2025-2026学年辽宁省沈阳市第一二O中学高一下学期第三次质量检测数学试卷-含解析

/数学满分：150分时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.−142.已知直线a和平面，若，则下列说法正确的是（）．A.若b⊂α，则 B.若α//βC.若b//α，则 D.若a//b，，则3.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=42A.−22BC B.18BC 4.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）A. B.C. D.5.已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（）A.7π B. C. D.7.已知，，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.8.1+cosA. B. C.−32 D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法正确的是（）A.若互为共轭复数，则为实数B.对于复数，若，则C.若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根D.复数z满足，则的最大值为10.已知函数，则下列四个结论中正确的是（）A.函数的图象关于原点对称B.函数的最小正周期为C.的值域为D.设函数的奇偶性与函数相同，且函数在上单调递减，则的最小值为211.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，且B1F平面，过三点作正方体截面，则（）A.三棱锥的外接球表面积为B.动点的轨迹是一条线段C.三棱锥的体积是定值D.若为上一点，则线段长度的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知i为虚数单位，若是纯虚数，则实数__________．13.“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹.李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家.他历经27个寒暑，三易其稿，完成了192万字的巨著《本草纲目》，被后世尊为“药圣”.为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示.某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点A、B、C，分别测得雕像顶的仰角为，且米，则雕像高为_____________米.14.如图，已知为等边三角形，点是的重心．过点的直线与线段交于点，与线段交于点．设，且．设△ADE的周长为c1，的周长为，设，记，则的值域为_______．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15.已知向量，，函数.（1）设，且，求的值；（2）在中，，，且的面积为，求的值.16.如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，.（1）画出平面四边形的平面图，并计算其面积；（2）若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.17.的内角A,B,C的对边分别是，已知（1）求；（2）若点在边上，为的平分线且长度为1，求；（3）若是边上的一点，且，求的面积的最大值．18.如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点.（1）设平面PAB∩平面，证明：；（2）在棱上是否存在点（i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由；（ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．19.定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．（1）若向量为函数的伴随向量，求；（2）已知，，为函数的伴随向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

数学满分：150分时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.−14答案：B解析：思路：先根据诱导公式进行化简，然后对原式进行齐次化，转化为只含有的代数式，代入计算可知结果为选项B.解答过程：利用诱导公式化简：已知角的终边经过点，可得，且.分子分母同时除以：.故选：B2.已知直线a和平面，若，则下列说法正确的是（）．A.若b⊂α，则 B.若α//βC.若b//α，则 D.若a//b，，则答案：D解析：思路：根据线线、线面及面面的位置关系，应用平面的基本性质及线面平行的判定判断各项的正误.解答过程：A：，b⊂α，则bB：，α//β，则a//βC：，b//α，则bD：，则平面中必存在一条直线，而a//b，则，，，故b//α故选：D3.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=42A.−22BC B.18BC 答案：B解析：思路：利用余弦定理求得，cosB=解答过程：由余弦定理得a2得42解得，c=−7（舍去），所以cosB所以BA在BC上的投影为BAcos所以BA在BC上的投影向量为224.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.解答过程：解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令,则,所以,所以；解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为y=f(故选：B.5.已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：应用三角恒等变换化简函数式，结合余弦型函数的周期性及已知区间和零点个数有，即可求参数范围.解答过程：由，又x∈0,π函数在上恰有2个零点，即在x∈0,π上有2个解，所以，解得．故选：A6.已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（）A.7π B. C. D.答案：B解析：思路：先根据正四棱台的体积公式求出该棱台的高，然后取正四棱台上、下底面中心分别为，根据勾股定理列出等式，确定其外接球球心的位置，从而求得其半径，最后根据球的体积公式计算即可.解答过程：因为正四棱台的上、下底面边长分别为和，所以该正四棱台上底面面积为，下底面面积为.设正四棱台的高为，则根据正四棱台的体积公式得，解得.设正四棱台上、下底面中心分别为，则其外接球球心在线段上，因为，设外接球的半径为，设，则，因为，所以，化简得，即正四棱台的外接球球心位于O2处.此时，所以该棱台的外接球体积为.7.已知，，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用单位圆证明不等式，利用此不等式及二倍角的余弦公式比较即得.解答过程：如图，，角的终边交单位圆于点，与直线交于点，过点作轴于点，显然，而，因此，，则，，又，所以.故选：D8.1+cosA. B. C.−32 D.答案：B解析：思路：利用同角三角函数的基本关系将切化弦，二倍角公式及和差角公式，并结合三角变换公式可得；解答过程：1+==cos====二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法正确的是（）A.若互为共轭复数，则为实数B.对于复数，若，则C.若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根D.复数z满足，则的最大值为答案：ACD解析：思路：A选项，设，则，利用复数乘法法则得到，A正确；B选项，举出反例得到B错误；C选项，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），C正确；D选项，利用复数几何意义得到z对应的点的轨迹，从而得到的最大值为.解答过程：对于A选项，设，则，为实数，A对；对于B，若，例如，满足，但，，即，故B错误；对于C，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），所以为一元二次方程的两根，C对；对于D，由复数的几何意义，可知z对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，表示圆周上的点到点的距离，所以的最大值为，故D对．故选：ACD10.已知函数，则下列四个结论中正确的是（）A.函数的图象关于原点对称B.函数的最小正周期为C.的值域为D.设函数的奇偶性与函数相同，且函数在上单调递减，则的最小值为2答案：BC解析：思路：首先利用函数的奇偶性的应用判定A的结论，利用函数的关系式的变换求出函数的最小正周期，进一步判断B的结论，利用函数的定义域求出函数的值域，进一步判定C的结论，利用函数的性质求出的范围，进一步判定D的结论.解答过程：解：对于A：由于函数，则根据函数的性质，所以，所以函数为偶函数，故函数的图象关于轴对称，故A错误；对于B：由于，则函数的最小正周期为，故B正确；对于C：当时，函数，由于，故，故C正确；对于D：函数为偶函数，所以为偶函数，所以，故，由于，所以，所以，即，由于，0<x<3所以，函数在上单调递减，故，解得，故D错误.故选：BC.11.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，且B1F平面，过三点作正方体截面，则（）A.三棱锥的外接球表面积为B.动点的轨迹是一条线段C.三棱锥的体积是定值D.若为上一点，则线段长度的取值范围为答案：BCD解析：思路：对于A，只需判断三棱锥的外接球即正方体的外接球则可求；对于B，分别取的中点，证明平面平面，即可判断点的轨迹；对于C，根据B项结论，证明平面，得到点到平面的距离为定值即可判断；对于D，先证明为BB1的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面即为平面，从而线段长度的最大值为线段的长，最小值为四棱锥的底面上的高即可.解答过程：对于A，由题意三棱锥的外接球即为正方体的外接球，因正方体的棱长为2，则其外接球的直径为，故三棱锥的外接球表面积为，故A错误；对于B，如图，分别取的中点，连接，因为的中点，易得，则得，故，因平面，平面，故平面，又因，则得，故，因，故，同理可得BC1//平面，且平面，故平面平面，又因B1F平面，故平面，故点的轨迹为线段，故B正确；对于C，由B项分析，点的轨迹为线段，因面，故平面，则点到平面的距离为定值，而的面积也是定值，则三棱锥的体积是定值，故C正确；对于D，如图，设平面与平面ABB1A1交于，点在上，因平面平面，平面平面，故，同理可证，即得，故点为的中点.在四棱锥中，显然侧棱最长，其长度为；设四棱锥的高为，因，故四边形是菱形，则的边上的高为面对角线长的一半，为，又，故，而，由可得：，代值解得，综上，可知线段长度的取值范围为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知i为虚数单位，若是纯虚数，则实数__________．答案：−2解析：思路：根据复数的加法和乘法运算，结合复数的概念求解即可.解答过程：因为为纯虚数，所以，解得.13.“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹.李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家.他历经27个寒暑，三易其稿，完成了192万字的巨著《本草纲目》，被后世尊为“药圣”.为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示.某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点A、B、C，分别测得雕像顶的仰角为，且米，则雕像高为_____________米.答案：##解析：思路：设雕像的高为，得到，在和△OBC中，利用余弦定理取得，列出方程，即可求解.解答过程：如图所示，设雕像的高为，因为地面上选取共线的三点A,B,则，其中为的中线，在中，由余弦定理得，在△OBC中，由余弦定理得，两式相加，可得，即，解得.故答案为：.14.如图，已知为等边三角形，点是的重心．过点的直线与线段交于点，与线段交于点．设，且．设△ADE的周长为c1，的周长为，设，记，则的值域为_______．答案：解析：思路：根据题意，化简得到，设的边长为1，用和表示，，，再利用，得到，进而得到，通过和的范围，求出t的范围，进而可求出的范围.解答过程：延长AG，交于，因为为的重心，所以，为中点，所以，，所以，，得，整理得，，设的边长为1，则，，在△ADE中，由余弦定理得，，所以，，因为，所以，因为，，所以，，，又，则有，因为，所以，，因为，，所以的最小值为，最大值为，所以，单调递增，则，所以，，即的值域为故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.15.已知向量，，函数.（1）设，且，求的值；（2）在中，，，且的面积为，求的值.答案：（1）或（2）解析：思路：（1）化简得到，代入数据得到，得到，根据范围得到答案.（2）确定，根据面积公式得到，根据余弦定理得到，得到，再根据正弦定理得到答案.（1）.，得，故，，故或.（2），由（1）知，在中，设内角、的对边分别是，则，故.由余弦定理得，故.解得或，于是，由正弦定理得，故.16.如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，.（1）画出平面四边形的平面图，并计算其面积；（2）若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.答案：（1）平面图见解析，面积为（2）几何体的体积为，表面积为解析：思路：（1）设与交点为，在中，求出，，即可得出答案；（2）先求出，AB=3.然后根据题意可推得旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，与一个同底的圆锥构成的组合体.进而根据组合体的构成，结合圆柱、圆锥的体积公式、表面积公式，即可得出答案.（1）如图1，设与交点为，因为，，所以，.的平面图如图2所示：则，.（2）由（1）可得，在中，有，所以，，所以AB=3.如图3，分别过点B,C作及其延长线的垂线，垂足为.矩形绕及其延长线，旋转一周得到一个底面半径，母线的圆柱；绕，旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥；绕及其延长线，旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥.所以，旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，与一个同底的圆锥构成的组合体.则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积，所以，旋转形成的几何体的体积.旋转形成的几何体的表面积即等于圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和，所以.17.的内角A,B,C的对边分别是，已知（1）求；（2）若点在边上，BE为的平分线且长度为1，求；（3）若是边上的一点，且，求的面积的最大值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理和余弦定理对已知条件进行转换得到，从而得到；（2）利用为及三角形的面积公式即可得到a,c的关系式，变形得；（3）根据已知条件得到，再利用数量积的运算律得到a,c的关系式，最后运用基本不等式得到的最大值，从而得到的面积的最大值．（1）因为，所以由正弦定理可得，整理可得，由余弦定理可得，所以，因为，故．（2）因为BE为的平分线，所以，因为，即，又因为，所以，故．（3）因为，所以，即，所以，即，即，当且仅当即当时等号成立，所以，即面积的最大值为．18.如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点.（1）设平面PAB∩平面，证明：；（2）在棱上是否存在点（i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由；（ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明见解析（2）（i）存在，；（ii）存在，解析：思路：（1）由得平面，再由线面平行的性质定理，结合两平面交线，证得；（2）（i）连接交BD于，利用的比例关系和线面平行判定，得到的值；（ii）根据梯形底面积