高考数学一轮复习 课后习题 课时规范练8　函数的奇偶性和周期性（黑龙江版）

课时规范练8函数的奇偶性和周期性(分值:67分)(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)基础巩固练1.(2025·黑龙江哈尔滨一模)定义双曲余弦函数表达式为coshx=ex+e-x2,定义双曲正弦函数表达式为sinhx=ex-e-x2.设函数f(x)=sinhxcoshx,若实数a满足不等式f(A.(-1,3)B.(-3,1)C.(-∞,-3)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)2.(2025·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)满足f(x)=-f(x+2),且f(3)=-1,则f(2025)=()A.1 B.0 C.-1 D.-23.(2025·湖南岳阳一模)若函数f(x)=k+eex-1为奇函数,则A.-e2 B.eC.-e D.e4.(2025·安徽合肥模拟)下列函数中,是奇函数的是()A.f(x)=eB.f(x)=sin(x+π2C.f(x)=xln|x|D.f(x)=x2-5.(2026·山东烟台高三期中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且当0<x<1时,f(x)=2x,则f(log2323)=(A.-3 B.-32 C.32 D6.(多选题)(2025·湖南名校联合体模拟)若函数f(x),g(x),h(x)的定义域都为R,且f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则()A.f(x2)是偶函数B.|f(x)|是偶函数C.g[f(x)]是奇函数D.f(x)h(|x|)是奇函数7.(2026·河南郑州模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为奇函数.若函数g(x)=3x-1的图象与f(x)的图象的公共点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(x2026,y2026),则∑i=12026(xA.4052 B.4050 C.2026 D.20258.(2025·浙江北斗星盟三模)已知函数f(x)=ex-a,x>0,b综合提升练9.(2025·山西太原模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的一个周期为4,若f(1)+f(2)+…+f(2026)=2,则f(1)=()A.0 B.1 C.2 D.310.(2025·河北张家口一模)已知定义在实数集上的函数f(x)满足以下条件:①f(1+x)=f(1-x);②f(3+x)+f(3-x)=0;③f(5)=1.则f(1)+f(2)+…+f(2025)=()A.-1 B.0 C.1 D.211.(多选题)(2025·湖南张家界模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则()A.f(0)=2B.f(x)为偶函数C.3为函数f(x)的一个周期D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=-212.(2025·贵州遵义模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=f(4-x),当-2≤x≤0时,f(x)=3x-2x+1,则当x∈[8,10]时,f(x)=.

创新应用练13.(2025·山东聊城模拟)设有集合A={x|x2+ax-1≥0},定义在R上的函数xA(x)=1,x∈A,0,x∉A为偶函数,求xA(0)A.0 B.1 C.2 D.3

参考答案1.B解析由题意得f(x)=ex-e-xex+e-x的定义域为R,∴f(x)为奇函数.∵f(x)=ex-e-xex+e-x=e2x-1e2x+1=1-2e2x+1,且g(x)=2e2x+1在R上为减函数,∴f(x)=1-2e2x+1在R上为增函数.∵f(a2)+f(2a-3)<0,∴f(a2)<-f2.A解析f(x)=-f(x+2)⇒f(x+2)=-f(x)⇒f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)的一个周期为4,从而f(2025)=f(4×506+1)=f(1),则f(1)=-f(3)=1.故选A.3.B解析令ex-1≠0,可得x≠0,即函数f(x)的定义域为{x|x≠0},因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,可得f(x)+f(-x)=k+eex-1+k+ee-x-1=所以k=e2.故选4.C解析对于A,函数定义域为R,f(0)=23≠0,函数f(x)对于B,函数定义域为R,f(0)=sinπ2=1≠0,函数f(x)不是奇函数对于C,函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-xln|-x|=-xln|x|=-f(x),函数f(x)是奇函数;对于D,函数定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,函数f(x)不是奇函数.故选C.5.B解析由f(x+1)=f(1-x),得f(x)=f(2-x),则f(-x)=f(2+x).因为f(x)是R上的奇函数,则f(-x)=-f(x),所以f(x)=-f(x+2),则f(x+2)=-f(x+4),所以f(x)=f(x+4),即f(x)是周期为4的奇函数,由f(log2323)=f(5-log23)=f(1-log23)=-f(log23-1),而0<log23-1<1,所以f(log2323)=-f(log23-1)=-2log26.ABD解析由题意知函数f(x),g(x),h(x)的定义域都为R.因为f((-x)2)=f(x2),所以f(x2)是偶函数,故A正确;因为f(x)为奇函数,所以|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,则|f(x)|是偶函数,故B正确;因为g(x)为偶函数,则g[f(-x)]=g[-f(x)]=g[f(x)],即g[f(x)]是偶函数,故C错误;因为h(|-x|)=h(|x|),则h(|x|)为偶函数,又f(x)为奇函数,所以f(x)h(|x|)是奇函数,故D正确.故选ABD.7.C解析由g(x)=3x-1是由函数y=3x向右平移1个单位长度得到的,则g(x)由f(x+1)为奇函数,则f(x+1)+f(-x+1)=0,则f(x)关于点(1,0)中心对称,故对函数g(x)与f(x)的图象的任一交点(x,y),总存在点(2-x,-y)也是它们的交点,则∑i=12026xi=1013(x+2-x)=2026,∑i=12026yi=则∑i=12026(xi+yi)=∑i=12026xi+∑8.-3解析因为函数f(x)=ex-所以当x<0时,-x>0,f(-x)=e-x-a=-f(x)=-be-x+2,所以a=-2,b=-1,所以a+b=-3.9.C解析由题意,得f所以f(-2)=f(2)=0.又f(3)=f(-1)=-f(1),f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.结合周期性可知f(1)+f(2)+…+f(2026)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=f(1),所以f(1)=2.故选C.10.A解析由①f(1+x)=f(1-x),可得f(x)=f(2-x),由②f(3+x)+f(3-x)=0,可得f(x)=-f(6-x),所以f(x)=f(2-x)=-f(x+4)=f(x+8),所以f(x)的周期为8,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(-1)+f(0)=[f(1)+f(5)]+[f(2)+f(4)]+[f(6)+f(0)]+f(3)+f(-1)=f(3)+f(-1)=2f(3),因为f(3)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(2025)=f(1)+253[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)]=-f(5)=-1.故选A.11.ABD解析对于A,由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),取x=1,y=0,可得f(1)+f(1)=f(1)f(0),又f(1)=1,所以f(0)=2,A正确;对于B,函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称,由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),取x=0,可得f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y),所以f(y)=f(-y),所以f(x)为偶函数,B正确;对于C,由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),取y=1,可得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x),所以f(x+2)+f(x)=f(x+1),所以f(x+2)=-f(x-1),即f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以3不是函数f(x)的一个周期,6为函数f(x)的一个周期,C错误;对于D,由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),取x=1,y=1,可得f(2)+f(0)=f(1)f(1),故f(2)=-1,取x=2,y=1,可得f(3)+f(1)=f(2)f(1),故f(3)=-2,取x=2,y=2,可得f(4)+f(0)=f(2)f(2),故f(4)=-1,取x=3,y=2,可得f(5)+f(1)=f(3)f(2),故f(5)=1,取x=3,y=3,可得f(6)+f(0)=f(3)f(3),故f(6)=2,所以f(6k+1)+f(6k+2)+f(6k+3)+f(6k+4)+f(6k+5)+f(6k+6)=0,k=0,1,…,336,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=[f(1)+f(2)+…+f(6)]+[f(7)+f(8)+…+f(12)]+…+[f(2017)+f(2018)+…+f(2022)]+f(2023)+f(2024)+f(2025),所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=f(2023)+f(2024)+f(2025)=f(1)+f(2)+f(3)=1+(-1)+(-2)=-2,D正确.故选ABD.12.38-x+2x-15解析令0≤x≤2,则可得-2≤-x≤0.因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x)=3-x-2(-x)+1=3-x+2x+1,又f(x)=f(4-x),所以f(-x)=f(4+x),所以f(x)=f(4+x),所以4为函数f(x)的周期.