2025-2026学年内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学高一下学期5月期中检测数学试卷-含解析

/数学考试时间：150分钟；一、单选题：本题共8个小题，每小题题5分，共40分.1.已知复数满足，则（）A.2 B.4 C. D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.4.若圆锥的母线长为，高为，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.5.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（）A. B. C. D.6.已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则7.在中，、、分别为内角、、的对边，若，，则（）A. B. C. D.8.在三棱锥中，三条棱，，两两相互垂直，，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.9.已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（）A. B.直线与面所成角为C.线段 D.直线面11.在中，角所对的边分别为，，，O为的外接圆的圆心，则下列结论正确的是（）A. B.的外接圆的半径为2C. D.面积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12.半径为的球的表面积为_____13.已知向量，，且，则______.14.已知正四棱锥的底面边长为6，高为，则正四棱锥外接球的体积为___________________.四、解答题：本题共5小题，共77分.15.已知向量．（1）求：（2）求与的夹角大小．16.在中，已知．（1）求的值；（2）若，且，求的面积．17.如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点．（1）证明：直线平面；（2）求异面直线与所成的角的大小．18.已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量（1）若求A；（2）若求的面积.19.如图，四面体中，、分别是、的中点，、分别是、边上的点，且（）.（1）证明：、、、四点共面；（2）设四面体的各棱长均为6.（ⅰ）当时，求四边形的周长；（ⅱ）求四面体外接球与内切球的半径.

数学考试时间：150分钟；一、单选题：本题共8个小题，每小题题5分，共40分.1.已知复数满足，则（）A.2 B.4 C. D.答案：C解析：思路：根据模长公式运算即可得解.解答过程：因为,所以.​2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，得，则.3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：已知向量，，，，解得．4.若圆锥的母线长为，高为，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先由圆锥的母线和高的长求出底面半径，再由体积公式计算即得.解答过程：由题意，圆锥的母线，高，则底面半径，故其体积.故选：B.5.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：方法一、根据直观图还原到原图形即可求面积，方法二、根据直接求解.解答过程：方法一、设矩形与相交于点，则原图形如下，，则，所以.方法二、由，所以.故选：C.6.已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：B解析：解答过程：对于A，若，，则两直线可以平行，可以垂直，可以异面，因此A错误；对于B，若，，则，因此B正确；对于C，当时，若，可以满足，但不成立，即C错误；对于D，若，，也可能满足，所以D错误.7.在中，、、分别为内角、、的对边，若，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由正弦定理及已知条件可得，令，则，，结合余弦定理可求得的值.解答过程：因为，所以由正弦定理得，又因为，所以，令，则，，所以由余弦定理得，故选：D.8.在三棱锥中，三条棱，，两两相互垂直，，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用等积法可求点面距.解答过程：设点到平面的距离为，因为，且，，两两相互垂直，故，故的面积为，因为平面，故平面，故，故，故.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.9.已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：BCD解析：思路：利用空间中线面和面面的位置关系逐项判断即可.解答过程：对于A，线与平面平行，直线并不与平面内的每一条直线平行，A错误：对于B，若直线与平面垂直，则直线与平面内的每一条直线都垂直，B正确；对于C，由线面平行性质定理可知，C选项正确；对于D，结合正方形模型及线面垂直定义可知D选项正确.故选：BCD.10.如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（）A. B.直线与面所成角为C.线段 D.直线面答案：ABD解析：思路：对于A，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；对于B，利用线面角的定义即可得解；对于C，正中求解即可；对于D，利用线面平行的判定理证得即可.解答过程：对于A，因为在正三棱柱中，面，而面，所以，因为底面是正三角形，为棱的中点，所以，又面，所以面，因为面，所以，故A正确；对于B，因为在正三棱柱中，面，所以为直线与面所成角，因为面，所以，又，所以，则，故B正确；对于C，在正中，，则，所以，故C错误；对于D，记的中点为，连接，如图，因为是的中点，又易知四边形是平行四边形，所以，因为，所以，所以四边形是平行四边形，则，又面，面，所以直线面，故D正确.故选：ABD.11.在中，角所对的边分别为，，，O为的外接圆的圆心，则下列结论正确的是（）A. B.的外接圆的半径为2C. D.面积的最大值为答案：AD解析：思路：根据正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式和特殊角的三角函数值计算判断A,B,利用向量的数量积公式、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式计算判断C,D.解答过程：在中，因为，所以由正弦定理得，又，所以，所以，对于A，因为，则，所以，因为，所以，故A正确；对于B,由正弦定理得外接圆半径，故B错误；对于C,如图1，，故C错误；对于D,由余弦定理得：，当且仅当时取等号，因此，故D正确，故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12.半径为的球的表面积为_____答案：解析：解答过程：因为球的半径为，所以球的表面积为.13.已知向量，，且，则______.答案：解析：解答过程：由.所以.14.已知正四棱锥的底面边长为6，高为，则正四棱锥外接球的体积为___________________.答案：解析：思路：由，得正四棱锥的外接球球心为，半径为，可求外接球的体积.解答过程：正四棱锥中，设，连接，则平面，设正四棱锥的外接球球心为，则在直线上，因为正四棱锥的高为，所以，底面正方形的边长为6，则有，所以即为，正四棱锥的外接球半径为，外接球的体积为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.15.已知向量．（1）求：（2）求与的夹角大小．答案：（1）（2）解析：（1），.（2）设两向量夹角为，，，，因此，结合的范围得.16.在中，已知．（1）求的值；（2）若，且，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）分析可得，利用三角形的面积公式求解即可.（1）由余弦定理可得，又因为，故.（2）因为，则，故的面积为.17.如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点．（1）证明：直线平面；（2）求异面直线与所成的角的大小．答案：（1）证明见解析（2）.解析：思路：（1）连接，利用三角形中位线性质可得，再利用线面平行的判定定理即可证明；（2）由和可知或其补角即为所求，再利用余弦定理求解即可．（1）连接，由已知条件，点分别为棱的中点，故有，又平面，平面，所以直线平面；（2）由（1）可知，，故或其补角为异面直线与所成的角．因为，，，所以，根据直三棱柱性质可知，，所以，，在中，由余弦定理得，又，故，即异面直线与所成的角的大小为．18.已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量（1）若求A；（2）若求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可.（2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可.（1）因为所以①.又由正弦定理，即，代入①式，可得，整理得，又，所以，解得.（2）因为，所以，即，又，所以.因为，由余弦定理可得，即，解得或（舍去）.故.19.如图，四面体中，、分别是、的中点，、分别是、边上的点，且（）.（1）证明：、、、四点共面；（2）设四面体的各棱长均为6.（ⅰ）当时，求四边形的周长；（ⅱ）求四面体外接球与内切球的半径.答案：（1）证明过程见解析（2）（ⅰ）周长为；（ⅱ）外接球半径为，内切球半径为解析：思路：（1）得到，得到四点共面；（2）（ⅰ）由余弦定理等知识求出各边长，相加求周长；（ⅱ）作出辅助线，根据外接球半径相等得到方程，求出外接球半径，并根据三角形相似得到内切球半径（1）、分别是、的中点，故为的中位线，故，、分别是、边上的