2025-2026学年江西省宜春市丰城市第九中学高二下学期6月阶段性检测数学试卷-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.已知，为非零向量，命题和命题，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4.一个等差数列的首项为，从第10项起各项都比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是（）A. B.C. D.5.在等比数列中，，是方程的两个解，则（）A. B. C.25 D.6.设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A. B. C. D.7.已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A. B.C. D.8.对于函数，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分.9.已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（）A. B. C. D.10.下列命题正确的是（）A.若，则或B.若，，则C.若，，，则的最小值为9D.若，，则的最大值为1811.已知函数，则下列不正确的是（

）A.若，则B.若在区间上单调递增，则C.当时，函数的递减区间为D.若方程有三个实数解，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若数列满足，，则________.13.若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____．14.如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，已知正三棱柱中，，点P为的中点.（1）证明：平面；（2）求点B到平面的距离.16.已知椭圆的离心率为且经过点.试求：（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由.17.已知函数（1）求在处的切线方程；（2）求的单调区间，并求在上的最大值.18.某社区有甲､乙两个垃圾投放点.据观察，该社区居民选择垃圾投放点有以下规律：居民每天都会去投放垃圾，前一天选择投放点甲的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为；前一天选择投放点乙的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为.从观察日起，居民第一天选择甲的概率为，选择乙的概率为，且不同居民的选择相互独立.（1）若有5位居民连续两天去投放垃圾，记第二天选择投放点甲的人数为，求的数学期望和方差；（2）记第天选择投放点甲的概率为.（i）请写出与的递推关系；（ii）求数列的通项公式.19.已知函数，，．（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）若，求在上的最大值；（3）求实数的最小值，使得对任意，都有．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据集合并集的运算，合并两个集合的元素取值范围即可得答案.解答过程：集合，，所以.2.已知，为非零向量，命题和命题，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：利用数量积的定义公式，分别判断命题的充分性和必要性是否成立，进而作出判断.解答过程：若成立，则（两向量同向）或（两向量反向），当时，，此时，即不成立，因此推不出，充分性不成立；若成立，因为是非零向量，，则，结合得，即两向量同向，因此，成立，即能推出，必要性成立；综上，是的必要不充分条件.3.若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围．解答过程：由命题“”为真命题，，解得：，4.一个等差数列的首项为，从第10项起各项都比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：由题意可得即，解得.5.在等比数列中，，是方程的两个解，则（）A. B. C.25 D.答案：A解析：解答过程：由韦达定理得，得，，因为，所以.由等比数列的性质得，得（正根舍去）.6.设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据分段函数的单调性可得,再由函数的单调性可得出，将参数m分离,即可求出的取值范围.解答过程：因为函数和均是增函数，所以是上的增函数，只需要满足，即，解得.由得，即恒成立.因为，即.所以实数的取值范围是.7.已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化求解即可得到结论.解答过程：构造函数，，当时，，所以，所以在上单调递减，因为，函数是定义在区间上，所以，即，不等式化为，即，所以，即，所以不等式解集为.8.对于函数，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用导数求出函数的零点，由定义确定函数零点所在的区间，再利用零点的意义分离参数并构造函数，利用导数参数的取值范围.解答过程：函数的定义域为R，求导得，函数在R上单调递增，而，因此函数有唯一零点2026，即，由，得，解得，则函数在上存在零点，令，由，得，由，得，则，依题意，在上有解，令函数，求导得，当时，；当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，，而，则函数在的值域为，所以的取值范围为.二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分.9.已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（）A. B. C. D.答案：ABD解析：解答过程：函数的单调递增区间为，依题意，，则，解得，因此的可能取值是，ABD是，C不是.10.下列命题正确的是（）A.若，则或B.若，，则C.若，，，则的最小值为9D.若，，则的最大值为18答案：AC解析：思路：A将分式不等式转化为整式不等式求解；B通过举反例或根据不等式乘法性质判断命题是否成立；C采用“1的代换”方法，结合基本不等式求目标式的最小值，再验证等号是否能取到；D设求出系数，再根据已知的两个区间范围，结合不等式的同向可加性求出的范围.解答过程：A，分式不等式等价于，整理得，解得或，A正确；B，举反例：若，满足，但，不等式不成立，B错误；C，已知，则，等号成立当且仅当，最小值为9，C正确；D，设，解得，即，已知，则，最大值为16，D错误.11.已知函数，则下列不正确的是（

）A.若，则B.若在区间上单调递增，则C.当时，函数的递减区间为D.若方程有三个实数解，则答案：ABD解析：思路：对于A,对函数求导，代值可求解；对于B，转化成在上恒成立，又有，则求在时恒成立.结合二次函数最值可求解；对于C,将代入函数后求导得，结合一元二次不等式的解法求解；对于D，令，转化为直线与有3个交点问题.对函数求导，分析单调性，结合图像得出的取值范围.解答过程：对于A，，得，即；对于B，由于，若在区间上单调递增，则在时恒成立，又因为，所以在时恒成立.当时，，即，解得，故B错误；对于C，当时，函数求导得：，由，解得，所以函数的递减区间为，故C正确；对于D，令函数，求导得：，当或时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；可得函数的极小值点为1，且，函数的极大值点为，且，由于当时，，当时，，作函数的图象如下：所以要使方程有三个实数解，则，故D错误；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若数列满足，，则________.答案：解析：思路：根据递推公式求出数列的前5项，可发现数列为周期数列，结合数列周期性求解即可.解答过程：由，，可得，，，，所以是周期为4的数列，所以.13.若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____．答案：解析：解答过程：函数，当时，取得最小值，，，解得或，已知函数在区间上的值域为，则区间必包含，且区间端点值不超过，取最大值时，取最小值，取最大值，此时．14.如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．答案：解析：思路：建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值.解答过程：由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图，则，，设方程为：，所以，，方程为：，令矩形面积为，当时，，当，设，则，所以，则，令，则，在上递增，令，则或，在上递减，又，，，所以当的长为时，该矩形面积最大.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，已知正三棱柱中，，点P为的中点.（1）证明：平面；（2）求点B到平面的距离.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）连接交于点，利用三角形中位线定理证明，再结合线面平行的判定定理即可得证.（2）利用等体积法，通过计算三棱锥的体积和底面积求解点到平面的距离.（1）连接交于点，连接.因为三棱柱为正三棱柱，所以侧面为矩形，所以为的中点.又因为点为的中点，所以在中，为中位线，故.因为平面，平面，所以平面.（2）设点到平面的距离为.因为为正三角形，为的中点，所以，且.因为三棱柱为正三棱柱，所以平面.又平面，所以.因为，平面，所以平面.又平面，所以.在中，.所以的面积.又的面积.由可得，即，解得.所以点到平面的距离为.16.已知椭圆的离心率为且经过点.试求：（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由.答案：（1）（2）存在，或.解析：思路：（1）由题设可得，，结合即可求出，进而求解即可；（2）分直线的斜率不存在、存在，两种情况结合弦长公式讨论求解即可.（1）根据题意，椭圆的离心率为，则①，又因为椭圆过点，则②，又③，由①②③联立解得，，所以椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不满足题意；当直线的斜率存在时，设直线：，与曲线的交点为，，联立，得，则，且，，则，整理得，所以或（舍）.经检验，符合题意，所以直线的方程为，即或.17.已知函数（1）求在处的切线方程；（2）求的单调区间，并求在上的最大值.答案：（1）（2）单调递增区间为和，单调递减区间为；最大值为解析：思路：（1）根据导数求出切线斜率，由点斜式即可求得切线方程；（2）根据导数求出函数的单调性和极值，比较端点值和极值即可求出最大值.（1）由函数，可得，求导得，则得，故在处的切线方程为.（2）由（1）得，当或时，，当时，，因此的单调递增区间为和，单调递减区间为，则的极大值为，极小值为，又，，由于，故在上的最大值为.18.某社区有甲､乙两个垃圾投放点.据观察，该社区居民选择垃圾投放点有以下规律：居民每天都会去投放垃圾，前一天选择投放点甲的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为；前一天选择投放点乙的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为.从观察日起，居民第一天选择甲的概率为，选择乙的概率为，且不同居民的选择相互独立.（1）若有5位居民连续两天去投放垃圾，记第二天选择投放点甲的人数为，求的数学期望和方差；（2）记第天选择投放点甲的概率为.（i）请写出与的递推关系；（ii）求数列的通项公式.答案：（1）（2）（i）（ii）解析：思路：（1）由二项分布求解即可；（2）（i）由第天选择投放点甲的概率为即可求解；（ii）构造数列，由等比数列的定义即可求解.（1）任意1位居民第二天选择投放点甲的概率为，由题意可得，，所以.（2）（i）第天选择投放点甲的概率为，整理得.（ii）因为，所以，又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，解得.19.已知函数，，．（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）若，求在上的最大值；（3）求实数的最小值，使得对任意，都有．答案：（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减．（2）（3）解析：思路：（1）分和两种情况进行讨论；（2）根据（1）的结