小学六年级数学（上册）分数除法应用题知识清单

小学六年级数学（上册）分数除法应用题知识清单一、分数除法的意义与计算法则【基础】（一）分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。例如，已知两个因数的积是$\frac{3}{4}$，其中一个因数是$\frac{1}{2}$，求另一个因数，列式为$\frac{3}{4}\div\frac{1}{2}$。（二）分数除法的计算法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即$a\divb=a\times\frac{1}{b}（b\neq0）$。对于分数除法，通常转化为乘法进行计算。例如：$\frac{5}{6}\div\frac{2}{3}=\frac{5}{6}\times\frac{3}{2}=\frac{5\times3}{6\times2}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}$。（三）在计算过程中，能约分的要先约分，这样可以使计算更加简便。例如：$\frac{8}{9}\div\frac{4}{3}=\frac{8}{9}\times\frac{3}{4}=\frac{8\times3}{9\times4}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$，但更简便的做法是直接交叉约分：$\frac{8}{9}\times\frac{3}{4}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{1}=\frac{2}{3}$。（四）分数除法中，商与被除数的大小关系：当除数大于1时，商小于被除数；当除数小于1时，商大于被除数；当除数等于1时，商等于被除数。这一性质对于分析应用题中的数量关系非常有帮助，例如在判断单位“1”时，可以通过比较已知量和对应分率的大小来初步验证。二、分数除法应用题的基本类型与核心数量关系【重要】（一）分数除法应用题是小学六年级数学的重点内容，它是在分数乘法应用题的基础上发展而来的。核心是已知一个数的几分之几是多少，求这个数。这类问题通常涉及三个量：单位“1”的量、比较量（部分量）、对应分率。它们之间的关系可以表示为：单位“1”的量×对应分率=比较量。由此推导出：单位“1”的量=比较量÷对应分率。（二）基本类型主要包括以下三种：1.已知一个数的几分之几是多少，求这个数。例如：小明体重的$\frac{4}{5}$是32千克，小明体重是多少千克？这里单位“1”是小明的体重，已知它的$\frac{4}{5}$是32千克，求单位“1”，用除法：$32\div\frac{4}{5}$。2.已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数。这类问题稍复杂，需要先确定比较量对应的分率。例如：小明的体重比小红轻$\frac{1}{6}$，小红体重36千克，小明体重多少？这里单位“1”是小红体重，小明体重对应的分率是$1\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$，求比较量用乘法：$36\times\frac{5}{6}$。但如果是已知小明体重，求小红体重，则变成了除法：已知比一个数少$\frac{1}{6}$的数是30千克，求这个数，即$30\div(1\frac{1}{6})$。3.已知两个数的和（或差）以及它们之间的倍数关系（几分之几），求这两个数。这类问题通常需要列方程或利用和倍、差倍关系解决。例如：果园里苹果树和梨树共120棵，苹果树的棵数是梨树的$\frac{2}{3}$，苹果树和梨树各多少棵？这里设梨树为单位“1”，则苹果树为$\frac{2}{3}$，总棵数对应的分率为$1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$，所以梨树棵数=$120\div\frac{5}{3}$，苹果树棵数=梨树棵数×$\frac{2}{3}$。（三）核心数量关系必须熟练掌握，并能灵活转换。在解题过程中，最关键的是找准单位“1”，并确定已知量所对应的分率。单位“1”未知时，用除法；单位“1”已知时，用乘法。三、分数除法应用题的解题策略与标准步骤【非常重要】【高频考点】（一）解题策略：一般采用“分析法”或“综合法”分析数量关系。分析法从问题出发，逐步追溯到已知条件；综合法从已知条件出发，逐步推导出问题。对于分数除法应用题，通常采用“找、定、列、解、验”五步法。（二）标准步骤详解：1.找——找准单位“1”。单位“1”通常出现在“是”、“占”、“比”、“相当于”等词语后面，或者分率“几分之几”前面的那个量。例如：“男生人数占全班人数的$\frac{3}{5}$”，单位“1”是全班人数；“一件衣服降价$\frac{1}{10}$”，单位“1”是原价；“桃树比梨树多$\frac{1}{4}$”，单位“1”是梨树。需要注意的是，有些题目中单位“1”可能隐含在语境中，需要仔细分析。2.定——确定数量关系。根据题意，判断已知量是单位“1”的几分之几，即确定对应分率。如果已知量是部分量，需要找出它占单位“1”的几分之几；如果已知量是比单位“1”多或少的部分，需要找出这个部分量对应的分率。例如：“一条路，修了$\frac{3}{5}$，还剩200米”，这里200米对应的是剩下的分率$1\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$。3.列——列出算式或方程。根据“单位‘1’的量×对应分率=比较量”的关系，如果单位“1”未知，则用除法：单位“1”的量=比较量÷对应分率；如果单位“1”已知，则用乘法。有时为了理清关系，可以列方程解答，设单位“1”的量为x，根据等量关系列出方程。4.解——正确计算。根据分数除法的计算法则，将除法转化为乘法，注意约分，得出结果。如果是方程，要正确解方程。5.验——检验与作答。检查结果是否符合题意，分率是否合理，必要时进行验算。最后写出答语。（三）关键点强调：对应分率的确定是解题的核心。必须确保已知量与所用分率是“对应”关系，即已知量必须是单位“1”的某个部分，而所用的分率就是这个部分所占的份额。如果对应关系搞错，整个解题就会出错。四、常见分数除法应用题模型深度解析【难点】（一）模型一：已知一个数的几分之几是多少，求这个数（基本型）此类问题最直接，只需找出比较量和对应的分率，直接相除。例如：一本书，小明看了$\frac{3}{8}$，正好是60页，这本书有多少页？这里单位“1”是总页数，比较量60页对应的分率是$\frac{3}{8}$，所以总页数=$60\div\frac{3}{8}=60\times\frac{8}{3}=160$（页）。（二）模型二：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数（稍复杂型）此类问题需要先求出已知量对应的分率。例如：某工厂八月份用水120吨，比七月份节约了$\frac{1}{7}$，七月份用水多少吨？分析：八月份比七月份节约$\frac{1}{7}$，即八月份用水是七月份的$1\frac{1}{7}=\frac{6}{7}$，单位“1”是七月份用水量，未知，所以用除法：七月份用水=$120\div\frac{6}{7}=120\times\frac{7}{6}=140$（吨）。注意：这里“节约了$\frac{1}{7}$”是指比七月份少七分之一，不能错误地认为120吨对应的分率是$\frac{1}{7}$。另一种情况：已知比一个数多几分之几，求这个数。例如：学校今年植树120棵，比去年多$\frac{1}{5}$，去年植树多少棵？今年比去年多$\frac{1}{5}$，即今年是去年的$1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$，去年植树=$120\div\frac{6}{5}=120\times\frac{5}{6}=100$（棵）。（三）模型三：已知两个量的和（或差）及它们的倍数关系（几分之几），求两个量（和差倍型）这类问题往往涉及两个未知量，需要设其中一个为单位“1”，用分率表示另一个，然后根据和或差列出除法算式。例如：图书馆有故事书和科技书共420本，故事书的本数是科技书的$\frac{3}{4}$，两种书各有多少本？设科技书为单位“1”，则故事书为$\frac{3}{4}$，总本数对应的分率为$1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$，所以科技书本数=$420\div\frac{7}{4}=420\times\frac{4}{7}=240$（本），故事书本数=$240\times\frac{3}{4}=180$（本）或$=180$（本）。如果是已知两个量的差，例如：果园里苹果树比梨树少30棵，苹果树的棵数是梨树的$\frac{4}{5}$，两种树各多少棵？设梨树为单位“1”，则苹果树为$\frac{4}{5}$，苹果树比梨树少的分率为$1\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$，这个分率对应的数量是30棵，所以梨树棵数=$30\div\frac{1}{5}=150$（棵），苹果树=$150\times\frac{4}{5}=120$（棵）。（四）模型四：已知一个量，以及另一个量比它多（或少）几分之几，求另一个量（单位“1”已知，用乘法）——虽然本单元是分数除法，但经常与乘法混合出现，需要区分。例如：小明的体重是35千克，小红的体重比小明重$\frac{1}{7}$，求小红的体重？这里单位“1”是小明体重，已知，用乘法：小红体重=$35\times(1+\frac{1}{7})=35\times\frac{8}{7}=40$（千克）。这类问题虽然用乘法，但在复杂题目中常与除法交织，需要学生清晰辨别。（五）模型五：连续比较型（两个单位“1”变化）例如：一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的$\frac{1}{4}$，第二小时行了余下的$\frac{2}{5}$，这时离乙地还有90千米，甲乙两地相距多少千米？此类问题需要逐步分析，每一步的单位“1”不同。第一小时行了全程的$\frac{1}{4}$，剩下全程的$\frac{3}{4}$；第二小时行了余下的$\frac{2}{5}$，即行了全程的$\frac{3}{4}\times\frac{2}{5}=\frac{3}{10}$，这时剩下的路程占全程的$1\frac{1}{4}\frac{3}{10}=10.250.3=0.45=\frac{9}{20}$，这个分率对应90千米，所以全程=$90\div\frac{9}{20}=90\times\frac{20}{9}=200$（千米）。这种题目需要仔细画出线段图，理清每一步的分率对应关系。（六）模型六：工程问题中的分数除法应用题工程问题通常把工作总量看作单位“1”，工作效率用几分之一表示。基本的数量关系：工作总量=工作效率×工作时间。如果已知工作效率和时间，求工作总量用乘法；如果已知工作总量和工作时间，求工作效率用除法；如果已知工作总量和工作效率，求工作时间用除法。例如：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，两队合作需要多少天完成？这里工作总量为单位“1”，甲队工作效率$\frac{1}{10}$，乙队工作效率$\frac{1}{15}$，合作效率和为$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}$，合作时间=$1\div\frac{1}{6}=6$（天）。工程问题的变式：已知完成一部分工作的时间，求剩余工作所需时间等。例如：一项工程，甲队单独做8天完成，乙队单独做12天完成，两队先合作4天，剩下的由乙队单独完成，还需要几天？先求出合作4天完成的工作量：$4\times(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})=4\times\frac{5}{24}=\frac{20}{24}=\frac{5}{6}$，剩余工作量为$1\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$，乙队还需时间=$\frac{1}{6}\div\frac{1}{12}=\frac{1}{6}\times12=2$（天）。五、易错点分析与避坑指南【重要】（一）单位“1”找错。这是最常见的错误。例如：“一件衣服先涨价$\frac{1}{10}$，再降价$\frac{1}{10}$，现价与原价相比？”很多学生认为不变，但实际因为单位“1”变化，现价比原价低。在分数除法应用题中，如果分率前没有明确的“是”、“占”等词语，需要根据上下文判断。例如：“水结成冰后体积增加$\frac{1}{10}$，冰化成水后体积减少几分之几？”这里单位“1”分别是水和冰，容易混淆。（二）对应分率找错。比如：“一本书，看了$\frac{3}{5}$，还剩30页，这本书多少页？”错误做法：$30\div\frac{3}{5}$，这是将30页对应了$\frac{3}{5}$，而实际上30页对应的是剩下的$\frac{2}{5}$。正确应为$30\div(1\frac{3}{5})$。（三）分率与具体量混淆。有些题目中既有分率又有具体数量，需要区分。例如：“一根绳子，第一次剪去$\frac{2}{5}$，第二次剪去$\frac{2}{5}$米，还剩1.6米，绳子原长多少？”这里$\frac{2}{5}$是分率，$\frac{2}{5}$米是具体量，不能直接加减。需要先求出第一次剪去后剩下的分率，再根据具体量求原长。（四）除法与乘法混淆。当单位“1”已知时用乘法，未知时用除法。很多学生在没有明确判断单位“1”是否已知的情况下，盲目列式。例如：“小明的身高是150厘米，小华的身高比小明矮$\frac{1}{5}$，小华身高多少？”这是单位“1”已知，用乘法，但有些学生可能会列成除法$150\div(1\frac{1}{5})$，导致错误。（五）解方程时等量关系列错。有些题目用方程解答更清晰，但需要正确列出等量关系。例如：“某数的$\frac{2}{3}$比它的$\frac{1}{2}$多10，求这个数。”等量关系为：$\frac{2}{3}x\frac{1}{2}x=10$，解得x=60。如果列成$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}x=10$就错了。（六）结果未化简或未写单位。在应用题中，最后结果如果是分数，通常要化成最简分数或带分数，并写上单位（如果题目中有单位）。例如：求得人数为$\frac{120}{7}$，这不符合实际，需要检查计算是否正确。实际人数应为整数，若出现分数，可能题目数据有误或计算错误。（七）忽略“0”的情况。在分数除法中，除数不能为0，但应用题中一般不会出现0，但要注意分率不能为0，否则无意义。六、综合应用与思维拓展【热点】（一）分数除法应用题与百分数、比的联系。六年级后续会学习百分数，分数除法应用题中的分率可以转化为百分数，解题思路相同。例如：“一种商品降价20%后售价80元，原价多少？”相当于降价$\frac{1}{5}$，原价=80÷(120%)。同样，比的应用中，如“甲:乙=3:5，甲比乙少20，求乙”，也可以转化为分数：甲是乙的$\frac{3}{5}$，甲比乙少$\frac{2}{5}$对应20，乙=20÷$\frac{2}{5}$=50。（二）分数除法应用题在行程问题中的应用。例如：“一辆汽车从甲地到乙地，已经行了全程的$\frac{3}{7}$，离中点还有20千米，甲乙两地相距多少千米？”这里中点即全程的$\frac{1}{2}$，全程的$\frac{1}{2}\frac{3}{7}=\frac{1}{14}$对应20千米，所以全程=20÷$\frac{1}{14}$=280千米。（三）分数除法应用题在几何图形中的应用。例如：“一个长方形的宽是长的$\frac{2}{3}$，宽比长短5厘米，求长方形的面积。”先求长：5÷(1$\frac{2}{3}$)=15厘米，宽=10厘米，面积=150平方厘米。（四）分数除法应用题在浓度问题中的应用。例如：“有含盐率为10%的盐水300克，要使其含盐率变为25%，需要蒸发掉多少克水？”这里盐的质量不变，原来盐=300×10%=30克，蒸发水后盐水总质量=30÷25%=120克，所以蒸发水=180克。这类问题中，单位“1”是盐水总质量，但变化前后单位“1”不同，需要抓住不变量。（五）思维拓展——用方程解决复杂分数应用题。当题目中单位“1”变化较多，或数量关系复杂时，列方程是一种强有力的工具。例如：“某校六年级有学生200人，其中男生人数比女生人数的$\frac{2}{3}$多10人，男女生各多少人？”设女生人数为x，则男生人数为$\frac{2}{3}x+10$，根据总人数列方程：$x+\frac{2}{3}x+10=200$，解得x=114，男生=86。这里虽然可以用分数除法，但方程更直观。（六）思维拓展——逆推法（还原法）。有些题目从结果出发，逐步逆推，也能轻松解决。例如：“一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原长多少米？”这类问题适合用倒推法：最后剩7米，第三次用去15米之前有7+15=22米；第二次用去余下的一半少10米，即第二次用后剩下22米，那么第二次用之前有(2210)×2=24米？注意：如果第二次用去余下的一半少10米，意味着如果不用这10米，则用了一半，剩下的一半就是22+10=32米，所以第二次用之前有32×2=64米？需要仔细分析：设第二次用之前有x米，则第二次用去$\frac{x}{2}10$，剩余$x(\frac{x}{2}10)=\frac{x}{2}+10$，这个剩余等于22米，所以$\frac{x}{2}+10=22$，解得x=24米。第一次用去全长的一半多3米，设全长为y，第一次用后剩余$y(\frac{y}{2}+3)=\frac{y}{2}3$，这个剩余等于24米，所以$\frac{y}{2}3=24$，解得y=54米。所以原长54米。这种题目综合了分数运算和逆推思想，是高阶思维训练。七、考点归纳与典型例题精讲【高频考点】（一）考点一：直接根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”列式计算。例1：一个数的$\frac{3}{5}$是45，这个数是多少？解：45÷$\frac{3}{5}$=45×$\frac{5}{3}$=75。例2：小明看一本故事书，已经看了80页，正好是全书的$\frac{4}{7}$，这本书共有多少页？解：80÷$\frac{4}{7}$=80×$\frac{7}{4}$=140（页）。（二）考点二：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数。例3：某饲养场养鸡1200只，比养鸭的只数多$\frac{1}{5}$，养鸭多少只？分析：鸡比鸭多$\frac{1}{5}$，即鸡是鸭的$1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$，鸭的只数未知，用除法：1200÷$\frac{6}{5}$=1200×$\frac{5}{6}$=1000（只）。例4：学校十月份用水120吨，比九月份节约了$\frac{1}{7}$，九月份用水多少吨？分析：十月份比九月份节约$\frac{1}{7}$，即十月份是九月份的$1\frac{1}{7}=\frac{6}{7}$，九月份用水=120÷$\frac{6}{7}$=120×$\frac{7}{6}$=140（吨）。（三）考点三：已知两个量的和（或差）及它们的分率关系，求两个量。例5：一套运动服共300元，裤子价钱是上衣的$\frac{2}{3}$，上衣和裤子各多少元？解：设上衣价钱为单位“1”，则裤子为$\frac{2}{3}$，总价对应分率$1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$，上衣=300÷$\frac{5}{3}$=300×$\frac{3}{5}$=180（元），裤子==120（元）或180×$\frac{2}{3}$=120（元）。例6：果园里苹果树比梨树多20棵，苹果树的棵数是梨树的$\frac{5}{4}$，苹果树和梨树各多少棵？解：梨树为单位“1”，苹果树为$\frac{5}{4}$，苹果树比梨树多的分率$\frac{5}{4}1=\frac{1}{4}$，对应20棵，所以梨树=20÷$\frac{1}{4}$=80（棵），苹果树=80×$\frac{5}{4}$=100（棵）或80+20=100（棵）。（四）考点四：分数除法与工程问题结合。例7：一项工程，甲队单独做12天完成，乙队单独做15天完成，两队合作4天后，剩下的由乙队单独做，还需要几天？解：合作4天完成的工作量：$4×(\frac{1}{12}+\frac{1}{15})=4×(\frac{5}{60}+\frac{4}{60})=4×\frac{9}{60}=\frac{36}{60}=\frac{3}{5}$，剩余工作量$1\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$，乙队效率$\frac{1}{15}$，还需天数=$\frac{2}{5}÷\frac{1}{15}=\frac{2}{5}×15=6$（天）。例8：修一条路，甲队单独修需要20天，乙队单独修需要30天，现在两队合修，中途甲队休息了2.5天，乙队休息了若干天，这样一共用了15天才修完，乙队休息了几天？分析：甲队实际工作了152.5=12.5天，完成的工作量=$12.5×\frac{1}{20}=0.625=\frac{5}{8}$，那么乙队完成了$1\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$，乙队效率$\frac{1}{30}$，乙队实际工作天数=$\frac{3}{8}÷\frac{1}{30}=\frac{3}{8}×30=\frac{90}{8}=11.25$（天），所以乙队休息了1511.25=3.75天。这类题目需要灵活运用工作总量、工作效率和工作时间的关系。（五）考点五：稍复杂的分数除法应用题（需要转化分率或单位“1”）。例9：一根绳子，第一次剪去全长的$\frac{1}{3}$，第二次剪去余下的$\frac{2}{5}$，还剩12米，这根绳子全长多少米？解：第一次剪去后剩下全长的$1\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，第二次剪去余下的$\frac{2}{5}$，即剪去全长的$\frac{2}{3}×\frac{2}{5}=\frac{4}{15}$，两次共剪去$\frac{1}{3}+\frac{4}{15}=\frac{5}{15}+\frac{4}{15}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$，剩下$1\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$，对应12米，全长=12÷$\frac{2}{5}$=30（米）。也可以逐步还原：第二次剪后剩12米，第二次剪之前（即第一次剪后剩余）为：12÷(1$\frac{2}{5}$)=12÷$\frac{3}{5}$=20米，第一次剪之前全长：20÷(1$\frac{1}{3}$)=20÷$\frac{2}{3}$=30米。（六）考点六：列方程解分数除法应用题。例10：一个数的$\frac{4}{5}$比它的$\frac{2}{3}$多12，求这个数。解：设这个数为x，则$\frac{4}{5}x\frac{2}{3}x=12$，通分得$\frac{12}{15}x\frac{10}{15}x=12$，$\frac{2}{15}x=12$，x=12÷$\frac{2}{15}$=12×$\frac{15}{2}$=90。例11：某校五年级学生人数比四年级多$\frac{1}{6}$，四年级比五年级少30人，四、五年级各多少人？解：设四年级人数为x，则五年级人数为$x+30$，根据“五年级比四年级多$\frac{1}{6}$”，有$x+30=x(1+\frac{1}{6})$，即$x+30=\frac{7}{6}x$，移项得$30=\frac{7}{6}xx=\frac{1}{6}x$，x=180，五年级=210人。八、单元知识整合与思想方法提炼（一）本单元知识体系：分数除法应用题是分数除法运算的实际应用，核心是“已知部分求整体”或“已知比较量求标准量”。它和分数乘法应用题构成一个整体，共同揭示了分数乘除法的内在联系。通过本单元的学习，学生应掌握用方程和算术两种方法解决分数除法应用题，并能灵活选择。（二）数学思想方法：1.数形结合思想：通过画线段图分析数量关系，将抽象的文字转化为直观的图形，有助于找准单位“1”和对应分率。例如，在“已知比一个数多几分之几的数”问题中，画出两条线段，标明分率，能清晰看出比较量与单位“1”的关系。2.方程思想：当逆向思维困难时，设未知数列方程，将逆向问题转化为正向问题。方程是解决复杂分数应用题的利器，能避免分率对应错误。3.转化思想：将分数除法转化为分数乘法，将未知的单位“1”转化为已知的乘法运算，或将复杂问题转化为基本模型。例如，工程问题中将工作总量看作单位“1”，转化为工作效率问题。4.类比思想：分数除法应用题与整数除法应用题在结构上类似，只是将整数倍换成了分数倍。通过类比，可以加深对数量关系的理解。（三）解题技巧总结：★口诀记忆：单位“1”要看清，已知未知要分明；已知用乘未知除，对应分率要找准；多几分之几加，少几分之几减；画图分析最直观，方程求解更保险。★检验方法：将计算结果代入原题，看是否符合所有条件。例如，求得单位“1”后，用乘法求部分量，看是否等于已知量。（四）跨学科联系：分数除法应用题在科学、经济、生活中广泛应用。例如，在科学实验中，配制溶液需要计算浓度；在经济学中，计算折扣、利润等问题；在日常生活中，计算分摊费用、分配任务等。这些实际问题都需要用到分数除法的思想。