2025-2026学年辽宁省沈阳市第一二0中学高二下学期第三次质量检测数学试卷-含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.2.已知函数，则函数的解析式为（）A. B.C. D.3.函数且的图像可能是（）A. B.C. D.4.设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：，，）（）A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年6.已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（）A.8 B.6 C.4 D.27.若，是方程的两个根，则（）A.23 B.27C. D.8.数列满足，且．若，则的最小值为（）A.7 B.8 C.9 D.10二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的给6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则的最小值为 D.若，则的最大值为210.已知函数的零点为，的零点为，则（）A. B.C. D.11.已知函数的定义域为，且对均有成立，当时，，则（）A. B.为偶函数C.当时， D.在上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数与函数的图象在处有相同的切线，则_____.13.已知函数存在，使得，则的取值范围是______.14.俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数且是定义在上的奇函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若，且，求函数在上的值域.16.已知是数列的前项和，，且.（1）求的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：.17.已知函数，奇函数的定义域为，且当时，.（1）求函数的解析式；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（3）若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.18.已知函数（）.（1）讨论函数的单调性；（2）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.19.已知函数，．（1），，有成立，证明：；（2），令，证明：．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：全集，集合是所有大于的自然数，即.补集是全集中不属于的元素构成的集合，因此.2.已知函数，则函数的解析式为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：直接利用换元法求解即可，注意定义域的限制.解答过程：设，则，因为，可得，所以函数．故选：C．3.函数且的图像可能是（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D.4.设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：D解析：思路：要判断是递增数列与是递增数列的条件关系，需分别验证充分性和必要性．解答过程：解：数列，，，0，1，2，3，…是递增数列，但不是递增数列，故不充分；数列1，1，1，1，…的前项和为是递增数列，但该数列不是递增数列，故不必要．故选：D．5.某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：，，）（）A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年答案：D解析：思路：每年投入的科研经费构成数列，依题意，数列为等比数列，公比为，得即可求解．解答过程：该高校2023年全年投入科研经费1300万元，设为，每年投入的科研经费构成数列，依题意，数列为等比数列，公比为，则，，由，得，得，得，即第5年符合要求故该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是．6.已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（）A.8 B.6 C.4 D.2答案：A解析：思路：根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值.解答过程：由函数的值域为，得，由是定义在上的奇函数，得，由是定义在上的偶函数，得，则，则，所以，而函数与的值域相同，所以函数的最大值为8.7.若，是方程的两个根，则（）A.23 B.27C. D.答案：C解析：思路：将问题转化为是方程的两根，再根据韦达定理以及换底公式化简求出.解答过程：可化为，因为，是方程的两个根，所以是方程的两根，则，则.故选：C8.数列满足，且．若，则的最小值为（）A.7 B.8 C.9 D.10答案：B解析：思路：因式分解，分析数列的递推规律，然后逆向分析即可得解.解答过程：由得，整理得，得或，即或，所以数列从第二项开始，每一项由前一项加2或乘2得到，因为，所以数列中的所有项都是偶数，因为，则或，要使最小，则，又数列中的所有项都是偶数，所以，则或，要使最小，则，所以或，要使最小，则，所以或，要使最小，则，因为为偶数，所以，则，即，.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的给6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则的最小值为 D.若，则的最大值为2答案：BD解析：思路：利用不等式的性质判断A，利用作差法判断B，根据基本不等式求最值后判断CD.解答过程：对于A，因为，由不等式的性质可得，故A错误；对于B，，因为，故，故，故，故B正确；对于C，，当且仅当时等号成立，故的最小值为.对于D，，故，当且仅当时等号成立，故的最大值为2，故D成立.10.已知函数的零点为，的零点为，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可.解答过程：∵函数的零点为，的零点为，∴函数与函数图象的交点的横坐标为，函数与函数图象的交点的横坐标为，作函数、函数、函数的图象如图6，点A的横坐标为，点B的横坐标为，∵函数与函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，∴点A、B关于直线对称，又∵点A、B在直线上，∴点A、B关于原点对称，对于A：∴，故选项A错误；对于B：易知，故选项B正确；对于C：∵，，，∴，即选项C正确；对于D：由零点存在定理易知，，∴，即，，故选项D正确，故选:BCD．11.已知函数的定义域为，且对均有成立，当时，，则（）A. B.为偶函数C.当时， D.在上单调递增答案：ACD解析：思路：利用赋值，判断A，令，判断函数的奇偶性；设，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，从而判断C，根据，利用作差法，结合函数的性质，判断D.解答过程：A.令，，再令，得，得，故A正确；B.令，得，，得，所以函数是奇函数，故B错误；C.设，为偶函数，原式两边同时除以，得，即，当时，，则，在中，令，，得，其中，，则，所以当时，，即当时，，当时，，，故C正确；D.由得，且为奇函数，所以为偶函数，由，可知，当时，，即，所以在上单调递增，则在上单调递减，结合C可知此时均有,设，，因为，且，所以，，所以，所以在上单调递增，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数与函数的图象在处有相同的切线，则_____.答案：1解析：思路：根据题意结合导数的几何意义计算即可.解答过程：因为，，则，，若函数与函数的图象在处有相同的切线，且，则，即.故答案为：1.13.已知函数存在，使得，则的取值范围是______.答案：解析：思路：作出函数的图象，依题意即函数与直线的交点横坐标，利用函数解析式，结合图象易得，，，利用二次函数的性质即可求得的取值范围.解答过程：作出函数的图象，设，依题意，，且，，解得，，故，因函数在上单调递减，故，即的取值范围是.故答案为：.14.俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为______．答案：解析：思路：结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可得.解答过程：令，令，因为，所以，，由，则，令，即，解得，则，故当且仅当时，有.故函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为.故答案为：方法提示：关键点点睛：本题关键点在于结合题意得到，从而可得出取最小值时，的值.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数且是定义在上的奇函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若，且，求函数在上的值域.答案：（1）（2）解析：思路：(1)利用奇函数的性质确定参数，由判断函数单调性，结合奇函数性质转化不等式，再根据定义域列不等式组求解，得到不等式的解集；(2)由求出底数，通过换元法将转化为关于的二次函数，根据的取值范围确定的区间，再利用二次函数的单调性求解值域.（1）由为定义在上的奇函数，得，即，故，.由，结合，得，故.在上单调递增，且.由，得.所以，解得.所以不等式的解集为.（2）由，整理得，解得（舍去），故.，令，则，故.当时，单调递增，得.函数，开口向上，对称轴为.当时，；当时，，故函数在上的值域为.16.已知是数列的前项和，，且.（1）求的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：.答案：（1）（2）由（1）得：，，，，解析：（1）当时，，，，又，；，即，；则当为奇数时，；当为偶数时，；.（2）略17.已知函数，奇函数的定义域为，且当时，.（1）求函数的解析式；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（3）若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据奇函数的性质，结合分段函数，可得答案；（2）根据复合函数的单调性，结合对数函数以及二次函数的性质，建立不等式，可得答案；（3）根据不等式，明确所求函数的最值，利用对数函数的性质，化简不等式，利用换元法，结合基本不等式，可得答案.（1）因为为奇函数，所以当时，；当时，，所以（2）令，因为外层函数为减函数，且在上单调递减，所以内层函数在上单调递增，且，所以即，解得，所以实数的取值范围是.（3）当时，，对任意，存在，使得，等价于对任意，即当时，，所以，整理得.令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，即实数的取值范围是.18.已知函数（）.（1）讨论函数的单调性；（2）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减（2）解析：思路：（1）对函数求导，再令，进而可得，从而可得导函数的两个零点，再根据两个零点大小分类讨论可得.（2）由不等式进行参数分离得，再构造函数，将函数变形为，再用导数证明恒成立，进而可得，从而可得函数的最小值并结合条件可得结果.（1）由函数，且，所以函数的定义域为，且，令，则.令，解得或，且函数与都在上单调递增.①当，即时，若，则或；若，则.所以在和上单调递增，在上单调递减.②当，即时，恒成立，在上单调递增.③当，即时，若，则或；若，则.所以在和上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）由，得，即对任意恒成立，设，，令，，设，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，当且仅当时等号成立，由于在上单调递增，且时，，时，，所以存在唯一，使得，即.所以，当且仅当时等号成立，因此，又因为，则实数的取值范围为.19.已知函数，．（1），，有成立，证明：；（2），令，证明：．答案：（1），，，．令，．在上单调递增．∵，，根据零点存在定理，在上存在唯一，