聚焦算理与建模：小学六年级数学分数连乘运算的深度学习设计

聚焦算理与建模：小学六年级数学分数连乘运算的深度学习设计

一、设计总览

  本教学设计面向小学六年级上学期学生，核心内容为分数连乘运算。在知识序列上，学生已熟练掌握了整数乘法运算律、分数乘整数的意义与算法、分数乘分数的算理与算法（即“分子乘分子作积的分子，分母乘分母作积的分母”），并具备了初步的约分能力。分数连乘不仅是分数乘法运算技能的综合与升华，更是深刻理解分数乘法算理、发展运算能力、建立数学模型、沟通知识内在联系的关键节点。

  基于对当前课程改革理念的深度把握，本设计超越了将“分数连乘”简单视为“连续多次分数乘法”的操作性理解层面。其核心理念在于：以“算理”为基石，以“建模”为路径，以“应用与创新”为旨归。我们将引导学生从具体的现实或几何情境出发，通过多维度表征（图形、语言、符号），自主发现并归纳分数连乘的计算法则，特别是“一次性约分”的优化策略。更重要的是，我们将着力揭示这一法则背后的算理本质——分数单位与分数个数的复合变化，以及乘法交换律与结合律在分数域中的普适性。通过精心设计的、具有思维梯度的系列问题链，驱动学生将分数连乘的计算技能，转化为解决实际问题的数学工具，并初步感悟其在更广阔领域（如科学中的浓度计算、统计学中的概率计算）中的模型意义，实现从具体运算到抽象思维，从知识掌握到素养生成的自然跃迁。

二、教学目标

  1.知识与技能

    （1）理解分数连乘的意义，能正确阐述分数连乘算式在具体情境（如连续分割、复合占比）中的实际含义。

    （2）掌握分数连乘的计算方法，能够熟练、准确、合理（优先进行交叉约分）地进行计算。

    （3）能运用分数连乘的知识解决生活中涉及多个分数关系的两步或两步以上的实际问题，并能清晰表述解题思路。

  2.过程与方法

    （1）经历“情境创设-问题提出-探究发现-归纳总结-迁移应用”的完整探究过程，提升数学探究和归纳概括能力。

    （2）通过动手操作（如画图）、小组讨论、对比分析等多种活动，发展数形结合、转化与优化等数学思想方法。

    （3）在探究“一次性约分”策略的过程中，体会算法优化的必要性，培养简捷运算的意识和能力。

  3.情感、态度与价值观

    （1）在自主探究与合作交流中体验数学学习的成功与乐趣，增强学习数学的自信心。

    （2）感受数学与生活的紧密联系，体会数学的简洁美与逻辑力量，激发求知欲。

    （3）在解决复杂问题的过程中，培养不畏困难、严谨求实的科学态度和理性精神。

三、教学重难点

  教学重点：分数连乘的计算方法，特别是先约分再计算的优化策略。

  教学难点：理解分数连乘的算理，并能在实际问题的复杂情境中，识别数量关系，正确列出分数连乘算式。

四、教学实施过程

  （一）情境激趣，问题驱动——在“连续变化”中激活认知

  教师活动：呈现一个多层级的真实情境。例如，展示一个被平均分成4份的长方形，其中3份涂上红色（表示3

4

\frac{3}{4}

43​）。接着提问：“如果将这红色部分的2

3

\frac{2}{3}

32​再次用斜线阴影表示，斜线阴影部分占原长方形面积的几分之几？”同时，可以引入一个生活情境：“学校要建立一个‘书香班级’，六（1）班有40人，喜欢阅读科普类图书的同学占全班人数的3

5

\frac{3}{5}

53​，在这些喜欢科普类图书的同学中，又有一半（即1

2

\frac{1}{2}

21​）参加了校科技社。参加科技社的科普爱好者占全班人数的几分之几？”

  学生活动：观察图形和文字，尝试用语言描述情境中的数量关系。对于图形问题，可能尝试画图分割；对于生活问题，可能进行简单的口头分析或尝试列式。

  设计意图：创设直观几何情境与真实生活情境双路径导入。几何情境（连续分割）以视觉化方式直观呈现“一个整体的几分之几的几分之几”的模型，为算理理解提供表象支撑。生活情境则赋予数学以现实意义，激发探究动机。两个情境共同指向本课核心数量关系，即求一个数的几分之几的几分之几是多少。

  （二）多元探究，深化算理——从“多重表征”到“算法初建”

  环节1：数形结合，直观建模

  教师活动：聚焦于长方形涂色问题。引导学生分步操作与思考：第一步，原长方形平均分4份，取3份（红），红色面积是原长方形的3

4

\frac{3}{4}

43​。第二步，将红色部分看作一个新的整体，平均分成3份，取其中的2份（斜线），斜线阴影面积是红色部分的2

3

\frac{2}{3}

32​。关键提问：“斜线阴影部分相对于最初的长方形，是怎么得到的？它的面积应该如何计算？”

  学生活动：通过折纸、画图或在电子平板上操作，清晰地展示两次分割过程。从图形上可以直观看出，最终斜线阴影部分是将原长方形平均分成了4

×

3

=

12

4\times3=12

4×3=12份，取其中的3

×

2

=

6

3\times2=6

3×2=6份。因此，斜线阴影部分占原长方形的6

12

\frac{6}{12}

126​，化简后是1

2

\frac{1}{2}

21​。

  设计意图：此环节是算理理解的基石。通过动手操作，将抽象的“分数连乘”转化为可视的“连续等分与取份”过程。学生能直观看到，最终份数是两次等分份数的乘积，最终取的份数是两次所取份数的乘积。这为形式化算法3

4

×

2

3

=

3

×

2

4

×

3

=

6

12

=

1

2

\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{3\times2}{4\times3}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}

43​×32​=4×33×2​=126​=21​提供了无可辩驳的几何解释，深刻揭示了“分母相乘意味着单位被更细化，分子相乘意味着新单位下的数量”这一算理本质。

  环节2：语言表征，意义抽象

  教师活动：引导学生脱离图形，用连贯的数学语言描述“书香班级”问题的解决过程。提问：“求‘参加科技社的科普爱好者占全班人数的几分之几’，就是求什么？你能分步说出先求什么，再求什么吗？”

  学生活动：尝试表述：第一步，求喜欢科普类图书的人数占全班的几分之几，已知是3

5

\frac{3}{5}

53​。第二步，在喜欢科普的这部分同学（占全班的3

5

\frac{3}{5}

53​）中，求参加科技社的占其中的几分之几，即求3

5

\frac{3}{5}

53​的1

2

\frac{1}{2}

21​是多少。所以列式为：3

5

×

1

2

\frac{3}{5}\times\frac{1}{2}

53​×21​。

  设计意图：语言是思维的外壳。要求学生用完整的句子描述数量关系，是将直观感知和动作思维内化为抽象逻辑思维的关键步骤。这有助于学生厘清“单位‘1’”的转换过程（从“全班人数”到“喜欢科普的人数”），明确每一步运算的意义，为正确列式扫清障碍。

  环节3：符号运算，算法归纳

  教师活动：将上述两个问题并列呈现，写出对应的算式：3

4

×

2

3

\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}

43​×32​和3

5

×

1

2

\frac{3}{5}\times\frac{1}{2}

53​×21​。让学生独立计算结果。随后，提出一组三个分数连乘的问题：“一个正方体棱长4

5

\frac{4}{5}

54​分米，它的表面积是多少平方分米？”引导学生列出算式4

5

×

4

5

×

6

\frac{4}{5}\times\frac{4}{5}\times6

54​×54​×6。组织学生观察这三个算式，小组讨论：“分数连乘，可以怎么计算？计算时要注意什么？与我们学过的分数乘分数有什么联系？”

  学生活动：计算前两个算式，巩固分数乘分数法则。对于第三个算式，尝试按顺序计算：4

5

×

4

5

=

16

25

\frac{4}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{16}{25}

54​×54​=2516​，再乘6得96

25

\frac{96}{25}

2596​。在小组讨论中，总结出初步算法：分数连乘，用所有分子的积作分子，所有分母的积作分母。能约分的要先约分。

  设计意图：从两个分数相乘自然过渡到三个及以上的分数（或分数与整数）连乘，体现知识发展的连贯性。通过观察、计算、讨论，学生自主归纳出分数连乘的基本算法，完成从特殊到一般的归纳推理过程。将新知识（连乘）纳入已有知识结构（分数乘分数）中，形成知识网络。

  （三）策略优化，发展思维——于“算法比较”中追求“运算简捷”

  教师活动：出示挑战性问题：计算5

12

×

8

15

×

9

10

\frac{5}{12}\times\frac{8}{15}\times\frac{9}{10}

125​×158​×109​。请两名学生采用不同方法板演：甲生按顺序逐次相乘并逐次约分；乙生先将所有分子分母列出，然后进行一次性交叉约分，最后计算。

  关键提问：“对比两种方法，你认为哪种更简捷？为什么？‘一次性约分’的秘诀是什么？它运用了我们学过的什么运算律？”

  学生活动：观察、比较两种计算过程。发现乙生的方法更清晰、简便，出错率可能更低。深入思考后认识到，“一次性约分”本质上是运用乘法交换律和结合律，改变了运算顺序，让能约分的分数“优先配对”，极大地简化了计算。它要求具备良好的数感，能迅速找出多个分子分母的公因数。

  设计意图：此环节是运算能力从“会算”到“巧算”的跃升。通过对比，让学生深刻感受算法优化的价值，培养追求简捷、高效的数学审美和理性精神。将“一次性约分”策略与整数乘法的运算律建立联系，使学生认识到数学规律的普遍性，深化对算理的理解。这是培养高阶思维（评价、优化）的重要契机。

  （四）分层应用，迁移创新——从“技能巩固”到“模型拓展”

  层次一：基础巩固，辨析理解

    题组A（算理巩固）：

      1.根据图示列出分数连乘算式并计算。

      2.2

3

×

3

4

×

4

5

\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}

32​×43​×54​这个算式可以表示怎样的情境？请尝试叙述。

    题组B（算法熟练）：强调先约分再计算。

      1.7

9

×

3

14

×

6

5

\frac{7}{9}\times\frac{3}{14}\times\frac{6}{5}

97​×143​×56​

      2.18

×

5

6

×

2

3

18\times\frac{5}{6}\times\frac{2}{3}

18×65​×32​

      3.5

8

×

4

15

×

9

2

\frac{5}{8}\times\frac{4}{15}\times\frac{9}{2}

85​×154​×29​

  层次二：综合应用，解决问题

    问题1（连续占比）：一本故事书共120页。小明第一天读了全书的1

4

\frac{1}{4}

41​，第二天读了余下的2

3

\frac{2}{3}

32​。第二天读了多少页？

    关键引导：“余下的页数”如何表示？本题有两种解法：先求余下页数再乘分数，或直接用连乘120

×

(

1

−

1

4

)

×

2

3

120\times(1-\frac{1}{4})\times\frac{2}{3}

120×(1−41​)×32​。引导学生比较两种思路，理解(

1

−

1

4

)

(1-\frac{1}{4})

(1−41​)表示余下部分占全书的比例。

    问题2（几何应用）：一个长方体水箱，从里面量长5

2

\frac{5}{2}

25​米，宽4

3

\frac{4}{3}

34​米，高3

5

\frac{3}{5}

53​米。这个水箱的容积是多少立方米？

    设计意图：将分数连乘与几何体积计算结合，体现数学知识的综合性。

  层次三：拓展延伸，初建模型

    问题1（科学情境—浓度问题）：有一种盐水，第一次蒸发掉其中水分的1

3

\frac{1}{3}

31​，第二次又蒸发掉剩余水分的1

4

\frac{1}{4}

41​。经过两次蒸发，剩下的水分是原来总水分的几分之几？（假设盐的质量不变，仅考虑水分变化）

    分析：设原水分总量为1。第一次蒸发后剩下1

×

(

1

−

1

3

)

=

2

3

1\times(1-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}

1×(1−31​)=32​。第二次蒸发是对剩下的2

3

\frac{2}{3}

32​水分蒸发其1

4

\frac{1}{4}

41​，即蒸发掉2

3

×

1

4

=

1

6

\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{6}

32​×41​=61​。所以最终剩下水分：2

3

−

1

6

=

1

2

\frac{2}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{2}

32​−61​=21​。也可从剩余角度思考：第一次剩2

3

\frac{2}{3}

32​，第二次剩剩余水分的(

1

−

1

4

)

=

3

4

(1-\frac{1}{4})=\frac{3}{4}

(1−41​)=43​，故最终剩2

3

×

3

4

=

1

2

\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{2}

32​×43​=21​。

    问题2（数学文化）：我国古代数学著作《九章算术》中就有“方田术”“约分术”等关于分数运算的记载。分数连乘的思想在解决“复比例”等问题中早有应用。请尝试理解：今有丝一斤，价直二百四十钱。今有丝一百二十八两，问得钱几何？（注：古制一斤=十六两）这其中的数量关系，能否用连乘的思维来分析？

    设计意图：拓展层次旨在打破学科壁垒，展示分数连乘模型在科学等领域的初步应用，渗透STEM教育理念。浓度问题是一个经典的“连续变化”模型。引入数学文化，不仅增强民族自豪感，更让学生看到古老数学思想与现代知识的一脉相承，体会数学的永恒魅力。这些拓展不要求全体掌握，旨在为学有余力的学生打开更广阔的视野，感受数学的威力。

  （五）反思总结，结构升华——从“知识获取”到“认知建构”

  教师活动：引导学生从多维度进行课堂总结。

  关键提问链：

    1.“今天我们学习了什么运算？它的意义是什么？”（引导回顾知识本体）

    2.“我们是怎么得到分数连乘的计算方法的？计算的关键和优化策略是什么？”（引导回顾探究过程与核心方法）

    3.“在探索过程中，我们用到了哪些以前学过的知识或思想？”（引导建立知识联系：分数乘分数、乘法运算律、数形结合、转化）

    4.“你能举一个生活中可以用分数连乘解决的新例子吗？”（引导知识迁移与应用创新）

  学生活动：围绕问题链，进行个人反思、同桌交流、全班分享。尝试画出本课知识的思维导图，将分数连乘与整数乘法、分数乘分数、运算律、解决问题等连接起来。

  设计意图：总结环节是认知结构化的重要过程。通过层层递进的问题，引导学生不仅总结“是什么”，更反思“怎么学”和“为何学”，将零散的知识点串联成网，将具体的技能提升为思想方法。鼓励学生举例，是将课堂所学主动向生活世界延伸的最后一步，完成学习闭环。

五、板书设计（结构化思维呈现）

分数连乘：求一个数的几分之几的几分之几是多少

核心模型：A的()分之()的()分之()…

探究历程：

情境1（图）：长方形→取3/4→再取2/3→？/？

算理：单位“1”连续细分与取份

算式：3/4×2/3=(3×2)/(4×3)=6/12=1/2

情境2（文）：全班→3/5喜欢科普→其中1/2参社→？/？

算式：3/5×1/2=3/10

算法归纳：

法则：所有分子相乘的积作分子，所有分母相乘的积作分母。

关键：能约分的要先约分！（优化运算）

策略优化：

例：5/12×8/15×9/