2025-2026学年山东济南西城实验中学高二下学期6月阶段性学情检测数学试卷-含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.函数在上的极大值点为（）A. B.π6 C.π3 D.2.已知随机变量，且，则（）A. B. C. D.3.已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A.0,1 B. C. D.1,+∞4.英国数学家布鲁克·泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式我们可知：如果函数在包含的某个开区间a,b上具有阶导数，那么对于，有，若取x0=0，则，此时称该式为函数在处的n阶泰勒公式（其中，）.计算器正是利用这一公式将，cosx，，lnx，x等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（）A.0.83 B.0.46 C.1.54 D.2.545.为了研究某种商品的广告投入x和收益y之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（）万元．/万元12345y/万元0.500.801.001.201.50A.2.48 B.2.68 C.2.78 D.2.886.已知实数，将这7个数适当排列成一列数，满足，则满足要求的排列的个数为（）A.58 B.71 C.85 D.967.若函数既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.8.已知随机变量X，均服从两点分布，且，，若，则（）A.25 B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若两个变量的样本相关系数r的绝对值越接近1，则这两个变量的线性相关性越强B.若随机变量X服从正态分布，且，则C.一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为11D.对具有线性相关关系的变量x,y，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是410.若，且，则（）A. B.C. D.11.已知函数的定义域为0,+∞，为的导函数，满足且f1=0，则以下结论正确的是（）A.B.过原点且与相切的直线方程为C.不等式的解集是1,+∞D.若恰有两个整数解，则k的取值范围是第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.二项式展开式中的常数项为______（用数字作答）．13.若曲线在点(0,1)处的切线也是曲线的切线，则__________.14.在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是__．11213140122233421322334315243444四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知．（1）求a2（2）求；（3）求．16.某厂生产的某种零件的尺寸大致服从正态分布，且规定尺寸为次品，其余的为正品.生产线上的打包机自动把每5件零件打包成1箱，然后进入销售环节，若每销售一件正品可获利50元，每销售一件次品亏损100元.现从生产线生产的零件中抽样20箱做质量分析，作出的频率分布直方图如下：（1）估计生产线生产的零件的平均尺寸；（2）从生产线上随机取一箱零件，求这箱零件销售后的期望利润.17.某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来（）年的增长数据y（万吨），如下表所示：12345y2637506493（1）经探究与y之间具有相关关系，求y关于的经验回归方程y=bx（2）为了检验M，N两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在A，B两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表：地区用M设备用N设备A3020B1535根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用M，N两种不同设备有关?参考公式：①，；②χ2=n参考数据：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.已知函数（1）当时，求曲线在点1,f1处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）求证：19.高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为组，每组5人，剩余的学生做裁判.比赛规则如下:比赛共分为两轮，第一轮比赛中个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛，第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍.已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为、、.（1）现从乙组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为X，求随机变量X的数学期望；（2）若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率；（3）若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球.若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利.若该代表来自丁组，试估计丁组获胜的概率.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.函数在上的极大值点为（）A. B.π6 C.π3 D.答案：B解析：思路：分析导数的符号变化，由此可得出结论.解答过程：对于函数，，因为，当0<x<π6时，y′>0因此，函数在上的极大值点为π6.故选：B.2.已知随机变量，且，则（）A.16 B. C. D.答案：D解析：思路：根据正态分布的性质可得，即可根据二项分布的期望公式求解.解答过程：由以及可得，由于EX=EY，故故选：D3.已知函数，若fx在上单调递增，则实数的取值范围为（）A.0,1 B. C. D.1,+∞答案：D解析：思路：根据fx在上单调递增，将问题转化为f′x≥0解答过程：，若fx在上单调递增，则f′x≥0即，令，其对称轴为，所以gx的最大值为，故只需．即．故选：D．4.英国数学家布鲁克·泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式我们可知：如果函数在包含的某个开区间a,b上具有阶导数，那么对于，有，若取x0=0，则，此时称该式为函数在处的n阶泰勒公式（其中，）.计算器正是利用这一公式将，cosx，，lnx，x等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（）A.0.83 B.0.46 C.1.54 D.2.54答案：C解析：思路：首先根据诱导公式和二倍角公式化简，再利用，即可求解.解答过程：，因为，所以，近似值为0.54，所以的近似值为1.54.故选：C5.为了研究某种商品的广告投入x和收益y之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（）万元．/万元12345/万元0.500.801.001.201.50A.2.48 B.2.68 C.2.78 D.2.88答案：B解析：思路：计算出、代入线性回归方程求出b，得到线性回归方程可得答案.解答过程：由题意，得，，则，则，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为万元．故选：B6.已知实数，将这7个数适当排列成一列数，满足，则满足要求的排列的个数为（）A.58 B.71 C.85 D.96答案：B解析：思路：根据题意，都比大，所以可能取或，分a5=1，和三类进行讨论.解答过程：根据题意，都比大，所以可能取或，当a5=1时，有C62a1,a2有种选法，最后剩下一个就是a当时，，有种选法，剩余数字中a3最大，而a2，a4有A2当时，，，有种选法，剩余数字a3，a4只有1种，共有则满足要求的排列的个数为种.故选：B7.若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：求导，分析可知有2个不相等的正根x1,解答过程：由题意可知：的定义域为，且，若函数既有极大值也有极小值，则有2个不相等的正根x1,x则，解得，所以实数的取值范围为.故选：D.8.已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（）A.25 B. C. D.答案：D解析：思路：利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可.解答过程：由于

服从两点分布，且

，因此.由全概率公式得，即，所以，由条件概率计算公式得.故选：D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若两个变量的样本相关系数的绝对值越接近1，则这两个变量的线性相关性越强B.若随机变量服从正态分布，且，则C.一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为11D.对具有线性相关关系的变量x,y，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是4答案：AB解析：解答过程：对于A：相关系数的取值范围为−1,1，其绝对值越接近1，表示两个变量的线性相关程度越强；越接近0，线性相关程度越弱，这是统计学中的基本结论，因此A正确；对于B：已知，则均值，由正态分布的对称性，得：，又已知，所以因此B正确；对于C：上四分位数的位置为，故上四分位数为第8个数，因此C错误；对于D：经验回归方程为，样本中心点为，回归直线必过样本中心点，代入得，解得，因此D错误.10.若，且，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：令可得，令可得，由结合已知条件即可求值，可判断选项A；根据可判断选项B；由结合的值可判断选项C；对已知条件求导再令可判断选项D，进而可得正确选项.解答过程：对于选项A：令，可得，①令，得.②因为的展开式中的系数为，所以an=1.③由①，②，③，得.因为，所以，得，故选项A正确.；对于选项B：因为，所以选项B错误；对于选项C：因为所有项系数和为，故选项C正确.对于选项D：因为，两边求导可得：令，则，故选项D正确.故选：ACD.11.已知函数的定义域为0,+∞，为的导函数，满足且f1=0，则以下结论正确的是（）A.B.过原点且与相切的直线方程为C.不等式的解集是1,+∞D.若恰有两个整数解，则k的取值范围是答案：ABD解析：思路：对条件同时乘得出导函数，得出，由得出判断A即可；根据过一点求切线方程即可判断B；对fx求导，利用单调性求解即可判断C；根据，要使恰有2个整数解，，计算即可判断D.解答过程：A选项，由，，可得，即，故，为常数，由，可得，故，，故A正确：B选项，设切点为，，设切线斜率为，则，所以切线方程为，即，因为切线过原点，所以，解得，，所以，切线方程为.故B正确；C选项，，故当时，，当时，，所以fx在上单调递增，在上单调递减，故fx的极大值为，又，时，，时，，且时，fx→−∞，时，；当时，，当时，，的解集是，故C错误；D选项，因为，所以要使恰有2个整数解，则整数解为2和3，所以，即，化简得；故实数k的取值范围是，故D正确.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.二项式展开式中的常数项为______（用数字作答）．答案：##解析：思路：根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.解答过程：二项式展开式的通项公式为，令，解得，所以二项式展开式中的常数项为.故答案为：13.若曲线在点(0,1)处的切线也是曲线的切线，则__________.答案：解析：思路：先求出曲线在0,1的切线方程，再设曲线的切点为，求出y′，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.解答过程：由得，，故曲线在0,1处的切线方程为y=2x由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得x0=−12切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为：14.在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是__．11213140122233421322334315243444答案：①.24②.112解析：思路：利用分步乘法原理结合题意分析求解即可．解答过程：第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法，第二步，从第二行中选一个与第一个数不同列的数，共有3种选法，第三步，从第三行中选一个与第一、二个数不同列的数，共有2种选法，第四步，从第四行中选一个与第一、二，三个数不同列的数，只有1种选法，由分乘法原理可知共有种不同的选法；先按列分析，每列必选出一个数，所以所选4个数的十位数字分别为1，2，3，4，再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，所以从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大，所以选中方格中的4个数之和的最大值为.故答案为：24；112．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知．（1）求a2（2）求；（3）求．答案：（1）8（2）－2（3）－64解析：（1）令，则，则原式转化为，则，所以；（2）令，得，令，得，所以＝－2；（3）由（2）得：①，令，得：②，①＋②得：，即＝8，①－②得：，即a1+所以.16.某厂生产的某种零件的尺寸大致服从正态分布，且规定尺寸为次品，其余的为正品.生产线上的打包机自动把每5件零件打包成1箱，然后进入销售环节，若每销售一件正品可获利50元，每销售一件次品亏损100元.现从生产线生产的零件中抽样20箱做质量分析，作出的频率分布直方图如下：（1）估计生产线生产的零件的平均尺寸；（2）从生产线上随机取一箱零件，求这箱零件销售后的期望利润.答案：（1）（2）100元解析：思路：（1）由频率分布直方图计算平均数即可求解；（2）次品的尺寸范围可得生产线生产的产品次品率，设生产线上的一箱零件（5件）中的正品数为，由可得期望，从而得到销售生产线上的一箱零件获利.（1）生产线生产的产品平均尺寸为：；（2）次品的尺寸范围，即，即，故生产线生产的产品次品率为：，设生产线上的一箱零件（5件）中的正品数为，正品率为，故设销售生产线上的一箱零件获利为元，则（元），所以这箱零件销售后的期望利润为100元.17.某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来（）年的增长数据（万吨），如下表所示：123452637506493（1）经探究与之间具有相关关系，求关于的经验回归方程y=bx+a（2）为了检验，两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在，两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表：地区用M设备用设备A3020B1535根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用，两种不同设备有关?参考公式：①，；②χ2=n参考数据：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）（2）认为增收情况与使用，两种不同设备有关解析：思路：（1）由题意分别求出，，，，从而可求解；（2）设出零假设，再利用独立性检验即可求解.（1）由题意得，，，，，.，故经验回归方程为.（2）零假设为H0则.根据小概率值的独立性检验，H0不成立，所以认为增收情况与使用，两种不同设备有关.18.已知函数（1）当时，求曲线在点1,f1处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）求证：答案：（1）（2）答案见解析（3）证明见解析解析：思路：（1）代入参数m=1（2）对函数求导并整理为分式形式，结合判别式与二次函数根的分布，分三类讨论导函数符号，以此确定函数单调区间.（3）利用第二问单调性推导放缩不等式，对不等式赋值后累加，再通过代数放缩完成不等式证明.（1）当时，，又f1=0，故曲线在点1,0处的切线方程为.（2）函数的定义域为当，即m≥1时，，函数在单调递减当，即m<1时，若0<m<1，令，得，于是函数在和单调递减，在单调递增；若，令，得（舍）.函数在上单调递增，在单调递减.综上，当m≥1时，在上单调递减当0<m<1时，在和上单调递减，在上单调递增.当时，在上单调递增，在单调递减．（3）（3）由（2）知，当时，函数在1,+∞上单调递减，所以当时，即，所以将代入上式，可得，即分别取，于是．将上述个式子左右分别相加，可得