盲校高中数学沪教版必修第一册 函数性质知识清单

盲校高中数学沪教版必修第一册函数性质知识清单一、函数的基本概念与表示（一）函数的定义与三要素【基础】【必考】在集合观点下，设A、B是两个非空实数集。如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。函数的三要素包括定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，因此，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等（或为同一函数）。【易错点】判断函数是否为同一函数时，不能仅看形式上是否相同，必须检查定义域和对应关系是否完全一致。例如，f(x)=x与g(x)=|x|，由于对应关系不同，它们不是同一函数。（二）函数的定义域求解策略【高频考点】函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的取值范围。对于盲校学生，应强化对代数式约束条件的理解，通过触觉和听觉记忆形成条件反射。1.具体函数的定义域：根据解析式中各部分的限制条件，通过解不等式（组）求得。(1)分式型：分母不为零。如，则要求。(2)根式型：偶次根号下的被开方数非负。如，则要求。(3)零次幂型：零指数幂的底数不为零。如，则要求。(4)实际问题型：除了使数学表达式有意义外，还需符合实际问题的具体情境，例如长度、面积、时间等变量通常为正数。2.抽象函数的定义域：【难点】理解定义域是指自变量x的取值范围，而非括号内整体的取值范围。(1)已知f(x)的定义域为D，求f(g(x))的定义域：解不等式g(x)∈D即可。(2)已知f(g(x))的定义域为D，求f(x)的定义域：求g(x)在x∈D时的值域。例如，若f(2x1)的定义域为[0，1]，则对于f(x)，其定义域应为当x∈[0，1]时，2x1∈[1，1]；而对于f(13x)，则需满足13x∈[1，1]，解得x的范围即为该函数的定义域。（三）函数的表示法与解析式求法【重要】函数的表示方法通常有三种：解析法（用数学表达式表示函数关系）、列表法（列出表格表示自变量与函数值的对应关系）和图象法（用图形表示函数关系）。在盲校教学中，列表法（通过盲文点字表格）和图象法（通过触觉图形，如用凸点、线条或特殊材料制作的图纸）尤为重要。求函数解析式是常见题型，主要方法有：1.待定系数法：已知函数类型（如一次函数、二次函数），可设出一般形式，代入已知条件求出系数。2.换元法：已知f(g(x))的表达式，令t=g(x)，反解出x代入，得到f(t)的表达式。注意新变量t的取值范围即为函数f(x)的定义域。3.配凑法：从f(g(x))的表达式中配凑出g(x)的整体形式，然后直接替换。4.方程组法：对于满足某种等式（如）的函数，常通过构造方程组（如将x替换为）来求解。二、函数的基本性质【核心内容】（一）函数的奇偶性【重要】【高频考点】1.定义【基础】：设函数f(x)的定义域I关于原点对称。(1)偶函数：如果对于任意x∈I，都有f(x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。(2)奇函数：如果对于任意x∈I，都有f(x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。【非常重要】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要前提。如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它必然是非奇非偶函数。2.图象特征：(1)偶函数的图象关于y轴对称。(2)奇函数的图象关于原点对称。在盲校教学中，可通过制作对称的触觉图形（如抛物线、双曲线的一支等）让学生通过触摸感知这种对称性。3.常见函数的奇偶性【必须掌握】：(1)常数函数（c为常数），当c=0时，既是奇函数又是偶函数；当c≠0时，是偶函数。(2)幂函数：当n为奇数时，为奇函数；当n为偶数时，为偶函数。(3)一次函数：当b=0且k≠0时，是奇函数；否则为非奇非偶函数。(4)二次函数：当b=0时，是偶函数；否则为非奇非偶函数。(5)反比例函数：是奇函数。4.奇偶性的运算性质（在公共定义域内）：(1)奇函数±奇函数=奇函数；偶函数±偶函数=偶函数。(2)奇函数×奇函数=偶函数；偶函数×偶函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。5.奇偶性与对称性的延伸：(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(ax)，则函数图象关于直线x=a对称。(2)若函数f(x)满足f(a+x)=f(ax)，则函数图象关于点(a，0)对称。(3)若函数f(x)满足f(a+x)=f(bx)，则函数图象关于直线对称。（二）函数的单调性【核心】【高频考点】1.定义【基础】：设函数y=f(x)的定义域为I，区间D⊆I。对于区间D内任意两个自变量的值和，当时，(1)增函数：都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。(2)减函数：都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。【重要】单调性是函数的局部性质，是针对定义域的某个子区间而言的。2.单调性的判定方法：(1)定义法：【必须掌握】这是证明单调性的根本方法。步骤：①取值：在区间D内任取，且；②作差：计算；③变形：对差式进行因式分解、通分、配方、有理化等恒等变形，化为易于判断符号的形式；④定号：判断的正负；⑤下结论：若，则函数在D上是增函数；若，则函数在D上是减函数。(2)图象法：函数图象从左到右上升的部分对应增区间，下降的部分对应减区间。盲生可通过触摸触觉图形感知这种升降趋势。(3)性质法：①函数与的单调性相反。②当时，函数与的单调性相同；当时，函数与的单调性相反。③若f(x)恒为正（或恒为负），则f(x)与的单调性相反。④增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数。⑤复合函数单调性判定：【难点】【高频考点】遵循“同增异减”原则。即对于函数，若u=g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y=f(u)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也是单调函数，则复合函数y=f(g(x))在区间(a，b)上的单调性为：若内、外层函数单调性相同，则复合函数为增函数；若内、外层函数单调性相反，则复合函数为减函数。⑥奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。（三）函数的最大（小）值【重要】【高频考点】1.定义【基础】：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在，使得。那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。类似地，可定义最小值m（满足f(x)≥m，且存在使得）。【易错点】函数的最值必须在定义域内取得；最值是一个函数值，必须存在一点取到这个值。2.求函数最值（值域）的常用方法：(1)观察法：适用于简单函数，直接通过基本初等函数的性质得出。(2)配方法：主要针对二次函数或可化为二次函数的复合函数。例如，求在区间[a，b]上的最值，需考虑对称轴与区间的位置关系。(3)单调性法：利用函数的单调性求最值。这是最基本、最重要的方法之一。先确定函数在给定区间上的单调性，则最值在区间端点处取得。(4)换元法：通过引入新变量，将复杂函数转化为简单函数。如无理函数（a>0，b>0）可令转化为二次函数求最值。注意换元后新变量的取值范围。(5)分离常数法：用于形如（c≠0）的分式函数。将其变形为的形式，其中为常数，A，B为常数，从而利用反比例函数的性质或值域不为来求解。(6)数形结合法：对于几何意义明显的函数，如斜率、距离等，可借助图形直观求解。(7)判别式法：适用于形如且分子、分母最高次为二次的分式函数（定义域为R或部分R）。将其整理成关于x的一元二次方程，利用求解y的取值范围，但需检验等号能否成立。【易错点】要讨论二次项系数为零的情况。（四）函数的零点【重要】【热点】1.定义【基础】：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点。2.零点存在性定理：【非常重要】如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。【易错点与拓展】(1)该定理只能判断存在零点，但不能判断零点的个数。如果函数在区间[a，b]上单调，则存在唯一零点。(2)定理的条件是“连续不断”且“端点函数值异号”，两者缺一不可。反之，若f(a)·f(b)>0，函数在(a，b)内也可能有零点（如函数在[2，2]上）。3.二分法求近似解：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。主要步骤（设给定精确度ε）：(1)确定初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0。(2)求区间(a，b)的中点。(3)计算f()：①若f()=0，则就是函数的零点；②若f(a)·f()<0，则令b=（此时零点）；③若f()·f(b)<0，则令a=（此时零点）。(4)判断是否达到精确度ε：即若|ab|<ε，则得到零点的近似值a（或b）；否则重复步骤(2)~(4)。三、函数的图象与变换（一）函数图象的作法【基础】1.描点法：列表（根据定义域选取关键点）、描点、连线。盲生可通过在坐标纸上用盲文点位描点，再用线连接，形成可触知的图象。2.基本初等函数图象法：一次函数（直线）、二次函数（抛物线）、反比例函数（双曲线）、指数函数、对数函数、幂函数等，应牢记它们的图象形状、关键点（如顶点、与坐标轴交点、渐近线）和变化趋势。3.图象变换法：利用已知函数图象，通过平移、对称、翻折、伸缩得到新函数的图象。（二）常见的图象变换【重要】1.平移变换：(1)水平平移：的图象，可由的图象向左（h>0）或向右（h<0）平移|h|个单位得到。(2)竖直平移：的图象，可由的图象向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位得到。2.对称变换：(1)关于x轴对称：与的图象关于x轴对称。(2)关于y轴对称：与的图象关于y轴对称。(3)关于原点对称：与的图象关于原点对称。3.翻折变换（绝对值变换）：(1)：保留x轴上方图象，将x轴下方图象沿x轴翻折到上方。【易错点】这是将负函数值变为正值，图象全在x轴上方。(2)：保留y轴右侧图象，去掉y轴左侧图象，再将右侧图象沿y轴翻折到左侧（左侧图象与右侧关于y轴对称）。【易错点】这是定义域变为非负数，图象关于y轴对称。对于盲校学生，可以通过触觉模型演示这种翻折效果，帮助他们建立空间想象。四、基本初等函数（Ⅰ）复习与拓展（一）二次函数【核心】【高频考点】1.解析式三种形式：(1)一般式：（a≠0）。(2)顶点式：，其中(h，k)为顶点坐标。(3)两根式：，其中为方程的两个实根。2.图象与性质：(1)开口方向：a>0时开口向上，a<0时开口向下。(2)对称轴：直线或x=h。(3)顶点：或(h，k)，顶点纵坐标即为最值（在定义域为R时）。(4)单调性：a>0时，在上递减，在上递增；a<0时反之。(5)最值：当a>0时，；当a<0时，。3.闭区间上二次函数的最值问题：【难点】【高频考点】“轴动区间定”或“轴定区间动”。需根据对称轴与区间的相对位置（对称轴在区间左侧、中间、右侧）进行分类讨论，结合单调性求得最值。4.一元二次方程根的分布问题：【难点】通常结合二次函数图象，利用判别式、对称轴位置和端点函数值的符号来建立不等式组。（二）幂函数【基础】1.定义：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。注意区分幂函数与指数函数（形如）。2.五个常用幂函数的图象与性质（α=1，，1，2，3）：(1)所有幂函数在(0，+∞)上都有定义，且图象都过点(1，1)。(2)α>0时，图象过原点(0，0)，且在(0，+∞)上为增函数。(3)α<0时，图象不过原点，且在(0，+∞)上为减函数。(4)通过触觉对比不同α值的图象，感受曲线形状的变化：α越大，在x>1部分图象增长越快。（三）指数与对数函数（回顾与衔接）1.指数函数（a>0且a≠1）：定义域R，值域(0，+∞)，恒过点(0，1)。a>1时增，0<a<1时减。2.对数函数（a>0且a≠1）：定义域(0，+∞)，值域R，恒过点(1，0)。a>1时增，0<a<1时减。它们互为反函数，图象关于y=x对称。五、函数的综合应用与思想方法（一）函数的实际应用【热点】1.建模步骤：审题（理解题意，明确变量关系）→建模（建立适当的函数模型，如一次、二次、分段函数等）→求解（利用函数性质求最值、解不等式等）→还原（将数学结果解释为实际问题的答案）。2.常见模型：(1)二次函数模型：常用于面积最大、利润最大、产量最优等问题。(2)分段函数模型：涉及不同阶段单价不同、运输方式不同、税率变化等情景。【易错点】注意各段定义域的端点，以及最值可能在分段点处取得。(3)分式函数模型：如“对勾函数”（a>0，b>0），可利用均值不等式求最值，但需注意等号成立条件。3.盲校特色应用：可设计涉及盲文印刷成本、有声读物时长与费用、触觉教具制作材料用量等实际问题，增强学习的现实意义。（二）核心思想方法【升华】1.数形结合思想：将抽象的代数关系与直观的图形（触觉图形）结合起来分析问题。例如，利用图象判断单调性、奇偶性，求解方程根的个数、不等式等。2.分类讨论思想：在遇到参数、不确定因素时，通过分类将复杂问题分解为几个简单问题。如二次函数最值问题中讨论对称轴与区间的位置关系。3.转化与化归思想：将不熟悉的、复杂的函数问题，通过换元、变形等手段，转化为熟悉的、简单的问题（如二次函数、基本初等函数）来解决。4.函数与方程思想：将方程的解看作函数的零点，利用函数性质研究方程的解；将不等式问题转化为比较函数值的大小或利用函数图象求解。（三）典型题型与解题策略【必会】1.求函数值域或最值：首选单调性法，次选换元、配方法；对于分式型考虑分离常数或判别式。2.判断函数单调性：定义法（用于证明）、图象法（用于选择填空）、复合函数“同增异减”法。3.判断函数奇偶性：先看定义域是否对称，再看f(x)与f(x)的关系。对于抽象函数，常通过赋值法推导。4.函数零点问题：利用零点存在性定理判断区间内是否有零点；结合单调性判断零点个数；利用二分法求近似值。5.恒成立与存在性问题：【难点】(1)恒成立：在区间D上恒成立⇔在D上的最小值大于k；在D上恒成立⇔在D上的最大值小于k。(2)存在性：在区间D上能成立（有解）⇔在D上的最大值大于k；在D上能成立⇔在D上的最小值小于k。常用方法：分离参数法、构造函数法、数形结合法。分离参数后转化为求函数最值是最常用的策略。六、易错点与盲校教学特别提示（一）常见易错点归纳1.定义域先行：在研究函数任何性质（单调性、奇偶性、最值、零点）之前，必须首先