2026届云南省红河州、文山州高三下学期考前模拟数学试卷-含解析

/数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则（）A. B. C. D.2.已知集合，若，则（）A.1 B.3 C. D.3.已知是两个复数，则“为实数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若函数的相邻两对称中心的距离为，则的值为（）A. B.1 C.2 D.45.的展开式中常数项为（）A.-20 B.20 C.-924 D.9246.已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（）A.2 B. C. D.47.将边长为2的正方形沿对角线翻折，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的内切球的半径为（）A. B. C. D.8.某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（）（参考数据：）A.20次 B.25次 C.26次 D.27次二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在2026年央视春节联欢晚会上，宇树科技旗下UnitreeG1机器人带来的表演节目《武Bot》凭借精彩表现赢得全国观众广泛赞誉.宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发与生产的中国科技企业，UnitreeG1机器人具备轻量化､高敏捷性与高爆发力等特性.现对该机器人在某地区2025年2月至6月期间的销售量统计数据整理如下表所示：月份23456销量425366109用最小二乘法得到UnitreeG1的销售量（单位：台）关于月份的经验回归方程为，则（）A.B.经验回归方程经过点C.预测机器人UnitreeG1产品9月份的销量约为151台D.5月销售量的残差6.110.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（）A.B.C.是的一条对称轴D.对任意的，都存在，使得11.已知数列中各项均不为0，函数的两个极值点为，且，则（）A.B.当时，数列的前2026项之和为C.当时，数列的通项公式D.当时，若数列，则的前项和为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线的渐近线方程为_________.（写出一个即可）13.正四棱柱中，.一只蚂蚁从底面顶点出发，沿正四棱柱表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程为_________.14.已知函数，关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为，记的面积为，且满足.（1）证明：；（2）若，且，求.16.已知函数在处的切线的斜率为1.（1）求的值；（2）当时，求的极值.17.如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，（1）证明：平面；（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.18.某社区有甲､乙两个垃圾投放点.据观察，该社区居民选择垃圾投放点有以下规律：居民每天都会去投放垃圾，前一天选择投放点甲的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为；前一天选择投放点乙的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为.从观察日起，居民第一天选择甲的概率为，选择乙的概率为，且不同居民的选择相互独立.（1）若有5位居民连续两天去投放垃圾，记第二天选择投放点甲的人数为，求的数学期望和方差；（2）记第天选择投放点甲的概率为.（i）请写出与的递推关系；（ii）求数列的通项公式.19.在平面直角坐标系中，，以为圆心作半径为4的圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径交于点.（1）当在圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）过的直线交曲线交于两点，点关于轴的对称点为.（i）直线与轴的交点为，求点的坐标；（ii）求的取值范围.

数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由向量减法的坐标运算，求出的坐标，再求模即可.解答过程：因为，所以，故选：C.2.已知集合，若，则（）A.1 B.3 C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以或，当时，与集合元素的互异性矛盾；当时，可得，此时,满足故.3.已知是两个复数，则“为实数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：设，由是实数，可得，结合复数相等定义判断充分性，再由可得，为实数，由此判断必要性成立.解答过程：设，若是实数，则为实数，故，即，由于不一定相等，故不一定互为共轭复数，故充分性不成立；若互为共轭复数，且，则，故为实数，故必要性成立.因此，“为实数”是“”的必要不充分条件.4.若函数的相邻两对称中心的距离为，则的值为（）A. B.1 C.2 D.4答案：A解析：解答过程：因为相邻两对称中心的距离为，则函数的最小正周期满足，又由，解得.5.的展开式中常数项为（）A.-20 B.20 C.-924 D.924答案：D解析：思路：将整理为，利用二项式展开式的通项公式求得正确答案.解答过程：因为，展开式的通项公式为，则当时为常数项.6.已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（）A.2 B. C. D.4答案：B解析：思路：根据抛物线的定义，结合三点共线即可求解.解答过程：设抛物线的焦点为，设由抛物线定义知，，因，则,由图知，，解得，即当过点时，的最小值为.7.将边长为2的正方形沿对角线翻折，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的内切球的半径为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求出三棱锥体积的最大值，再建立关于体积与内切球半径的关系，解方程求解.解答过程：由题可知，将沿直线翻折到平面平面时，三棱锥的体积最大，取的中点，连接,则，且平面，，所以三棱锥的体积为：.由和均为直角三角形，和均为正三角形，，，所以三棱锥的表面积.设三棱锥内切球半径为.由，得，解得.8.某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（）（参考数据：）A.20次 B.25次 C.26次 D.27次答案：D解析：思路：由条件列方程求，由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得．解答过程：由题意知，当时，，代入，得，整理得：，也就有，将代入，得，整理得：，故，但由于扩增次数必须为整数，故至少需要27次扩增，即.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在2026年央视春节联欢晚会上，宇树科技旗下UnitreeG1机器人带来的表演节目《武Bot》凭借精彩表现赢得全国观众广泛赞誉.宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发与生产的中国科技企业，UnitreeG1机器人具备轻量化､高敏捷性与高爆发力等特性.现对该机器人在某地区2025年2月至6月期间的销售量统计数据整理如下表所示：月份23456销量425366109用最小二乘法得到UnitreeG1的销售量（单位：台）关于月份的经验回归方程为，则（）A.B.经验回归方程经过点C.预测机器人UnitreeG1产品9月份的销量约为151台D.5月销售量的残差6.1答案：AC解析：思路：根据经验回归方程经过样本中心点可判断AB；把代入经验回归方程可判断C；根据残差的定义可判断D.解答过程：对于A，，由回归直线方程，且，则，解得，故A正确；对于B，由数据可知：，经验回归方程经过点，即经验回归方程过点，故B错误；对于C，当时，，故预测机器人UnitreeG1产品9月份的销量约为151台，故C正确；对于D，对于回归直线方程，令，可得，所以5月销售量的残差，故D错误.10.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（）A.B.C.是的一条对称轴D.对任意的，都存在，使得答案：ACD解析：思路：由正弦函数与余弦函数的性质求解即可.解答过程：对于A，根据题意得，，因为的图象与的图象关于轴对称，所以，即，可得或，因,则得，又因，所以，故A正确；对于B，由A得，所以，故B错误；对于C，由，可得，当时，，故C正确；对于D，当时，，此时，而当时，，此时所以，故D正确.11.已知数列中各项均不为0，函数的两个极值点为，且，则（）A.B.当时，数列的前2026项之和为C.当时，数列的通项公式D.当时，若数列，则的前项和为答案：ABD解析：思路：对于A，由条件结合极值点的定义可求即可判断，对于B，当时由递推关系求数列的前几项，再结合数列的周期性利用分组求和法求前项的和即可判断，对于C，将代入递推关系化简即可证明数列是等差数列，结合等差数列通项公式求结论，对于D，利用裂项相消法求的前项和即可判断.解答过程：对于A，因为数列各项均不为零，为函数的两个极值点，所以的解为，故A正确；对于B，当时，，所以有，，.所以此时该数列的周期为6，则，所以的前2026项和为，故B正确；对于C，当时，由，得，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，故C错误；对于D，因为，所以的前项和为，故D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线的渐近线方程为_________.（写出一个即可）答案：（或）解析：解答过程：双曲线的实半轴长，虚半轴长，因为双曲线的焦点在轴上，则该双曲线的渐近线方程为.13.正四棱柱中，.一只蚂蚁从底面顶点出发，沿正四棱柱表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程为_________.答案：解析：思路：把立体表面上的最短路程转化为展开图中两点间的距离．正四棱柱的三条棱长分别为3，3，2，连接相对顶点的表面路径共有三种基本展开方式；由于两个底面边长相等，其中有两种所得长度相同，因此只需比较两类不同的长度．解答过程：将正四棱柱从到的表面路径展开到平面内，表面上的最短路径就转化为展开图中两点间的线段．所有本质不同的展开方式可归为以下两类．情况1：经过相邻两个侧面．将侧面与（或侧面与）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形．该长方形的长为，宽为．所以，此时的最短路程为．情况2：经过一个侧面与一个底面．将侧面与上底面（或侧面与上底面）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形．该长方形的一边为，另一边为．所以，此时的最短路程为．比较两种长度的平方，前者的平方为40，后者的平方为34，因此．所以，蚂蚁爬行的最短路程为．14.已知函数，关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________.答案：解析：思路：将恒成立的不等式转化为，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.解答过程：由题知，原不等式在上恒成立⇔在上恒成立，即在上恒成立，若设，有，令，有，，易得，所以在上递减；在上递增故，所以，即实数的取值范围为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为，记的面积为，且满足.（1）证明：；（2）若，且，求.答案：（1）由，得，因为，所以，化简得，故.（2）解析：思路：（1）根据和三角形面积公式化简证明；（2）根据向量的数量积、余弦定理和三角形面积公式求解.（1）略（2）由（1）知，因为，所以，化简得，又因为，所以，所以，故，所以的面积.16.已知函数在处的切线的斜率为1.（1）求的值；（2）当时，求的极值.答案：（1）（2）极小值为1，无极大值解析：思路：（1）由导数的几何意义求解即可；（2）利用导数确定函数的单调性，再根据单调性求解即可.（1）由题可知，因为在处切线的斜率为1，所以，解得（2）由（1）得，因此，所以，令，则.因为，所以，所以，而，所以在区间上恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增.又，所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以时，取得极小值为，在上无极大值.综上所述，在上的极小值为1，无极大值.17.如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，（1）证明：平面；（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.答案：（1）因为四边形是正方形，所以，因为平面平面，且平面平面平面，所以平面，又因为平面，所以，在中，，因为，所以，又因为，且平面，所以平面.（2）存在解析：思路：（1）通过面面垂直可以证明平面，从而得到，再使用勾股定理证明，最后证明平面；（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面法向量，使用空间向量表示出直线BP的方向向量，求出是否存在直线与平面所成角的正弦值为.（1）略（2）如图，过点作，因为平面平面，所以，所以，又，所以两两垂直，如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，，设，因此的坐标为，所以.因为平面，所以是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，即，解得（舍去），因此存在，使得直线与平面所成角的正弦值为.18.某社区有甲､乙两个垃圾投放点.据观察，该社区居民选择垃圾投放点有以下规律：居民每天都会去投放垃圾，前一天选择投放点甲的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为；前一天选择投放点乙的居民，第二天选择甲的概率为，选择乙的概率为.从观察日起，居民第一天选择甲的概率为，选择乙的概率为，且不同居民的选择相互独立.（1）若有5位居民连续两天去投放垃圾，记第二天选择投放点甲的人数为，求的数学期望和方差；