案：A解析：解答过程：由等比数列的性质知：，a2a所以a25.下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据导数的运算确定正确答案.解答过程：，A选项错误.，B选项正确.e5(x6.已知数列的首项为1，是数列的前项和，则下列结论正确的是（）A. B.数列是等比数列C. D.答案：B解析：思路：由递推式配凑得，判定为等比数列推出通项，再依次代入验证、选项通项式与前项和公式，即可判断各选项正误.解答过程：由，变形得，即，且，故是首项为，公比为的等比数列，B正确.由等比数列通项得，即，C错误.选项A.将代入通项，，A错误.选项D.前项和Sn=k=17.对于数列，定义为数列的“最优值”，现已知数列的“最优值”，记数列的前项和为，则（）A.2027 B. C.2028 D.答案：C解析：思路：根据新定义利用作差法求得，再由等差数列前项和公式计算求解.解答过程：由已知，所以，所以，时，，两式相减得，所以，也适合，所以是等差数列，所以所以.8.已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是，接下来的两项是、，再接下来的三项是、、，以此类推，若且该数列的前项和为2的整数幂，则的最小值为（）A.440 B.330 C.220 D.110答案：A解析：思路：把题设中的数列分成如下的组：，记前组的和为，算出后结合前项和为2的整数幂可得的最小值.解答过程：把题设中的数列分成如下的组：，记前组的和为。则.令即，故.故当时，数列至少包括前13组且含有第14组的前个元素.设前项和为2的整数幂且第项为第组的第个元素，则，且前项和，其中，.下证：当时，总有.记，则当时，有，故为单调增数列，而，故即.所以，由为2的整数幂，故，从而，当时，，与矛盾；当时，，此时，故选：A.方法提示：本题考查分组数列的和以及与不定方程的整数解，对于分组数列的前项和的问题，一般采用计算“大组”和，再计算“小组”和，而不定方程的整数解问题，则需把和式放缩为2的正整数幂的形式，从而确定和的表达式，本题属于难题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列曲线在x=0处的切线的倾斜角为钝角的是（）A.曲线 B.曲线C.曲线 D.曲线答案：BC解析：思路：利用导数的几何意义进行逐一判断即可.解答过程：若，则，当时，，故选项A不符合题意；若，则，当时，，故选项B符合题意；若，则，当时，，故选项C符合题意；若，则，当时，，故选项D不符合题意，故选：BC10.某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：解答过程：已知甲机器人作业时长，即，，乙机器人作业时长，即，，，故A错误；，则，B正确；设，则，，，故C正确；，，故D正确．11.已知对勾函数的图象是双曲线，焦点分别为、，直线与对勾函数的图象交于、两点，且和在第一象限，过作直线的垂线，垂足为，则（）A.对勾函数的离心率为 B.C. D.若，则答案：ABD解析：解答过程：对勾函数的两条渐近线分别为轴和，所以它的对称轴为，设双曲线的实轴长为，虚轴长为，且，由双曲线的性质可知，化简可得离心率，故A正确；对称轴与的交点坐标为和，所以，因为，关于原点对称，所以，故B正确；由图可知，且，所以，故，C错误；若，则四边形为矩形，所以，设，故有解得，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则_____________．答案：1解析：解答过程：f'所以f'13.已知是函数图象上的点，则到直线的最小距离为_____________．答案：解析：思路：分析可知曲线在点处的切线与直线平行，利用导数的几何意义求出点的坐标，再利用点到直线的距离公式可求得结果.解答过程：当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线与直线平行，对函数求导得，令，可得，则，此时，点的坐标为，因此，到直线的最小距离为.故答案为：.14.在数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为__________.答案：解析：思路：先利用累加法结合等比数列求和求出数列的通项公式，再将一元二次不等式因式分解，结合数列的奇偶项单调性，确定不等式对任意恒成立时的取值范围.解答过程：根据题意，，即，当时，，符合上式，所以，因为，整理可得，所以当为奇数时，单调递减且，最大值为；当为偶数时，单调递增且，最小值为，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知曲线．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过原点的切线方程．答案：（1）（2）和．解析：思路：（1）利用导数的几何意义，先求曲线的导函数，验证点在曲线上，再计算该点处的导数值得到切线斜率，最后用点斜式写出切线方程.（2）设出切点坐标，结合导数的几何意义表示切线斜率，再利用两点间斜率公式表示过原点的切线斜率，联立方程求解切点，进而得到过原点的切线方程.（1）已知曲线，先求导：,验证点在曲线上：，点在曲线上．求该点的切线斜率：,由点斜式得：,整理得切线方程：.（2）设切点为，即，切点处的斜率：,所以切线方程为，切线过原点，即，整理得，解得或．当时，切点为，斜率，切线方程为：当时，切点为，斜率，切线方程为：因此，过原点的切线方程为和．16.已知数列前n项和为，且，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．答案：（1）（2）解析：（1）因为，所以当时，，两式作差得，又符合上式，故的通项公式为.（2）由（1）知，，则.17.如图，在四棱锥中，平面，为棱PD上一点，．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）如图，连接，设，可证，由线面平行的判定定理可证平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值．（1）如图，连接，设，因为，且，故，而，故，故，而平面，平面，故平面.（2）因为，故，故，而平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，，故，又.设平面的法向量为，则即，取，设平面的法向量为，则即，取，设二面角的平面角为，由题设可得为锐角，故.18.马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复.（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为；①证明：为等比数列；②当时，恒成立，求m的取值范围.答案：（1）；（2）①证明见解析；②解析：思路：（1）根据全概率公式求得正确答案.（2）①先求得的关系式，然后利用构造法证得为等比数列；②先求得，然后求得的最大值，由此求得的取值范围.（1）设为“第一天选择米饭套餐”：为“第二天选择米饭套餐”，则为“第一天不选择米饭套餐”，根据题意，，，，由全概率公式得：.（2）①：证明：设为“第n天选择米饭套餐”，则，，根据题意，，，由全概率公式得：因此，.是以为首，为公比的等比数列.②：根据①可得，所以，下求的最大值，要求的最大值，则为偶数，当为偶数时，，此时是单调递减数列，所以的最大值为，因此，则m的取值范围是.19.已知椭圆的一个焦点与短