2025-2026学年内蒙古自治区呼和浩特市土默特左旗民族中学高一下学期期中考试数学试卷-含解析

/数学考试时间：120分钟；考试分值：150分第I卷（选择题）一、单选题1.在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则（）A. B. C. D.2.对于，下列等式恒成立的是（）A. B.C. D.3.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.4.已知向量，满足，，且，则（）A.2 B. C. D.5.若，则等于（）A. B. C. D.6.扇子文化在中国源远流长.如图所示的扇面的外环弧长为60cm，内环弧长为15cm，径长（外环半径与内环半径之差）28cm，则该扇面的面积为（）A.1050cm2 B.840cm2 C.630cm2 D.210cm27.已知与的夹角为，则的值为（）A.2 B. C. D.8.已知，为锐角，，，则的值为（）A. B. C. D.二、多选题9.下列等式中正确的是（）A. B.C. D.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.直线是函数图象的一条对称轴B.函数在区间上单调递减C.将函数图像上的所有点向左平移个单位长度，得到函数D.若对任意的恒成立，则.11.如图，是边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上（包含点）的一个动点，则下列说法正确的是（）A.B.C.的最大值为2D.若，则的最大值为第II卷（非选择题）三、填空题12.化简：______．13.函数的最大值为_________，此时自变量的取值的集合为_____________.14.如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为________.四、解答题15.已知，（1）求；（2）若，求.16.已知，，且与夹角为.（1）求；（2）若，求实数的值.17.已知.求（1）的值；（2）的值18.已知函数.（1）求的最小正周期和增区间；（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围.19.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）设函数，求使成立的的取值．

数学考试时间：120分钟；考试分值：150分第I卷（选择题）一、单选题1.在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，结合三角函数的定义，即可求解.解答过程：由角终边经过点，可得，根据三角函数的定义，可得.故选：B.2.对于，下列等式恒成立的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据诱导公式化简即可.解答过程：对于A，，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选:D.3.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据周期公式，直接求解.解答过程：函数的周期.故选：C4.已知向量，满足，，且，则（）A.2 B. C. D.答案：B解析：思路：根据向量垂直的坐标表示分析求解.解答过程：因为，则，解得.故选：B.5.若，则等于（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由正弦二倍角公式求得，再由余弦的二倍角公式求得．解答过程：由题意，所以，所以．故选：C．方法提示：本题考查二倍角公式，掌握二倍角公式是解题关键，属于基础题．6.扇子文化在中国源远流长.如图所示的扇面的外环弧长为60cm，内环弧长为15cm，径长（外环半径与内环半径之差）28cm，则该扇面的面积为（）A.1050cm2 B.840cm2 C.630cm2 D.210cm2答案：A解析：思路：首先，由条件可知，再列出关于弧长的公式，利用扇形面积求解.解答过程：设外环圆的半径为，内环圆的半径为，圆心角为，则，，，则，所以该扇面的面积（cm2）.故选：A7.已知与的夹角为，则的值为（）A.2 B. C. D.答案：A解析：思路：运用向量模长的平方公式，然后代入计算.解答过程：由题意知，，与的夹角为，所以，，，故选：A8.已知，为锐角，，，则的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由同角三角函数的基本关系求出，，再由二倍角公式求出，最后由计算可得.解答过程：因为，为锐角且，所以，所以，所以，又，所以.故选：B二、多选题9.下列等式中正确的是（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：A选项，逆用正弦倍角公式进行求解；B选项，逆用余弦二倍角公式计算；C选项，逆用正切差角公式进行求解；D选项，逆用正弦和角公式计算.解答过程：A选项，，A正确；B选项，，B错误；C选项，，C正确；D选项，，D错误.故选：AC10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.直线是函数图象的一条对称轴B.函数在区间上单调递减C.将函数图像上的所有点向左平移个单位长度，得到函数D.若对任意的恒成立，则.答案：AC解析：思路：利用三角函数对称轴的性质即可验证选项A，利用函数的单调性即可验证选项B，利用图像平移的特性验证选项C，将问题转化为求最值即可得D选项.解答过程：函数，对于A：，故A正确；对于B：由于，所以，故函数在该区间上有增有减，故B错误；对于C：将函数的图像上的所有点向左平移个单位，得到函数的图像，故C正确；对于D：函数，整理得，即求出函数的最小值即可，由于，所以，故当时取得最小值，故，故D不正确．故选：AC．11.如图，是边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上（包含点）的一个动点，则下列说法正确的是（）A.B.C.的最大值为2D.若，则的最大值为答案：ACD解析：思路：选项A，利用中点向量公式；选项B，直接计算数量积；选项C，先化简为，再用圆中弦长的最大值判断；选项D，将两边平方，利用基本不等式得到，又，从而得到的最大值.解答过程：对于A：因为是的中点，所以即所以A正确；对于B：因为是边长为2的等边三角形，所以，因为为的中点，所以，，，所以B错误；对于C：因为所以而点在以为直径所在圆的右半圆弧上运动，所以的最大值为故C正确；对于D：因为，，所以，因为，所以，，所以，又因为,所以，解得，所以的最大值为故D正确.第II卷（非选择题）三、填空题12.化简：______．答案：##解析：思路：利用诱导公式化简得答案.解答过程：.故答案为：13.函数的最大值为_________，此时自变量的取值的集合为_____________.答案：①.7②.解析：思路：根据余弦型函数的值域计算即可.解答过程：当时，即当时，，的最大值此时自变量的取值的集合为.故答案为：7；14.如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为________.答案：##-0.75解析：思路：根据已知条件求出，再表示出，进而求其最小值.解答过程：由题菱形边长为2，则，，所以，又因为，所以，所以，令，则，所以，则当时，取最小值为.故答案为：四、解答题15.已知，（1）求；（2）若，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）两边平方可得，根据同角公式可得，；（2）根据两角和的正切公式，计算可得结果.解答过程：（1）因为，所以，即.因为，所以，所以，故.（2）因为，所以，所以.方法提示：本题考查了两角同角公式，二倍角正弦公式，两角和的正切公式，属于基础题.16.已知，，且与夹角为.（1）求；（2）若，求实数的值.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）由题意结合平面向量模的坐标表示可得，利用平面向量数量积的定义可得，再利用化简即可得解；（2）由题意结合平面向量垂直的性质可得，由平面向量数量积的运算律化简即可得解.解答过程：（1），，又，与夹角为，，；（2），，.方法提示：本题考查了平面向量数量积的求解与应用，考查了运算求解能力，关键是对于条件的合理转化，属于基础题.17.已知.求（1）的值；（2）的值答案：（1）；（2）解析：思路：（1）根据同角三角函数关系可求得；利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可求得结果；（2）根据（1）可求得和；利用两角和差正切公式可求得结果.解答过程：（1），，，又，，又（2）由（1）知：，方法提示：本题考查利用三角恒等变换公式求角或三角函数值的知识，涉及到两角和差正弦公式和正切公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成求解错误.18.已知函数.（1）求的最小正周期和增区间；（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围.答案：（1）最小正周期为，增区间为；（2）解析：（1），所以的最小正周期为，令，则，所以的增区间为；（2）当时，，则，故，令，得，即实数的取值范围是.19.已知函数的