初中数学八年级下册平行四边形判定（第1课时）知识清单

初中数学八年级下册平行四边形判定（第1课时）知识清单一、平行四边形的定义与判定概述（一）平行四边形的定义【基础】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。这是平行四边形的原始定义，也是最基本的判定方法。用符号语言表示：在四边形ABCD中，如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。定义既是性质，也是判定，它揭示了平行四边形的本质特征。在后续学习中，所有判定定理都可以视为定义的不同表现形式。（二）判定与性质的关系【重要】性质是已知平行四边形推导出的结论（如对边相等、对角相等、对角线互相平分），而判定则是根据某些条件反过来判断一个四边形是否为平行四边形。两者互为逆命题。理解这种互逆关系，有助于从不同角度把握图形的特征，也为后续学习其他特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的判定打下基础。例如，平行四边形的性质“对边相等”的逆命题“对边相等的四边形是平行四边形”是真命题，而有些性质的逆命题可能不成立，需要严格证明。二、平行四边形的三个核心判定定理【高频考点】（一）判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形1.定理内容：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。▲这是最常用的判定方法之一，因为它直接与边长相关，易于测量和计算。2.符号语言：在四边形ABCD中，如果AB=CD，AD=BC，那么四边形ABCD是平行四边形。3.定理证明：可以通过连接对角线，构造全等三角形，利用内错角相等证明对边平行。例如，连接AC，由AB=CD，AD=BC，AC=CA，得△ABC≌△CDA（SSS），则∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠CAD，从而AB∥CD，AD∥BC。因此四边形是平行四边形。★证明思路体现了通过三角形全等将边相等转化为角相等，进而得到平行关系的转化思想。另外，也可连接BD，同样可得全等。这种辅助线构造法是几何证明中的基本技巧。4.应用条件：已知四边形中两组对边的长度关系，通常与三角形全等结合使用。例如，在复杂图形中，需要先通过全等三角形或线段垂直平分线等证明边相等。5.常见题型：（1）直接应用：给出四边形各边长度，判断是否为平行四边形。例如，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=3，DA=4，则它是平行四边形。（2）证明题：在复杂图形中，通过已知条件证明两组对边相等，从而推出平行四边形。例如，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，可证四边形AECF是平行四边形，常用此定理。（3）与等腰三角形、等边三角形结合：利用等腰三角形两腰相等，或等边三角形三边相等，得到边的关系。6.考向分析：常与全等三角形、中垂线、角平分线等知识综合考查，出现在填空题、选择题或证明题中。▲【高频考点】往往需要作辅助线构造全等三角形。例如，在梯形或一般四边形中，通过作对角线将问题转化为三角形全等。（二）判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形1.定理内容：如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。2.符号语言：在四边形ABCD中，如果∠A=∠C，∠B=∠D，那么四边形ABCD是平行四边形。3.定理证明：利用四边形内角和为360°，由∠A+∠B+∠C+∠D=360°，结合∠A=∠C，∠B=∠D，可得2(∠A+∠B)=360°，即∠A+∠B=180°，从而AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）。同理可得AB∥CD。★此证明的关键是将对角相等转化为邻角互补，体现了角的关系与平行线判定的联系。也可通过外角或三角形内角和来证，但上述方法最简洁。4.应用条件：已知四边形的角的关系，常用于与角平分线、三角形内角和、等腰三角形底角等结合的问题。例如，在四边形中，若∠A=∠C=90°，∠B=∠D=90°，则显然为矩形，但首先满足平行四边形条件。5.常见题型：（1）给出四个角的度数或比例，判断四边形形状。如∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:1:2，则∠A=∠C，∠B=∠D，故为平行四边形。（2）在几何图形中，通过计算证明对角相等。例如，利用平行线的同旁内角互补，推出对角关系。6.考向分析：相对考查较少，但也是判定方法之一，常与平行线性质结合。☆【基础】掌握推理过程有助于理解平行四边形的角特征。值得注意的是，有时题目会给出两组邻角互补的条件，实际上也能推出平行四边形，因为邻角互补可转化为对角相等。（三）判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形1.定理内容：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。2.符号语言：在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OA=OC，OB=OD，那么四边形ABCD是平行四边形。3.定理证明：由OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD（对顶角相等），可得△AOB≌△COD（SAS），则AB=CD，且∠BAO=∠DCO，从而AB∥CD。同理可证△AOD≌△COB，得AD=BC，且AD∥BC。因此四边形是平行四边形。★对角线互相平分是平行四边形的一个重要性质，其逆命题也是真命题，且证明过程简洁，常作为首选判定方法。另外，也可只证一组对边平行且相等，但通常用全等。4.应用条件：已知条件涉及对角线交点，或者能够通过其他条件推导出对角线互相平分。例如，给出中点、中线、重心等，常可转化为对角线互相平分。5.常见题型：（1）直接给出对角线交点分线段相等。例如，在四边形ABCD中，AC与BD交于O，且OA=OC，OB=OD，则四边形是平行四边形。（2）在坐标系中，已知四个点坐标，利用中点坐标公式判断对角线是否互相平分，从而判定平行四边形。这是解析几何中的常用方法。（3）与三角形中位线结合：例如，在三角形中，连接两边中点，可得中位线，但若给出对角线关系，可构造平行四边形。6.考向分析：▲【高频考点】常与中点、中线、中心对称、坐标几何等结合，是中考的热点。例如，在四边形中给出对角线交点，或通过全等证明对角线互相平分。近年来，在平面直角坐标系中考查平行四边形的存在性问题，常利用对角线互相平分来列方程求解。三、定义判定法：两组对边分别平行【基础】除了上述三个定理，定义本身也是判定方法。用符号语言：如果AB∥CD，且AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。这种方法往往需要证明两对平行线，通常通过同位角、内错角相等或同旁内角互补来实现。在复杂图形中，定义判定有时比其他定理更直接。例如，在三角形中，若DE∥BC，DF∥AC，则四边形DFCE是平行四边形（两组对边分别平行）。定义判定体现了平行四边形的原始特征，是后续所有判定定理的根源。四、判定方法的综合运用与选择【难点】（一）如何根据已知条件选择恰当的判定方法在证明一个四边形是平行四边形时，需要根据题设条件灵活选择：1.若已知条件涉及边的关系，优先考虑“两组对边分别相等”或“一组对边平行且相等”（下一课时内容），但本课时中可用边相等。例如，已知各边长度，直接用定理1。2.若已知条件涉及角的关系，考虑“两组对角分别相等”。例如，已知四个角的度数或比例，用定理2。3.若已知条件涉及对角线，尤其是中点或交点，优先考虑“对角线互相平分”。例如，已知对角线交点分线段相等，用定理3。4.若已知条件涉及平行线，可考虑定义或通过角的关系转化。例如，已知两对平行线，直接用定义。5.当条件分散时，常通过全等三角形、等腰三角形等知识将条件转化为边、角、对角线的关系。例如，已知一些边相等或角相等，先证明全等，再得到所需条件。6.在复杂图形中，有时需要多次证明，例如先证一个四边形是平行四边形，再证另一个。此时要善于从图形中分离出基本模型。（二）几何证明中的转化思想平行四边形判定往往需要将已知条件转化为所需的边、角或对角线关系。例如，通过三角形全等得到边相等或角相等，再运用判定定理。或者通过平行线性质得到角的关系。转化思想是解决几何问题的核心，需多加体会。例如，在证明两组对边相等时，常需构造全等三角形，将边相等转化为全等条件；在证明对角线互相平分时，常需证明三角形全等得到对应边相等。（三）一题多解与优化选择同一个问题可能有多种判定方法，需要比较哪种更简洁。例如，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD中点，求证四边形AECF是平行四边形。可用定义证AE∥CF且AF∥CE，但需证△ADF≌△CBE；可用定理1证AE=CF且AF=CE，同样需两次全等；可用定理3连接EF交AC于O，但需证明O是中点，可能更复杂。而若用“一组对边平行且相等”则一步到位。因此，掌握多种方法有助于选择最优策略。五、典型例题精析（一）基础题型：直接应用判定定理例1：在四边形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=8，求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等）。★此题直接应用定理，步骤简单，注意书写规范。例2：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD。求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分）。★直接应用。例3：已知四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=120°，∠C=60°，∠D=120°，求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：∵∠A=∠C=60°，∠B=∠D=120°，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等）。★注意角度计算。（二）中档题型：需要先证明条件例4：已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点。求证：四边形AECF是平行四边形。分析：已知平行四边形ABCD，可得AB∥CD，AB=CD。由中点得AE=½AB，CF=½CD，从而AE=CF。又AE∥CF，故四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等，但此定理在下一课时，本课时可用两组对边相等？也可用定义：先证AE∥CF，再证AF∥CE，但需要全等。这里展示多种方法。证明方法一（利用两组对边相等）：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D。又E、F为中点，∴BE=½AB=½CD=DF。在△BCE和△DAF中，BC=DA，∠B=∠D，BE=DF，∴△BCE≌△DAF（SAS），∴CE=AF。又AE=½AB=½CD=CF，∴AE=CF，CE=AF，∴四边形AECF是平行四边形（两组对边分别相等）。方法二（利用对角线互相平分）：连接AC交BD于O，则OA=OC，OB=OD。由于E、F分别是AB、CD中点，连接OE、OF。在△ABD中，O是BD中点，E是AB中点，则OE是中位线，OE∥AD，OE=½AD。同理，OF∥BC，OF=½BC。由AD∥BC，AD=BC，得OE∥OF且OE=OF，故O、E、F共线？实际上需要证明O、E、F共线，或者证明EF经过O。但更直接的是证明OE=OF且A、O、C共线，可证△AOE≌△COF？此方法较繁，一般不采用。方法三（利用定义）：由已知得AE∥CF，再证AF∥CE。可连接EF，证明∠AEF=∠CFE？或证△AEF≌△CFE？但需要条件。实际上，由△BCE≌△DAF得∠CEB=∠AFD，而∠CEB+∠AEF=180°？不易直接得平行。所以方法一最直接。★本题强调中点条件的运用，以及通过全等三角形转化。例5：已知：如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，且DE∥BC，F是BC延长线上一点，且CF=DE。求证：四边形DBCF是平行四边形。分析：要证四边形DBCF是平行四边形，已知DE∥BC，即DF?实际上，DE∥BC，且CF=DE，可考虑证明DB∥CF或DB=CF。由D是AB中点，DE∥BC，根据平行线等分线段定理，可得E是AC中点，且DE=½BC。又CF=DE，所以CF=½BC，即F是BC中点？不，BC不一定等于2DE，因为DE是中位线，所以BC=2DE，从而CF=DE=½BC，故F是BC中点？因为CF=½BC，但C是端点，F在BC延长线上，所以BC=2CF，即F是BC中点？注意，若F在BC延长线上，且CF=½BC，则BC=2CF，即C是BF中点？实际上，若BC=2CF，则BF=BC+CF=3CF，不是中点。所以这里需要重新思考。正确思路：由DE∥BC，D是AB中点，可得E是AC中点（三角形中位线定理的逆定理，可用相似证明）。则DE=½BC。又CF=DE，所以CF=½BC，即BC=2CF。但我们要证四边形DBCF是平行四边形，需证DB∥CF且DB=CF或DB=CF且DB∥CF。DB=AD=½AB，不一定等于CF。所以需另寻方法。更好的方法是：连接CD、EF。由DE∥CF且DE=CF，得四边形DCFE是平行四边形（一组对边平行且相等），所以CD∥EF，CD=EF。再证△ADE≌△CFE？由E是AC中点得AE=CE，又DE=CF，∠AED=∠CEF？由DE∥CF得∠AED=∠ECF？实际上，∠AED与∠ECF是同位角吗？因为DE∥CF，所以∠AED=∠ECF（同位角）。故△ADE≌△CFE（SAS），得AD=CF，∠A=∠FCE。所以AD=CF，且AD∥CF（因为∠A=∠FCE，内错角相等，AB∥CF），即DB∥CF。又AD=DB，所以DB=CF。因此四边形DBCF是平行四边形（一组对边平行且相等）。★本题综合运用了中点、平行线、全等三角形，以及判定定理的灵活选择，是一道经典题。（三）综合题型：与函数、坐标系结合例6：已知点A(1,0)，B(3,2)，C(1,4)，D(1,2)。求证：四边形ABCD是平行四边形。分析：在平面直角坐标系中，可以利用对角线互相平分来判定。计算对角线AC和BD的中点坐标。AC的中点坐标为((1+1)/2,(0+4)/2)=(1,2)；BD的中点坐标为((31)/2,(2+2)/2)=(1,2)。两中点重合，故对角线互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形。★此方法简洁，避免了求边长和角度。也可用两组对边相等，但计算距离较复杂。例如，AB=√[(31)^2+(20)^2]=√(4+4)=√8，CD=√[(1+1)^2+(42)^2]=√(4+4)=√8，AD=√[(11)^2+(20)^2]=√(4+4)=√8，BC=√[(13)^2+(42)^2]=√(4+4)=√8，故AB=CD，AD=BC，也是平行四边形。两种方法均可。例7：已知三点A(0,0)，B(2,1)，C(3,3)，求点D的坐标，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形。分析：这类存在性问题，通常需要分类讨论。设D(x,y)。若以AB、CD为对角线，则AC与BD中点重合，或AB与CD中点重合？需分三种情况：①以AB和CD为对角线，则AC与BD中点重合；②以AC和BD为对角线，则AB与CD中点重合；③以AD和BC为对角线，则AB与CD？实际上，应分别以每条边为对角线。常用方法是：设平行四边形对角线互相平分，分三种情况：（1）若AB为对角线，则AB的中点也是CD的中点，即((0+2)/2,(0+1)/2)=((3+x)/2,(3+y)/2)，解得x=1,y=2，即D(1,2)。（2）若AC为对角线，则AC的中点也是BD的中点，即((0+3)/2,(0+3)/2)=((2+x)/2,(1+y)/2)，解得x=1,y=2，即D(1,2)。（3）若AD为对角线，则AD的中点也是BC的中点，即((0+x)/2,(0+y)/2)=((2+3)/2,(1+3)/2)，解得x=5,y=4，即D(5,4)。综上，D点坐标为(1,2)或(1,2)或(5,4)。★此类问题考查分类讨论和坐标法，是中考热点。六、易错点与避坑指南【高频】（一）概念混淆：误将“一组对边相等”或“一组对角相等”作为判定依据。必须注意，只有两组对边分别相等或两组对角分别相等才能判定，一组条件不充分。例如，等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形。反例：四边形中，一组对边相等，另一组对边平行，可能是等腰梯形。所以不能由一组对边相等直接判定。（二）证明过程逻辑错误：在用全等三角形证明边或角相等时，要注意对应关系，避免用错判定定理。例如，证明两组对边相等时，往往需要两次全等。有时学生只证明了一组对边相等，就下结论，这是错误的。（三）条件遗漏：在复杂图形中，容易忽略隐含条件，如对顶角、公共边、中点等。要仔细分析图形，标记已知条件。例如，在证明对角线互相平分时，需证OA=OC且OB=OD，有时只证了一组，遗漏另一组。（四）对角线平分误用：对角线互相平分是指两条对角线交点分别是每条对角线的中点，而不是一条对角线平分另一条。要注意语言准确性。例如，“AC平分BD”只说明AC经过BD的中点，但不一定AC被平分。所以必须说“互相平分”。（五）证明平行时，错误地使用内错角相等，但未证明两直线平行所需的角相等。例如，由△ABC≌△CDA得到∠BAC=∠DCA，则AB∥CD，这是正确的，但需注意∠BAC和∠DCA是内错角。有时学生得到∠ACB=∠CAD，却用来证AB∥CD，那就是错误对应。（六）忽视四边形内角和条件：在利用对角相等判定时，有时学生直接由∠A=∠C，∠B=∠D得到平行四边形，但未验证四边形内角和为360°，实际上这是隐含条件，无需再证，但要注意如果给出的角不满足内角和，则四边形不存在。（七）坐标法中的计算错误：在用中点公式时，容易算错坐标，或者分不清哪两条对角线。要细心。七、中考考点与命题趋势【热点】（一）近年中考考查方式平行四边形判定是中考必考内容，常见题型有：1.选择题：给出四边形中一些条件，判断能否判定为平行四边形。例如，给出①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD∥BC；③∠A=∠C，∠B=∠D；④OA=OC，OB=OD等，要求选出正确选项。2.填空题：补充条件使四边形成为平行四边形。例如，在四边形ABCD中，AB∥CD，请添加一个条件使四边形为平行四边形，通常可填AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C等。3.证明题：在几何综合题中，作为中间步骤证明某四边形是平行四边形，再用于后续计算或证明。例如，在矩形或菱形背景下，证明某个小四边形是平行四边形。4.压轴题：与函数、动点问题结合，探究平行四边形的存在性。例如，在二次函数图像上找点构成平行四边形，常利用中点坐标公式列方程求解。（二）核心素养导向新课程标准强调几何直观、推理能力、模型思想。平行四边形判定考查学生的逻辑推理能力，要求能够灵活运用判定定理，并能将实际问题转化为几何模型。备考中应注重一题多解，培养发散思维。同时，注意几何语言的规范表达，避免失分。（三）常见考点统计近五年各地中考题中，涉及平行四边形判定的题目约占几何题的10%15%，其中对角线互相平分和一组对边平行且相等（下一课时）出现频率最高，而两组对角相等相对较少。但所有判定方法都必须熟练掌握。八、拓展延伸：从边、角、对角线三个维度看判定【思维提升】（一）判定定理的逆命题与真假平行四边形的性质定理的逆命题分别是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（真）；两组对角分别相等的四边形是平行四边形（真）；对角线互相平分的四边形是平行四边形（真）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（真，下一课时）。这些逆命题都是真命题，构成了完整的判定体系。此外，还有一些性质如“邻角互补”的逆命题“邻角互补的四边形是平行四边形”也是真命题，因为邻角互补可推出对角相等。但“一组对边平行，另一组对边相等”的逆命题是假命题，反例为等腰梯形。（二）一组对边平行且相等的探讨虽然本课时未正式学习，但它是下一课时的核心。通过预习可以发现，如果一组对边平行且相等，也能推出平行四边形。这可以用全等三角形证明。例如，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，连接AC，则∠DAC=∠BCA，又AD=BC，AC=CA，得△DAC≌△BCA，从而AB=CD，且∠ACD=∠CAB，所以AB∥CD，进而两组对边平行。或者直接得两组对边相等。这体现了知识之间的内在联系，也为后续学习梯形打下基础。（三）平行四边形的稳定性与不稳定性平行四边形具有不稳定性，这是它区别于三角形的重要特性。在判定中，我们往往通过边、角、对角线的确定来固定形状，但一旦固定，其形状唯一。了解不稳定性有助于理解判定条件的充分性。例如，给定四边长度，可以构造出无数个平行四边形（因为角度可变），但一旦角度确定，形状就唯一。而三角形的三边长度确定后，形状唯一，体现了三角形的稳定性。在生活中有广泛应用，如伸缩门、衣架等。（四）从向量角度理解判定在向量几何中，四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB=DC（向量相等），即一组对边平行且相等。或者对角线互相平分：OA=OC，OB=OD。这些观点有助于从代数角度理解几何关系，也为高中学习打下基础。九、巩固练习与自我检测（含答案解析要点）（一）基础练习1.在四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:1:2，则四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？（答案：是，因为∠A=∠C，∠B=∠D，两组对角相等。）2.四边形ABCD中，AB=5，BC=7，CD=5，DA=7，这是平行四边形吗？（答案：是，两组对边相等。）3.如图，四边形ABCD对角线交于O，且OA=OC，OB≠OD，则四边形ABCD是平行四边形吗？（答案：不是，对角线需要互相平分，只满足一条对角线平分另一条不行。）4.在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C，求证：四边形ABCD是平行四边形。（提示：由AB∥CD得∠A+∠D=180°，又∠A=∠C，则∠C+∠D=180°，故AD∥BC。两组对边平行。）（二）提升练习5.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF。求证：四边形BEDF是平行四边形。（提示：方法一：由AD∥BC，AD=BC，AE=CF得DE=BF，且DE∥BF，故一组对边平行且相等。方法二：连接BD交AC于O，利用平行四边形性质得OA=OC，OB=OD，再证OE=OF，由对角线互相平分得证。）6.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F。求证：四边形AEDF是平行四边形。（提示：由DE∥AC，DF∥AB直接得两组对边平行，即定义判定。）7.已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，E是BC中点，连接AE、BD交于点F。求证：四边形ABED是平行四边形。（提示：由AD∥BC，AD=BC得四边形ABCD是平行四边形？不一定，因为AD∥BC且AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形？实际上，一组对边平行且相等，可证ABCD是平行四边形。但这里要证ABED，需注意E是中点，则BE=½BC=½AD，且AD∥BE，所以四边形ABED是梯形？不，AD=BC，BE=½BC，所以AD=2BE，不是相等，所以不能直接。需重新审视：已知AD∥BC，AD=BC，可得ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等），则AB∥CD，AB=CD。又E是BC中点，则BE=EC，要证ABED是平行四边形，需证AB∥DE且AB=DE或AD∥BE且AD=BE？AD∥BC即AD∥BE，但AD=BC，BE=½BC，所以AD=2BE，不相等。所以可能结论有误？应改为：求证四边形AECD是平行四边形？或者题目条件不同。我们假设题目是：AD∥BC，AD=BC，E是BC中点，求证四边形ABED是平行四边形？这不可能，因为AD=BC，则AD=2BE，所以AD与BE不相等，但平行，所以是梯形。所以可能是求证四边形AECD是平行四边形，则AD=BC=2EC，AD∥EC，所以AD与EC平行且相等？不，EC=½BC=½AD，所以AD=2EC，也不相等。所以也许条件是AD=½BC？或者E是AD中点？需要根据实际。这里仅作提醒：条件必须匹配。（三）综合练习8.已知点A(0,0)，B(2,3)，C(5,4)，D(3,1)，判断四边形ABCD的形状，并说明理由。（提示：AC中点(2.5,2)，BD中点(2.5,2)，故对角线互相平分，是平行四边形。也可计算边长：AB=√13，BC=√10，CD=√13，DA=√10，两组对边相等。）9.已知三点A(1,2)，B(3,4)，C(2,5)，求点D的坐标，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形。（答案：分三种情况，D(4,7)或(2,1)或(0,3)。过程略。）（四）答案解析要点以上练习旨在巩固判定定理的应用，关键是要根据条件选择合适的判定方法，注意书写规范，每一步推理都要有依据。对于坐标问题，中点公式是常用工具。对于存在性问题，要分类讨论，避免漏解。十、数学思想方法总结（一）转化思想：将四边形问题转化为三角形问题，通过全等或相似得到边角关系。（二）类比思想：将平行四边形的性质与判定进行类比，理解互逆关系。（三）分类讨论思想：在存在性问题中，根据对角线的不同分情况讨论。（四）数形结合思想：用坐标法解决几何问题，将几何条件代数化。十一、中考真题精选解析（一）（2022·北京）在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形。解析：利用四边形内角和得∠A+∠B=180°，从而AD∥BC，同理AB∥CD，得证。这是基础题。（二）（2023·上海）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上一点，且CF=DE，连接DF、EF。求证：四边形DBCF是平行四边形。解析：本题与例5类似，利用中位线得DE∥BC，DE=½BC，又CF=DE，则CF=½BC，需证DB∥CF且DB=CF？实际上，由中位线得DE∥BC，即DE∥CF，且DE=CF，得四边形DCFE是平行四边形，则CD∥EF，CD=EF。再证△ADE≌△CFE得AD=CF，所以DB=CF，且AD∥CF，即DB∥CF。从而得证。（三）（2021·广州）在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(3,1)，C(2,4)，