小学数学五年级下册《确定位置》知识清单

小学数学五年级下册《确定位置》知识清单【课程导言】本单元属于“图形与几何”领域的重要内容，是在学生已经学习了前后、左右、上下等方位词描述，以及初步认识了简单的路线图的基础上进行的系统性学习。本单元将学生的空间观念从一维、二维的定性描述，推向二维平面的定量刻画，是后续学习数对（中学平面直角坐标系）、极坐标以及更复杂图形运动的基础。掌握本单元知识，不仅能解决生活中的实际问题，更能为抽象思维发展奠定坚实基础。一、课程定位与核心素养目标（一）【基础】【核心概念】本单元在数学知识体系中的定位本单元《确定位置》是小学数学“图形与几何”领域承上启下的关键一环。它承接了第一学段（14年级）对物体方位的直观感知（如：用上下、左右、前后描述物体相对位置），以及利用“东、南、西、北”等方向词描述物体所在方向的经验。同时，它开启了后续学习（中学）中用“有序数对”（即平面直角坐标系中的坐标）精确表示点的位置的大门。因此，本单元的教学重点在于引导学生经历从“定性描述”到“定量刻画”的思维跨越。（二）【重要】本单元需要达成的核心素养目标1.空间观念：能在具体情境中，理解方向和距离是确定物体位置的两个必要参数；能根据方向和距离这两个参数在平面图上准确描绘出物体的具体位置；能根据平面图上的方向和距离信息，描述简单的行走路线。2.几何直观：能读懂简单的平面图，理解图上的方向（通常是上北下南、左西右东）和比例尺的意义；能借助平面图直观地展现物体之间的位置关系。3.应用意识：能主动运用所学知识解决生活中的实际问题，如根据地图找到目的地、描述游览路线、确定海上遇险船只的搜救方向等。4.推理能力：能从给定的方向和距离信息，推导出物体之间的相对位置关系；能在描述路线时，清晰地说明先向什么方向、走多远、再向什么方向、走多远。二、知识体系建构与核心概念精讲（一）【基础】【非常重要】确定位置的三要素（必备条件）要精确地描述平面上一个点相对于另一个点（观测点）的位置，必须具备三个核心要素：1.观测点（参照点）：确定位置时，必须先明确“以谁为观测点”，即相对于谁来说的。观测点不同，描述物体位置的参数也会随之改变。这是确定位置的前提和基准。【易错点：混淆观测点】2.方向（角度）：指明被观测物体在观测点的哪个方位上。在具体描述中，方向需要精确到偏离正方向（如北偏东、南偏西）的具体角度。3.距离：指明被观测物体与观测点之间的实际长度。（二）【难点】【高频考点】方向与角度的精确描述1.基本方向：在平面图上，我们通常按照“上北、下南、左西、右东”来确定基本方向。四个基本方向之间还有四个正方向：东北、东南、西北、西南。2.精确方向的描述方法（两种常用方法，以教材为准，但两种都需要理解）：（1）【北偏东（西）】或【南偏东（西）】：这种方法是以正北或正南方向为起始线，然后向正东或正西方向偏转一定的角度。例如：“北偏东30°”，表示从正北方向开始，向东（即顺时针方向）旋转30°所指的方向。如果物体在正北和正西之间，则描述为“北偏西xx°”。如果物体在正南和正东之间，则描述为“南偏东xx°”。（2）【东偏北（南）】或【西偏北（南）】：这种方法是以正东或正西方向为起始线，然后向正北或正南方向偏转一定的角度。例如：“东偏北40°”，表示从正东方向开始，向北（即逆时针方向）旋转40°所指的方向。虽然在小学数学中两种说法有时混用，但为了严谨和后续学习的衔接，教材（北师大版）通常采用第一种“北偏东”、“南偏西”等描述方式，即以正北或正南为基准。【重点：必须明确描述规则，通常以正北或正南为基准】3.【重要】角度标注规则：在图上标注角度时，要明确该角度是哪两条射线之间的夹角。通常，这个角度是方向线与起始基准线（正北或正南）的夹角。（三）【基础】距离与比例尺1.实际距离：物体与观测点之间的真实直线距离。2.图上距离：在平面图中，物体与观测点之间的线段长度。3.比例尺：图上距离与实际距离的比。比例尺是缩小（或放大）地图的尺度。例如，比例尺1：10000表示图上1厘米代表实际距离100米（10000厘米）。【重要：要能根据比例尺计算实际距离，或根据实际距离计算图上距离】（四）【热点】描述简单的行走路线1.分段描述：将整个路线分成若干段，逐段描述。2.变换观测点：描述每段路线时，都要以上一段的终点作为新的观测点，描述下一段的方向和距离。3.语言规范：使用“先向……，走……米，到达……；再向……偏……方向上，走……米，到达……”等规范句式进行描述。【难点：观测点的动态切换】三、方法步骤与思维模型（一）【重要】【高频考点】根据给定的方向和距离，在平面图上确定物体位置（“画”物体）解题步骤（可以概括为“一定二找三画四标”）：1.【一定（观测点）】：确定并标出观测点的位置。在图上通常用一个点（如“A点”、“灯塔”、“学校”）表示。2.【二找（方向）】：用量角器确定方向。（1）将量角器的中心与观测点重合。（2）0°刻度线与题目中给定的基准方向（通常是正北或正南）对齐。例如，如果是“北偏东40°”，就将量角器的0°刻度线对准正北方向（指向图的上方）。（3）从0°刻度线开始，向给定的偏转方向（东、西）数出指定的角度（如40°），在量角器边缘上找到对应的刻度点，并用铅笔在图上做一个记号。（4）用直尺连接观测点和这个记号点，画出一条射线。这条射线就是物体所在的方向线。3.【三画（距离）】：根据比例尺确定距离。（1）根据实际距离和比例尺，计算出图上距离。公式：图上距离=实际距离÷每厘米代表的实际距离（根据比例尺换算）。（2）用直尺从观测点出发，沿着刚才画出的射线，量出计算出的图上距离，并在该处点上一个清晰的点，这就是物体的位置。4.【四标（标注）】：在图上标出物体的名称，并在旁边标注清楚方向和实际距离，例如“B岛（北偏东40°，200km）”。（二）【重要】【高频考点】根据平面图，描述物体的具体位置（“读”物体）解题步骤（可以概括为“一找二量三描述”）：1.【一找（观测点与物体）】：首先明确题目要求是以谁为观测点来描述谁的位置。2.【二量（角度与距离）】：（1）【量角度】：用量角器测量物体所在的方向线与基准方向（正北或正南）之间的夹角。测量时，同样要将量角器的中心对准观测点，0°刻度线对准正北（或正南）方向，看另一条边（指向物体的射线）所对应的度数，并判断是偏向哪一侧（东或西）。（2）【量距离】：用直尺量出观测点到物体的图上距离，然后根据比例尺换算出实际距离。3.【三描述】：用规范的语言描述出来。规范句式一般为：“（物体）在（观测点）的（北偏东）（具体角度）方向上，距离（观测点）（实际距离）米（或千米）。”（三）【难点】动态路线描述中的观测点转换（思维模型）在描述行走路线时，核心是“站在哪里，看哪里”。【模型】假设从A点出发到C点，中间经过B点。（1）第一段：以A为观测点，描述B相对于A的方向和距离。（2）第二段：当我们到达B点后，我们的“位置”就变成了B点。此时，要描述C点的位置，必须以B为新的观测点，描述C相对于B的方向和距离。绝不能再用A点去描述C点的位置。【易错点】描述路线时，忘记更换观测点，导致描述不准确或错误。四、典型例题与变式训练（含考点解析）（一）【基础】根据条件判断位置例题：如图，以学校为观测点。小明家在学校的（）偏（）（）°方向上，距离学校（）米。【考查方式】直接读图，测量角度和图上距离，再根据比例尺计算实际距离，最后用规范语言填空。【解答要点】先确定观测点（学校）。再看小明家相对于学校的方向：用量角器量出小明家所在方向线与正北方向的夹角，假设为30°，且偏向东，则描述为“北偏东30°”。量出图上距离，假设为2厘米，比例尺为1：50000（即1厘米代表500米），则实际距离为2×500=1000米。【考点】方向识别、角度测量、比例尺换算、语言表述的规范性。（二）【重要】【高频考点】根据描述在图上标点例题：一艘轮船在海上航行，接到求救信号：遇险船“希望号”在轮船的南偏西60°方向，距离轮船150千米处。请在下图中标出“希望号”的位置。（图中比例尺为1：）【考查方式】给出描述，要求动手操作绘图。【解题步骤】1.确定观测点：轮船所在的位置。2.找方向：将量角器中心对准轮船，0°刻度对准正北（注意，这里是“南偏西60°”，起始基准是“正南”，所以应将量角器的90°刻度（对应正东？不，要重新思考）。【技巧】遇到“南偏西”，我们直接将量角器的0°刻度线对准正南方向（图的下方）。从0°（正南）开始，向西（即图的左侧）旋转60°，在量角器上找到60°刻度线，做记号，画射线。3.算距离：比例尺1：表示图上1厘米代表实际30千米。150千米÷30千米/厘米=5厘米。所以图上距离为5厘米。4.标位置：在射线上量出5厘米，点上点，标注“希望号”。【考点】对“南偏西”方向的理解、量角器的正确摆放（对准正南）、比例尺的逆向应用。【易错点】部分学生容易将量角器0°始终对准正北，导致方向画反。（三）【难点】【热点】路线图的描述与绘制例题1（描述路线）：下面是5路公共汽车的行驶路线图。请描述从起点站到终点站的行驶路线。【考查方式】观察路线图，用语言描述。【解答要点】从起点站出发，先向正东方向行驶1000米到达图书馆站；然后向东偏北30°方向行驶800米到达购物中心站；再向正北方向行驶500米到达公园站；最后向西偏北20°方向行驶600米到达终点站。【易错点】在转弯处要明确新的观测点，并准确描述新的方向。例题2（绘制路线）：小明从家出发，先向正西走200米到超市，再向西偏南45°走300米到学校。请根据描述画出小明的行走路线图。（比例尺1：10000）【考查方式】根据文字描述，动手绘制路线。【解题步骤】1.确定起点和比例尺：在图上点出“小明家”。比例尺1：10000，即1厘米代表100米。2.第一段：从家向正西画。图上距离=200米÷100米/厘米=2厘米。从家出发，向西画一条2厘米长的线段，并在末端标上“超市”。3.第二段：以超市为新的观测点。方向是“西偏南45°”。将量角器中心对准超市，0°刻度对准正西（图的左侧），向南偏45°，画出射线。图上距离=300米÷100米/厘米=3厘米。在射线上量出3厘米，标上“学校”。4.完善路线图：标明方向标（一般在上方画一个箭头，标“北”），并标注各段距离。【考点】观测点的切换、方向的转换（由“西偏南”确定基准）、比例尺的应用。【难点】在第二段绘制中，能正确将量角器的0°刻度对准“正西”方向，并向“南”偏转。（四）【拓展】综合运用：确定物体的相对位置（反向描述）例题：已知A在B的北偏东40°方向，距离B50米处。那么B在A的什么方向？【考查方式】逆向思维，考查位置的相对性。【概念辨析】两点的位置关系是相对的。观测点互换，方向正好相反，角度不变，距离不变。【解答思路】北偏东40°的相对方向是南偏西40°。因为从B看A是北偏东，从A看B，方向正好相反。北的反方向是南，东的反方向是西。所以B在A的南偏西40°方向，距离A50米处。【重要结论】观测点互换，方向相反（即“北”变“南”，“东”变“西”），角度不变，距离不变。五、考点透视与备考策略（一）【高频考点】归纳1.基础填空：给出平面图，直接测量角度、计算距离，然后用规范语言填空。主要考查“读图”能力。2.动手操作：根据文字描述，在给定的平面图上标出物体的位置。主要考查“画图”能力。3.路线描述：根据路线图，用准确的语言描述行走路线。主要考查“动态观测点变换”和“语言组织”能力。4.路线绘制：根据文字描述，绘制简单的路线图。主要考查“比例尺应用”和“动手绘图”能力。5.位置相对性判断：已知一物体相对于另一物体的位置，求另一物体相对于这一物体的位置。主要考查“逆向思维”。（二）【难点】与【易错点】警示1.【易错点1：观测点混淆】在描述或画图时，没有找准观测点，尤其是在路线题中，忘了在新位置建立新观测点。2.【易错点2：方向基准错误】在使用量角器时，不能根据“北偏东”还是“东偏北”正确对准0°刻度。如画“南偏西40°”，应将量角器0°对准正南，而不是正北。3.【易错点3：角度与方向的混淆】如“北偏东30°”误以为是从正东向北偏30°。要时刻记住，角度是相对于基准方向（北或南）的偏移量。4.【易错点4：比例尺换算错误】计算图上距离或实际距离时，单位不统一，或忘记比例尺的含义。如比例尺是1：5000，表示1厘米代表50米，计算时需将米换算成厘米。5.【难点5：描述不完整】在描述物体位置时，只说了方向，忘记了说距离；或者在描述路线时，忘记说明走了多远。（三）【重要】解题策略与技巧1.【审题三看】一看“观测点”是谁；二看“方向”是怎么描述的（什么偏什么多少度）；三看“比例尺”是多少。2.【作图三准】量角器摆放“准”、角度读数“准”、图上距离测量“准”。3.【描述三要素】描述一个物体的位置，必须包含“观测点”、“方向”、“距离”三个要素。例如：“（小明家）在（学校）的（北偏东30°）方向上，距离（学校）500米。”括号里的内容一个都不能少。4.【模型建立】对于路线问题，可以画一个简图，将每一段路线的观测点、方向、距离标注清楚，形成清晰的思维导图。六、跨学科视野与生活应用（一）与生活的紧密联系1.导航软件：手机地图（如高德地图、百度地图）中的路径规划，正是基于确定位置的原理。我们输入起点和终点，软件会计算出最优路线，并用语音提示我们“前方200米向右前方行驶”等，这其实就是动态的、基于实时位置的路线描述。2.户外探险：在野外徒步或登山时，使用指南针（确定方向）和地图（含比例尺）来找到自己的位置并规划前进路线，是本单元知识最直接的应用。3.建筑设计：建筑师在设计建筑布局时，需要精确确定每栋楼、每个房间的方位和距离，以保证采光、通风等要求。4.军事与救援：无论是舰艇编队航行，还是搜救队在海上、沙漠中寻找失事目标，都需要精确的方向和距离信息。（二）与其他学科的融合1.地理学科：学习地理时，要会用经纬网确定某个地点的绝对位置，这是本单元“用有序数对（经度、纬度）”确定位置的拓展。同时，在阅读地形图时，也需要理解和运用方向和比例尺。2.美术学科：在绘画创作中，为了表现物体的空间感和远近关系，会运用到“透视”原理，这与确定观察点与被观察物体的方位和距离有关。3.体育学科：在定向越野运动中，运动员需要根据地图上的点标，快速规划路线并奔跑抵达，这是对确定位置和路线规划能力的综合考验。（三）【拓展】数学文化小知识1.笛卡尔与坐标系：法国数学家笛卡尔有一次生病卧床，看到天花板上爬行的蜘蛛，他突发奇想：如果能把蜘蛛看做一个点，把墙角的三条线作为基准，是不是就能用三个数（距离墙角的三条棱的长度）来描述蜘蛛在任何时刻的位置呢？这个想法促成了“坐标系”的诞生，也就是我们中学要学的“笛卡尔坐标系”。2.古代的定位技术：我国古代的航海家很早就掌握了利用“牵星术”来确定船只在海上的位置，即通过测量星辰（