2025-2026学年内蒙古自治区鄂尔多斯市第三中学高一下学期第三次月考数学试卷-含解析

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.下列几何体为旋转体的是（）A.三棱锥 B.四棱台 C.六棱柱 D.圆台3.“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则原四边形的面积为（）A. B. C. D.5.已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C若，则 D.若，则6.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮规格，现测得如下数据：，，，，则破裂点C，D两点间的距离为（）A.28cm B. C.26cm D.8.已知圆O的半径为2，弦，C是圆O上的一个动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A若，则 B.若，则C.若，则 D.当时，在上的投影向量为10.已知，为复数，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则11.如图，正方体的棱长为2，分别是棱上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（）A.正方体的外接球的表面积为B.若平面与平面的交线为，则C.若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则D.若，则平面截正方体所得截面的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.复数的虚部是________.13.已知甲､乙两个圆台的上底面的半径均为，下底面的半径均为，母线长分别为和，记甲､乙两个圆台的体积分别为，则__________.14.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数.（1）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；（2）当时，是关于方程的一个根，求实数的值.16.某建筑物模型的外观是如图所示的直三棱柱米，米，米.（1）现需使用油漆对该模型表面（含底面ABC）进行涂层，油漆费用为每平方米20元，求总费用；（2）若D是的中点，证明：平面.17.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且.（1）求C；（2）若的面积为求c.18.对于任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角.（1）若向量，，求的值；（2）若向量，满足，且，求的取值范围；（3）若，，且，，求的值.19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，点E是棱CD上的一点（不同于C，D两点）.（1）求证：平面平面PCD；（2）若，求二面角的正切值；（3）若直线PB与平面PAE所成角的正弦值为，求DE的长.

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：先应用复数的乘方化简，再应用复数的几何意义求解.解答过程：由，知复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.2.下列几何体为旋转体的是（）A.三棱锥 B.四棱台 C.六棱柱 D.圆台答案：D解析：思路：根据旋转体定义得解.解答过程：在四个选项涉及的几何体中，只有圆台是旋转体.故选：D.3.“”是“复数为纯虚数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：解答过程：由题意知，当时，，复数，是纯虚数，充分性成立；当复数为纯虚数时，有，解得，必要性成立，则“”是“复数为纯虚数”的充要条件.4.已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则原四边形的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据直观图画出原图，可得原图形为直角梯形，计算该直角梯形的面积即可.解答过程：过点作，垂足为则由已知可得四边形为矩形，为等腰直角三角形，则，根据直观图画出原图如下：可得原图形为直角梯形，，且，可得原四边形的面积为.5.已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：C解析：思路：运用线面平行、垂直，面面平行、垂直判定和性质，逐个判断.解答过程：若，则或，故A错误；当，若不相交，则推不出，故B错误；若，则，故C正确；若，则，故D错误.故选：C.6.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据异面直线所成角的定义结合边长运算求解.解答过程：如图，连接，因平面，所以平面，平面，所以，又分别是的中点，所以，所以直线与所成角为（或其补角），因为，所以7.如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂点C，D两点间的距离为（）A.28cm B. C.26cm D.答案：A解析：思路：考查正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是先将AC与BD延长交于点P，由正弦定理可求出其他边长度，最后在中用余弦定理可求出CD.解答过程：如图，将AC与BD延长交于点P在中，由正弦定理可知，，则，即，解得：，则，，在中，由余弦定理得：，则.8.已知圆O的半径为2，弦，C是圆O上的一个动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：取的中点D，则，，所以，因为，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.当时，在上的投影向量为答案：ACD解析：思路：根据向量共线的坐标运算求解判断A；根据向量垂直的坐标运算求解判断B；根据数量积的坐标运算求解判断C；根据投影向量公式求解判断D.解答过程：由，得，解得，A正确；由，得，解得，B错误；由，得，解得，所以，C正确；当时，，，所以在上的投影向量为，D正确．故选：ACD．10.已知，为复数，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：BC解析：思路：列举反例，排除AD，根据复数的运算公式，判断BC.解答过程：A.若取，，满足，但，，不能比较大小，故A错误；B.若，则，故B正确；C.设，，,则，，，所以，故C正确；D.若取，，满足，但此时，，故D错误.11.如图，正方体棱长为2，分别是棱上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（）A.正方体的外接球的表面积为B.若平面与平面的交线为，则C.若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则D.若，则平面截正方体所得截面的面积为答案：BC解析：思路：求出正方体的体对角线得球半径判断A；利用线面平行的判定性质推理判断B；作出二面角并求解判断C；作出截面并求出面积判断D.解答过程：对于A，由，得正方体的外接球半径，因此正方体的外接球表面积为，A错误；对于B，由，，得四边形是平行四边形，，而平面，平面，则平面，是平面与平面交线，平面，因此，B正确；对于C，分别取的中点，，连接，则，，，，又，则，，因此是平面和平面所成的二面角的平面角，则，C正确；对于D，延长使得，连接交于点，连接交于点，则，，且，，四边形为菱形，平面截正方体所得截面为五边形，又，，，所以的面积为，五边形的面积为，D错误．故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.复数的虚部是________.答案：解析：思路：直接利用复数的乘除运算法则化简即可.解答过程：因，所以其虚部为.故答案为：方法提示：本题主要考查复数的乘除运算及复数的概念，考查基本运算能力，属于基础题.13.已知甲､乙两个圆台的上底面的半径均为，下底面的半径均为，母线长分别为和，记甲､乙两个圆台的体积分别为，则__________.答案：##解析：思路：根据圆台的性质，先分别求出两圆台的高，再利用圆台体积公式计算即可．解答过程：解：由题可得两个圆台的高分别为，，所以.14.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围为______．答案：解析：思路：利用余弦定理求出，由正弦定理得到，，，由于，可得，得到答案.解答过程：由题意，，可得，由于，可得，由题意利用正弦定理可得，可得，，可得，由于，可得，可得，可得，所以的取值范围为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数.（1）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；（2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）依题意可得，再解一元二次不等式组即可；（2）将复数代入方程即可.（1）因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得，即的取值范围是.（2）当时，，因为是关于的方程的一个根，所以，即，整理得，所以，解得，即的值为，的值为.16.某建筑物模型的外观是如图所示的直三棱柱米，米，米.（1）现需使用油漆对该模型的表面（含底面ABC）进行涂层，油漆费用为每平方米20元，求总费用；（2）若D是的中点，证明：平面.答案：（1）元（2）证明见解析解析：思路：（1）根据直三棱柱，求出表面积，即可得出总费用；（2）根据中位线得出，由线面平行的判定定理得证.（1）因为直三棱柱中，，所以所以，，所以直三棱柱的表面积为平方米.所以所需油漆总费用为元.（2）如图，连接交于点F，连接DF，则F为矩形对角线的交点，.又点D为的中点，所以，因为平面平面，所以平面.17.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且.（1）求C；（2）若的面积为求c.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦定理以及正弦定理，整理化简等式，根据和角公式，可得答案；（2）利用面积公式建立方程组，结合余弦定理，可得答案.（1）由余弦定理，得所以由正弦定理得即，所以.又，所以，所以.因为，所以，所以.又，所以.（2）因为的面积为，所以，即.联立方程，解得或（舍）.由余弦定理，得.18.对于任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角.（1）若向量，，求的值；（2）若向量，满足，且，求的取值范围；（3）若，，且，，求的值.答案：（1）（2）（3）.解析：思路：（1）由条件结合数量积的坐标运算公式和模的坐标表示求，，再结合向量夹角范围和夹角公式求向量夹角，利用新定义求结论；（2）由条件结合定义可得，，由此可得结论；（3）由条件结合定义可得，由此可得，再证明，结合条件求结论.（1）因为，，所以，，，则，又，所以，，所以.（2）由题意，又因为，解得，所以，即的取值范围是.（3）因为，，所以，，所以，由题意知，存在，使得，即，所以，所以，即，又，所以，即，所以，所以，又存在，使得，即，所以，所以，所以.19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，点E是棱CD上的一点（不同于C，D两点）.（1）求证：平面平面PCD；（2）若，求二面角的正切值；（3）若直线PB与平面PAE所成角的正弦值为，求DE的长.答案：（1）证明见解析（2）3（3）解析：思路：（1）根据余弦定理计算得，由勾股定理得，再由线面垂直性质定理证明，再由面面垂直判定定理证明即可；（2）因为线面垂直判定定理得平面PCD，再证明平面AFG，因为，所以为二面角的平面角，计算即可；（3）推导平面PAE，所以为直线PB与平面PAE所成的角，计算和，由正弦定理计算即可.（1）证明：因为，，，所以，，由余弦定理得，所以，所以，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又，PA，平面PAC，因此平面PAC，而平面PCD，所以平面平面PCD.（2）取PC的中