2026届广东省茂名市第十中学高三下学期5月模拟预测数学试卷-含解析

/数学考试时间：120分钟；第I卷（选择题）一､单选题1.已知复数，则（）A. B. C. D.2.已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（）A. B.C. D.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.4.的展开式中的系数是（）A. B.26C. D.305.若函数（）是奇函数，则（）A. B.1 C.3 D.96.若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心可以是（）A. B. C. D.7.若函数，则（）A.6322 B. C.6321 D.8.已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.二､多选题9.在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（）A. B.平面C. D.直线与所成角的余弦值为10.已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（）A.抛物线的准线方程为 B.若，则C.的最大值为 D.为钝角11.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，，，则符合条件的有且仅有一个B.若，则是等边三角形C.若，则是锐角三角形D.若，则为等腰三角形第II卷（非选择题）三､填空题12.已知双曲线右焦点也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为，且垂直于轴，则双曲线的离心率为______.13.盒中有编号从1到10的10张卡片，其中奇数号卡片的正面为黑色，偶数号卡片的正面为白色，反面完全相同，每张卡片被抽到的概率相同．现从中随机抽取4张，则这4张卡片的编号之和恰好为16的概率为________；若抽到的4张卡片的编号之和为16，则其正面的颜色相同的概率为________．14.已知，为曲线（，）上的两点，则________．四､解答题15.某健身房为了解“是否喜欢健身操”与年龄的关联性，随机调查了80位会员，得到的数据如表所示（单位：人）：年龄是否喜欢健身操合计喜欢健身操不喜欢健身操青年152540中年202040合计354580（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢健身操与年龄有关联？（2）已知会员小邹选择“动感单车”“瑜伽”“普拉提”三种项目的概率依次为，，；且小邹在这三种项目中达到“训练标准”的概率依次为，，．若小邹某次训练未达到目标，求他选择的是“瑜伽”项目的概率。附：，．16.如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．17.已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有极小值，且，求a的取值范围.19.在抛物线中，过点的直线交抛物线于两点．当直线的斜率为1时，．（1）求抛物线的标准方程；（2）设抛物线的焦点为，直线上有一动点，其横坐标为．（i）若且直线经过的内心，求直线的方程；（ii）对任意满足题设条件的直线，是否存在动点，使得直线经过的内心且同时与相切？若存在，则加以证明．若不存在，请说明理由．

数学考试时间：120分钟；第I卷（选择题）一､单选题1.已知复数，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：复数，所以.2.已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由题意求得，根据焦点所在坐标轴代入标准方程即可求解.解答过程：因为中心在原点的椭圆的右焦点为，所以椭圆焦点在轴，设标准方程为，由题意可得，，得到，，故椭圆的方程是.故选：D3.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，，所以.4.的展开式中的系数是（）A. B.26C. D.30答案：D解析：思路：利用二项式展开的通项公式，分别求出中项和项的系数，结合前一因式的系数求和即可得到的系数.解答过程：二项式的展开式通项为，其中的展开式中项来源于两部分：因式乘以的项：取，对应系数为；因式乘以的项：取，对应系数为；将两部分系数求和，得的系数为.5.若函数（）是奇函数，则（）A. B.1 C.3 D.9答案：D解析：思路：先求得定义域，结合奇函数的性质取特殊求解即可，注意检验．解答过程：由题知，，定义域为，由是奇函数得（负根舍去），则，，符合题意．故.6.若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心可以是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由最小正周期可得，据此可得对称中心，然后验证选项可得答案.解答过程：因最小正周期为，则，结合，可得.则，其对称中心横坐标满足，所以对称中心可为：.选项A：令，得，不符合；选项B：令，得，不符合；选项C：令，得，不符合；选项D：令，得，符合要求.7.若函数，则（）A.6322 B. C.6321 D.答案：D解析：思路：根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可.解答过程：令，则，所以，则，所以，令，则，两式相加得，所以.8.已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先将的大小比较转化为比较，构造函数，即比较，求导分析函数的单调性可得结果.解答过程：依题意，，，，令，，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.因为，所以，即，即.二､多选题9.在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（）A. B.平面C. D.直线与所成角的余弦值为答案：BD解析：思路：对A：利用平行六面体性质结合平行四边形定义及其性质可得，又与相交，可得与为异面直线；对B：借助菱形性质可得，再利用三角形全等可得，由等腰三角形三线合一可得，即可利用线面垂直判定定理得到平面；对C：求出、及后，利用余弦定理计算即可得；对D：由，，可得即为所求，求出、、后，利用余弦定理计算即可得.解答过程：对于A：平行六面体中，，又为棱的中点，所以与相交，故与为异面直线，A错误.对于B：连接、，交于点，连接、，因为，则四边形为菱形，故，点为中点.又，，所以，故.又点为中点，所以，又，，平面，故平面，故B正确.对于C：由，，得、、均为等边三角形，故.在等腰中，，在等腰中，，在中，，在中，，则，C错误.对于D：连接，，因为，分别为棱，的中点，所以，又，则直线与所成角即为直线与所成角，即为.，，，在中，，D正确.10.已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（）A.抛物线的准线方程为 B.若，则C.的最大值为 D.为钝角答案：BD解析：思路：对A和B，利用抛物线的定义及性质，即可求解；对C，设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，利用抛物线的定义得，即可求解；对D，根据数量积的运算及选项C中的结果，得到，即可求解.解答过程：对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，所以A错误；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为，由，消去得，则，，所以，，所以，又，则，所以没有最大值，故C错误，对于D，由选项C知，，则为钝角，故D正确．11.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，，，则符合条件的有且仅有一个B.若，则是等边三角形C.若，则是锐角三角形D.若，则为等腰三角形答案：BCD解析：思路：由余弦定理解得第三边长可判断A；由余弦函数的值域可判断B；利用等式变形为边长间关系可得C；先由正弦定理边化角和平方关系得到，再结合余弦型函数的单调性可得D.解答过程：由余弦定理得，即，解得，故符合条件的有两个，A错误；由于，所以，故0，整理得，所以为等边三角形，B正确；因为，所以，，所以是锐角三角形，C正确；由正弦定理及，得，所以，即，显然，，函数在，上单调递增，且当时，，当时，，由，可得，是等腰三角形，D正确．第II卷（非选择题）三､填空题12.已知双曲线右焦点也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为，且垂直于轴，则双曲线的离心率为______.答案：解析：思路：联立双曲线方程和抛物线方程，代入，，得到关于离心率的齐次式，求出答案解答过程：双曲线的右焦点坐标为，的焦点坐标为，故，，联立与得，又，故，满足，故，即，化简得，方程每项除以得，解得，因为，所以不合要求，舍去，，故.13.盒中有编号从1到10的10张卡片，其中奇数号卡片的正面为黑色，偶数号卡片的正面为白色，反面完全相同，每张卡片被抽到的概率相同．现从中随机抽取4张，则这4张卡片的编号之和恰好为16的概率为________；若抽到的4张卡片的编号之和为16，则其正面的颜色相同的概率为________．答案：①.②.解析：思路：第1空：利用组合数公式计算从10张卡片中抽取4张的总情况数，通过枚举法找出编号之和为16的所有情况数，再用古典概型公式计算概率.第2空：在“编号之和为16”的条件下，结合条件概率公式，筛选出颜色相同（全奇或全偶）的情况数，计算条件概率.解答过程：从10张卡片中抽取4张，共有（种）情况，其中满足编号之和为16的有：，，，，，，，，，共9种情况，故编号之和为16的概率为．正面颜色相同，即4张卡片的编号同为奇数或同为偶数，只有符合题意，故抽到的4张卡片的编号之和为16，则其正面的颜色相同的概率为．14.已知，为曲线（，）上的两点，则________．答案：解析：思路：根据解析式及过点坐标，可得周期表达式，根据周期公式，可得的表达式，赋值，可得的值，代入点坐标，结合正弦函数的图象与性质，可得的表达式，赋值，可得值.解答过程：因为的最大值为，最小值为，且，，所以，k为非负整数，解得，k为非负整数，又，，所以，k为非负整数，令，得，符合题意，k取其他非负整数，均不符合题意，则，因为过点，所以，解得，令，得符合题意，k取其他非负整数，均不符合题意，故.四､解答题15.某健身房为了解“是否喜欢健身操”与年龄的关联性，随机调查了80位会员，得到的数据如表所示（单位：人）：年龄是否喜欢健身操合计喜欢健身操不喜欢健身操青年152540中年202040合计354580（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢健身操与年龄有关联？（2）已知会员小邹选择“动感单车”“瑜伽”“普拉提”三种项目的概率依次为，，；且小邹在这三种项目中达到“训练标准”的概率依次为，，．若小邹某次训练未达到目标，求他选择的是“瑜伽”项目的概率。附：，．答案：（1）不能认为是否喜欢健身操与年龄有关联（2）解析：思路：（1）运用列联表进行独立性检验，通过计算卡方统计量与临界值比较，判断两个分类变量之间是否存在关联；（2）使用全概率公式计算未达标总概率，再通过贝叶斯公式反推在未达标条件下选择特定项目的条件概率.（1）零假设为：是否喜欢健身操与年龄无关联．根据列联表中的数据，计算得到，所以根据小概率值的独立性检验，不能认为是否喜欢健身操与年龄有关联．（2）设表示“选动感单车”；表示“选瑜伽”；表示“选普拉提”；表示“未达到目标”．，，，，，，小邹训练没有达标的条件下，他选择瑜伽的概率为:．16.如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据题意结合勾股定理可得，，可得平面，即可证面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.（1）如图，取中点，连接，，因为，，则，即，且，，且四边形是菱形，，则，，又因为，则，即，且平面，平面，，可得平面，且平面，所以平面平面．（2）以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，可得，，，，设平面的法向量为，则，令，则，可得；设平面的法向量为，则，令，则，可得；可得，所以平面与平面夹角的余弦值为．17.已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式；（2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得.（1）因为，即：．①当时，，又，所以．当时，，②由①－②整理得：．整理得，由累乘法得：，代入比值：，当时，，符合上式，所以数列的通项公式为．（2）当为偶数时，，所以，为偶数，由恒成立，得，是偶数，当时，有最小值，所以；当为奇数时，为偶数，，所以，为奇数，由恒成立，得，又在上单调递增，所以当时，有最小值1，所以．综上，实数的取值范围是18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有极小值，且，求a的取值范围.答案：（1）（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增（3）解析：思路：（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可.（2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论.（3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间.（1）当时，，所以所以切线方程为即，（2），若，可得时，，所以在上单调递增；若时，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）由（2）可知当时，有极小值