2025-2026学年辽宁省大连市王府高级中学高一下学期第二学段考试数学试卷-含解析

/数学考试时间：120分钟一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设z=2+i，则复数A. B.1 C.−i D.2.已知向量a→与b→的夹角为π3，a→=2A.3 B.3 C.7 D.73.若一个三棱锥的底面是边长为3的正三角形，高为3，所有侧棱均相等，则侧棱长为（）A. B.15 C.6 D.34.已知tanα+β=3，A. B. C.1 D.5.已知，，则（）A. B. C. D.6.已知，若，则（）A. B. C. D.−237.已知菱形的边长为，．将△ABD沿对角BD折起，折起后，两点的距离为，则折起后所得三棱锥A−BCD的外接球的表面积为（）A.3π B.9π C. D.28.在等边三角形ABC的三边上各取一点，，，满足DE=3，，∠DEF=90°，则三角形ABC的面积的最大值是（）A. B. C. D.二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．9.已知集合M=tt=iA.1−i1+i B.1−i1+i 10.下列命题中，正确的是()A.若向量a=2,1,b=3,−1B.若非零向量与的夹角为，则”a⋅b>0“是”为锐角”的充分不必要条件C.若平面向量m=a,2，n=1,b−1，D.已知向量a=3,2,b=2,011.下列说法正确的有（）A.sinB.已知cosπ6C.tanD.在中，角A,B,C的对边分别为a,b三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.求值:______．13.如图，已知是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的体积为______．14.函数fx=asinx四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知复数（1）若，求实数的值；（2）若复数对应的点在第四象限，求的取值范围.16.设．（1）若，求实数的值；（2）若，且，m与的夹角为，求实数的值．17.已知的内角A,B,C的对边分别为a（1）求．（2）若a=4，且边上的中线长为7，求的面积．（3）若角的平分线长为3，求的面积的最小值．18.位于某小岛的快艇要完成将一件物品送到一艘正在航行的货轮上的任务．在快艇出发时，货轮位于小岛北偏东且与该小岛相距10海里的处，并正以20海里／时的速度沿正西方向匀速行驶．假设该快艇沿直线方向以海里／时的航行速度匀速行驶，经过小时与货轮相遇．（1）若希望相遇时快艇的航行距离最小，则快艇的航行速度应为多少？（2）若经过1小时快艇与货轮相遇，则快艇的航行速度应为多少？（3）假设快艇的最高航行速度只能达到10319.已知向量m=sinπ4+（1）求函数的最小正周期及单调增区间；（2）若fπ12+α2（3）在锐角中，若fA2=1，求

数学考试时间：120分钟一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设z=2+i，则复数A. B.1 C.−i D.答案：A解析：思路：求得z=2−解答过程：因为z=2+i，所以所以z的虚部为2.已知向量a→与b→的夹角为π3，a→=2A.3 B.3 C.7 D.7答案：B解析：思路：由向量模长公式，向量数量积定义结合题设可得答案.解答过程：a3.若一个三棱锥的底面是边长为3的正三角形，高为3，所有侧棱均相等，则侧棱长为（）A. B.15 C.6 D.3答案：C解析：思路：设在平面BCD的投影为O，则AO=3，根据O是△BCD的重心求出解答过程：如图所示三棱锥中，由题可得，设在平面BCD的投影为O，则AO=3则O是△BCD，则在中，.故选：C.4.已知tanα+β=3，A. B. C.1 D.答案：D解析：思路：由题设及两角和的正切公式可得答案.解答过程：tan25.已知，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用同角关系得到，进而利用配角法与两角差余弦公式可得结果.解答过程：∵，∴，又，∴，∴.故选：A6.已知，若，则（）A. B. C. D.−23答案：B解析：思路：根据平面向量的加减法坐标运算得出，再结合，最后利用向量垂直的坐标运算得出，即可求出的值.解答过程：解：由题可知，，，由于，则，解得：.故选：B.7.已知菱形的边长为，．将△ABD沿对角BD折起，折起后，两点的距离为，则折起后所得三棱锥A−BCD的外接球的表面积为（）A.3π B.9π C. D.2答案：A解析：思路：由题可知三棱锥为正四面体，由的截面圆半径、球心到截面圆距离和球半径构成的直角三角形求出球的半径，进而得到表面积.解答过程：已知菱形边长为​，∠BAD=60可得AB=AD=因此三棱锥A−BCD的所有棱长均为设的外接圆圆心为O1，连接AO1,则O1A⊥平面,三棱锥A−连接BO1并延长交于，则为中点，则BO1=则AO设三棱锥A−BCD的外接球半径为，由BO2解得R=328.在等边三角形的三边上各取一点，，，满足DE=3，，∠DEF=90°，则三角形的面积的最大值是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：首先求出，设，，在△BDE、分别利用正弦定理表示出BE、，由，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出BC的最大值，即可求出三角形面积最大值.解答过程：因为DE=3，，∠DEF=90°，所以设，，则，，，在△BDE中由正弦定理，即，所以，在中由正弦定理，即，所以，所以（其中），所以，则，即三角形的面积的最大值是.故选：A方法提示：关键点点睛：本题关键是用含的式子表示出BE、，再利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出BC的最大值，进而求出三角形面积最大值.二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．9.已知集合M=tt=iA.1−i1+i B.1−i1+i 答案：BC解析：思路：先利用虚数单位幂的周期性确定集合的全部元素，再逐一化简四个选项的复数，判断化简结果是否属于.解答过程：由虚数单位的幂次周期性，n∈Ni1=i，i2=−1，i得集合M={分别化简各选项：A.(1−i)(1+iB.1−i1+iC.1+i1−iD.(1−i)210.下列命题中，正确的是()A.若向量a=2,1,b=3,−1B.若非零向量与的夹角为，则”a⋅b>0“是”为锐角”的充分不必要条件C.若平面向量m=a,2，n=1,b−1，D.已知向量a=3,2,b=2,0答案：ACD解析：思路：分别利用向量夹角余弦公式、向量数量积与夹角逻辑关系、垂直条件结合二次函数求模长最小值、投影向量公式逐项验证命题真假.解答过程：选项A，由a=(2,1)，b则a⋅|a|=2设与的夹角为，所以cosθ=a→而θ∈[0,π]选项B，a⋅b=|a||当θ=0时，同向共线，满足a⋅b>0因此“a⋅b>0选项C，由m⊥n，m=(则m⋅n=而p=(a,令f(b)=5则f(b)选项D，由a=(3,2)，b则a→⋅b则在上的投影向量为a→⋅b11.下列说法正确的有（）A.sinB.已知cosπ6C.tanD.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a答案：ABD解析：思路：对A，利用诱导公式化简原式各项，再用两角差的正弦公式计算结果验证等式；对B，将目标角变形为已知角的二倍加，结合诱导公式和二倍角公式计算结果验证；对C，利用诱导公式化简各正切项，结合两角和的正切公式变形计算结果验证等式；对D，根据tan⁡A解答过程：对于A：sin110°对于B：sin5对于C：因为3=tan60°=所以tan200°+=3对于D：在△ABC中，因为，所以tanC又tanA所以tanA由tan⁡Atan⁡B>1，可知A,B均为锐角（若一个为钝角，乘积为负，不满足不等式），因此设t=tan⁡则tan⁡令x=因为2x所以2x3>x2−1，即三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.求值:______．答案：.解析：解答过程：分析：直接应用正弦函数的二倍角公式即可.详解：故答案为.点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.13.如图，已知是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD的体积为______．答案：4解析：思路：画出原图，根据锥体体积公式求得正确答案.解答过程：如下图所示，则VA14.函数fx=asinx答案：4解析：思路：由平移后为奇函数，展开式中cosx的系数须为零，得tan⁡φ解答过程：原函数平移后得g(

整理得g(因为是奇函数，则g(0)=0，即−a利用诱导公式sin⁡(2sin由万能公式sin⁡2φ=2tan原式​=−2⋅2因为a<0，令t=−a当且仅当−a=1−a原式化为y=t+4t故最小值为ymin四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知复数（1）若，求实数的值；（2）若复数对应的点在第四象限，求m的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用复数的乘法运算与复数相等的条件可得的条件，计算即可.（2）利用复数的除法运算化简，根据象限内实部虚部的符号建立不等式组求解.（1）由题意得，，，；（2）由题意得，∵复数对应的点在第四象限，，所以，故m的取值范围为.16.设．（1）若，求实数的值；（2）若，且，m与的夹角为，求实数的值．答案：（1）（2）或解析：思路：（1）根据向量垂直则它们的数量积为0代入计算；（2）根据向量模的坐标公式列第一个方程，利用向量夹角的数量积公式列第二个方程，联立两个方程求解.（1）已知，计算得：，由两向量垂直则数量积为0，得：，解得；（2）已知，根据条件列方程：由，对模长平方得：①；由向量夹角公式，θ=3π4代入，得：，化简得：②；将②代入①，得，解得，即或；当时，代入②得；当时，代入②得；因此最终解为：或.17.已知△ABC的内角A,B,C（1）求．（2）若a=4，且边上的中线长为7，求△ABC（3）若角的平分线长为3，求△ABC的面积的最小值．答案：（1）π3（2）33（3）解析：思路：（1）由余弦定理即可求解；（2）在△ADC中使用余弦定理计算b（3）由S△（1）由余弦定理c2=a代入可得：

2cos又C∈0,（2）记边上的中线为，则，在△ADC中，由余弦定理得A化简可得：b2−2b−3=0，解得所以S△（3）设角平分线交AB于，CE=3，由S△

12化简得ab=a+b，由基本不等式解得：ab≥4，当且仅当时等号成立，故面积最小值Smin18.位于某小岛的快艇要完成将一件物品送到一艘正在航行的货轮上的任务．在快艇出发时，货轮位于小岛北偏东且与该小岛相距10海里的B处，并正以20海里／时的速度沿正西方向匀速行驶．假设该快艇沿直线方向以海里／时的航行速度匀速行驶，经过小时与货轮相遇．（1）若希望相遇时快艇的航行距离最小，则快艇的航行速度应为多少？（2）若经过1小时快艇与货轮相遇，则快艇的航行速度应为多少？（3）假设快艇的最高航行速度只能达到103答案：（1）203（2）103（3）能完成任务，航行方向为北偏西，航行速度为103海里/时，相遇时间为1小时.解析：思路：（1）利用正弦定理可求最小距离，进而确定速度；（2）由1小时可确定边，再利用余弦定理可得及速度；（3）设相遇时间为t(t>0)，∠CAD=θ，在（1）货轮沿正西方向行驶，快艇的最短航行距离为小岛到货轮行驶航线的垂线段长度，由题意得AB=10海里，∠BAC=此时货轮行驶路程BC=ABsin故快艇航速v=（2）经过1小时，货轮行驶路程BD=20×1=20在△ABD中，AB=10，由余弦定理得：

AD=10故AD=10故快艇航速v=（3）设相遇时间为t(t>0)，在△由余弦定理得：

(vt整理得v2若t≤1且v≤103代入得：

400−200

仅当时等号成立，此时v=103设航行方向为北偏西，即∠CAD=则tanθ得，即能完成任务，航行方向为北偏西，航行速度为103海里/时，相遇时间为1小时.19.已知向量m=sinπ4+（1）求函数的最小正周期及单调增区间；（2）若fπ12+α2（3）在锐角△ABC中，若fA2答案：（1），−π3（2）3−226解析：思路：（1）根据向量数量积的坐标表示，写出函数解析式，根据三角恒等变换对函数解析式进行化简，进而求出结果；（2）根据函数解析式求出sinα+π（3）根据函数关系式求出A=π3（1）可知fx=1所以函数的最小正周期为2π2可知−