2025-2026学年江西重点中学高一下学期4月学科素养阶段训练数学试卷-含解析

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.角的终边在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在中，，，，则（）A. B. C.或 D.或3.下列关于平面向量描述正确的是（）A.若，则B.若，则向量与的夹角为锐角C.若，，则D.若为非零向量，则与的方向相同4.已知扇形的面积为，弧长为，则此扇形的圆心角的弧度数为（）A.2 B. C.3 D.45.已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）A. B. C. D.6.已知函数，有最小值且无最大值，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.7.太行山在河南的最高峰——济源斗顶，远近闻名.如图，某校高一年级数学实践小组为了测其高度.在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走am到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，若，，，，则山高为（）（图中的点A，B，P，C，Q均在同一个铅直平面内）A.2000m B.m C.1000m D.m8.如图，在四边形中，，，设，，则（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最大值是，最小值是B.两个相邻的对称轴之间的距离为C.的图象关于点对称D.将的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数10.已知，，，则（）A.向量B.与向量垂直的单位向量坐标为或C.若，则D.在上的投影向量的坐标为11.在中，角所对的边分别为且，下列说法正确的是（）A.B.若且有两解，则C.若，则为等腰直角三角形D.若，则面积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的最小正周期为，则________．13.已知向量，，，若和的夹角为60°，则______.14.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，的面积为，M为BC的中点，则AM的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知角的始边为x轴非负半轴，终边过点．（1）求，，的值；（2）求的值．16.已知向量，，，.（1）当时，求实数的值；（2）当时，求向量与的夹角的余弦值.17.如图，在中，点D，E在边上，且，设，.（1）用，表示，；（2）若，，，求.18.已知（其中），相邻两个对称中心之间的距离为．（1）求函数的解析式及其对称轴；（2）求不等式的解集；（3）若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．19.在中，内角所对的边分别为,，，且．（1）求角；（2）若，是钝角三角形．（ⅰ）求的范围；（ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.角的终边在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：解答过程：，因为角的终边在第四象限，所以角的终边在第四象限.2.在中，，，，则（）A. B. C.或 D.或答案：B解析：解答过程：由正弦定理得，即，解得，又，故，故.3.下列关于平面向量描述正确的是（）A.若，则B.若，则向量与的夹角为锐角C.若，，则D.若为非零向量，则与的方向相同答案：D解析：解答过程：因为向量不能比较大小，所以A错误；当时，与的夹角可以为，所以B错误；当时，和可以是任意向量，不一定共线，所以C错误；为的同方向单位向量，所以D正确.4.已知扇形的面积为，弧长为，则此扇形的圆心角的弧度数为（）A.2 B. C.3 D.4答案：A解析：解答过程：扇形的弧长，设半径为cm，扇形面积公式为，即，解得，则此扇形的圆心角.5.已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，由正弦定理得：，，，代入整理化简得，所以，所以，又因为，所以.6.已知函数，有最小值且无最大值，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，可得，再由正弦函数在上有最小值且无最大值，则满足.7.太行山在河南的最高峰——济源斗顶，远近闻名.如图，某校高一年级数学实践小组为了测其高度.在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走am到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，若，，，，则山高为（）（图中的点A，B，P，C，Q均在同一个铅直平面内）A.2000m B.m C.1000m D.m答案：A解析：思路：由题可得，，，然后由正弦定理可得AP=20002，最后在中，由三角函数知识可得答案.解答过程：因为，∠CBA=180°−β=180°−30°=150°所以∠PBA=360°−150°−75°=135°，∠BAP在中，，，，，由正弦定理得：，即APsin135°=2000在中，AP=20002，，，所以.8.如图，在四边形中，，，设，，则（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：连接，，因为，，，所以，整理得EF=1又因为，EC=ED+DC，，所以，因为，所以−AE+2所以EF=二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最大值是，最小值是B.两个相邻的对称轴之间的距离为C.的图象关于点对称D.将的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数答案：AC解析：思路：对A和B，利用余弦函数的性质，即可判断正误；对C，将代入检验，即可判断正误；对D，利用图象的变换，求出平移后的函数，再把代入检验，即可求解.解答过程：对于A，因为，由余弦函数的性质知的最大值是，最小值是，所以A正确，对于B，因为的最小正周期为，所以两个相邻的对称轴之间的距离为，故B错误，对于C，当时，，所以点是的一个对称中心，故C正确，对于D，将的图象向右平移个单位长度后得到的函数是，当时，，所以不是奇函数，故D错误.10.已知，，，则（）A.向量B.与向量垂直的单位向量坐标为或C.若，则D.在上的投影向量的坐标为答案：BC解析：解答过程：因为，，所以，所以A错误；因为，先找一个与垂直的向量，设，所以，不妨取，所以与向量垂直的单位向量即为：或，又因为，所以与向量垂直的单位向量坐标为或，所以B正确；，设，则，所以，解得，所以，所以C正确；，，所以在上的投影向量为：，所以D错误.11.在中，角所对的边分别为且，下列说法正确的是（）A.B.若且有两解，则C.若，则为等腰直角三角形D.若，则面积的最大值为答案：ACD解析：思路：解不等式再结合求得，即可求出，可判断A；三角形有两解可得，可判断B；利用正弦定理得，再根据余弦定理可得，即可判断C；由余弦定理结合基本不等式求出，即可求出面积的最大值，可判断D.解答过程：解不等式得或，又，所以，又，所以，所以，即，故A正确；若有两解，则，所以，故B错误；因为，由正弦定理得，由余弦定理得，即，所以，所以为等腰直角三角形，故C正确；由余弦定理得，又，所以，所以，所以面积的最大值为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的最小正周期为，则________．答案：解析：解答过程：函数最小正周期为，所以，所以，所以.13.已知向量，，，若和的夹角为60°，则______.答案：解析：思路：由数量积运算律结合题设可得答案.解答过程：因为，所以，又因为，若和的夹角为60°，所以a⋅c=5×25×所以b⋅c=−314.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，的面积为，M为BC的中点，则AM的最小值为________．答案：解析：思路：根据正弦定理以及余弦定理得到，再根据三角形的面积公式以及基本不等式求解即可.解答过程：.由正弦定理，，则.由余弦定理​，又，故.已知面积，所以，解得.为中点，则，所以.因为，则.由基本不等式（当且仅当时取等），则.故的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知角的始边为x轴非负半轴，终边过点．（1）求，，的值；（2）求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据任意角的三角函数的定义计算即可.（2）先根据诱导公式化简原式，然后将（1）求出的结果代入计算即可.（1）因为角的始边为x轴非负半轴，终边过点，所以.（2）.16.已知向量，，，.（1）当时，求实数的值；（2）当时，求向量与的夹角的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据已知条件分别表示出坐标，再根据两向量垂直时，代入坐标计算即可；（2）根据已知条件分别表示出坐标，再根据两向量平行时，代入坐标计算，再根据数量积公式求出向量夹角的余弦值.（1）解：由题意可得，，因为，所以，解得；（2）解：由题意可得，因为，所以，解得，所以，所以，即向量与的夹角的余弦值为.17.如图，在中，点D，E在边上，且，设，.（1）用，表示，；（2）若，，，求.答案：（1）AE=−a+2（2）解析：思路：（1）由三等分点得向量关系，用已知向量表示出其他向量；（2）利用数量积和模长公式，计算出余弦值.（1）因为，所以，,所以AE=AC=（2）因为，，，即，，，所以.，，所以，所以cos∠18.已知（其中），相邻两个对称中心之间的距离为．（1）求函数的解析式及其对称轴；（2）求不等式的解集；（3）若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．答案：（1）；对称轴为，（2），（3）解析：思路：（1）根据相邻两个对称中心之间的距离为，得到函数周期，求出，得到解析式，利用整体代入法求解对称轴即可.（2）利用正弦函数的性质求解不等式即可.（3）先对目标式合理换元，再结合二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可.（1）由相邻两个对称中心之间的距离为，得，解得.又，，所以.所以.令，，解得，，所以函数的对称轴为，.（2）不等式可化为，即.由正弦函数的性质得，，，解得，，所以不等式的解集为，.（3）当时，，所以.令，则，令.当时，每个对应2个不同的，当或时，每个对应1个，所以关于的方程在上有四个不相等的实数根，等价于在上有两个不等实根.所以，解得，所以.故实数m的取值范围为.19.在中，内角所对的边分别为,，，且．（1）求角；（2）若，是钝角三角形．（ⅰ）求的范围；（ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）直接由向量的共线并结合正弦定理可得；（2）（ⅰ）根据正弦定理进行边化角，进而得，再由三角形为钝角三角形得，再由正弦函数的性质可得范围；（ⅱ）