2026年广东省广州市部分学校中考二模数学试题及答案

2026年广东广州市部分学校中考二模九年级数学试卷

注意事项：

1.本试卷共8页，25小题，满分120分.考试用时120分钟.

2.答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔

填写自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”.

3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上.

4.非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应

位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写

上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改

液和修正带.不按以上要求作答的答案无效.

5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，

只有一个是正确的.）

1.我国古代数学名著《九章算术》在“方程”一章中首次提出负数的概念.检测4包薯片，其中超

过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是

（）

A.+0.1gB.-0.3gC.+0.2gD.-0.4g

2.如图，是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上

的小正方体的个数，则该几何体的主视图为（）

3.如图，一副直角三角板如图摆放，若Na=55。，则4的度数是（）

初中

A.15°B.25°C.35°D.45°

4.下列各式计算正确的是()

A.^9=3B.V2+V3=V5

C.5a3b-4a3b=lD.(~3ab)2=9a2b2

7

5.将一次函数y=-2x-5的图象向上平移机个单位长度，若平移后的直线不经过第三象限，则加

的值可以为（）

A.1B.2C.3D.4

6.某不等式组的解集在数轴上表示如图，从-2,-1,,3,-3中任选一个数，是该不等式组的整数

解的概率为（）

2

-

113

-B-CD-

244

7.为实现“双碳”目标，某光伏企业优化生产线.优化后/生产线比8生产线每小时多组装30块太

阳能板，且4生产线组装900块太阳能板与8生产线组装600块太阳能板所用时间相同.设优化后

B生产线每小时组装x块太阳能板,则所列方程正确的是()

900600900600

A.---=------B.------=----

xx-30x+30x

x+30x

C.600(x-30)=900xD.------=----

600900

3.如图，将V/8C绕点力顺时针旋转得到△48'。'，若BC1.4C,ZBAB1=43°,则/C的度

数为（）

A.33°B.43°C.47°D.57°

初中

9.如图，A,8是。。上的两点，C为劣弧力B的中点，N力CA=120°,若。4=2,则四边形

的面积为（）

A.QB.2GC.3也D.473

10.已知非负实数x,y满足"+歹一4=0和2x-y+z=0,则下列式子正确的是（）

A.x-z=4B.0<x<lC.5y-3z=8D.z>0

第一部分非选择题（共90分）

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分.）

11.2025年，我国实名登记无人机总数突破328万架，328万用科学记数法表示为.

AE4AF

12.如图，点。，E,b分别在V48C的三边上，若。E〃4C,DF//AB,—=-,则——的

EB3FC

值为.

13.某校为了解学生报名参加社团活动的情况，对2022〜2025年学生参加社团活动的总人数及参加科

技社团的人数的情况统计并作出如下统计图：

参加礼就活动总人数孥加科技社团人数

2

(

)(

x(

6(4

2

(

该校参加科技社团的人数在该生参加社团活动总人数中占比最高的年份是年，其最高占比为

初中

_______%.

14.已知点尸（1,〃2）,0（3,加）都在抛物线>=以2_芯+］上，则力二（用含"的代数式表

示）.

15.我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念.“幻圆”的各圆周

上数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同（各圆周上数字之和与两条直径上的数字之和

不相等），如图是一个关于有理数的三阶幻圆模型，则〃的值为.

16.如图，3。是正方形/8CD的对角线，点E,厂分别是BC,CO边的中点，作点E关于CO

的对称点G,连接OE,AF,CG,DG,4尸交BD于点、P,延长4尸交。G于点。.则下列

结论：①力9=DG；②AF工DE；③BG=2BP；®AP=DQ.其中正确的结论有.（填

三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步

骤.）

17.解方程：2（x+1）=5—3x.

18.如图，在口48CQ中，。为对角线4C的中点，过点0的直线分别交力。，BC于点、E,

F.求证：AE=CF.

x2肛一y

ic-y(:

19.已知P=——X—+x——X~一

初中

<1）化简P；

（2）若点（xj）在函数片x+3的图象上，求P的值.

20.某校引入AI学情分析系统辅助数学教学.为评估效果，航机抽取20名学生，统计使用系统后成

绩提升及知识点掌握度评分，数据统计表如下:

个人成绩提升分组（W分）频数知识点掌握度评分（分）

0<x<5388

5<x<10582

10<x<15m75

15<x<20468

根据以上信息，解答下列问题：

（1）加=,成绩提升的中位数所在分组为;

（2）AI系统评估“有效应用”的标准为平均成绩提升210分，请通过计算判断是否达标（求平均

数取组中间值）：

（3）AI系统提示：知识点掌握度28（）分，但成绩提升W5分的学生可能存在“高原现象”，请针对

该群体提出一条教学干预建议，并说明理由.

21.如图,已知V45c.

（1）尺规作图：V/3c和关于48所在直线对称，请画出（保留作图痕迹，不用

写作法）;

（2）在（1）的条件下，过点B作BE〃4c交AD于点E,若线段和。E的长是方程

V-6x+5=0的两个实数根，求ZC的长.

22.某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图

初中

所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线yi=：x+b,需与一条洋流边界线为二夕(%>0)

ZX

交汇以采集水样.无人机与洋流边界在交汇点力(3,2)相遇.

(1)求无人机航线参数b和洋流边界参数k；

(2)一架无人机在/处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点P投放浮标，求点

P的坐标.

23.当光从介质1射入介质2时，会发生折射现象.物理学中把入射角4与折射角4的正弦之比称

sin0.

为介质2相对介质1的“相对方射率”，即相对折射率〃当外部环境不变时，两种介质的

相对折射率是固定的.如图，在水平放置的容器中有某透明液体，容器底部8点光源发出的一束光

线到达液面C点后，折射光线为C4,入射点为。点，为法线.测得8N=12〃7〃7,液体深度

为16mm,AACM=60°.

(1)求空气相对该液体的相本折射率；(注：入射角，折射角指入射光线，折射光线与法线的夹角,

法线与液面垂直，结果保留根号)

(2)另一束光线BE经该液体折射，折射光线为EO,入射点为七点，PQ为法线,若折射角

NDEP=45。，求CE的长;

(3)若〃<1,当入射角增大到一定程度时，会出现全反射现象，即不再出现折射光线.请利用三角

函数的知识来解释这一现象.

24.已知平面直角坐标系xQy中，抛物线的表达式为歹=〃/+瓜-2

\乙)

(1)证明：该抛物线与X轴一定有两个交点:

初中

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为儿3（点4在点8的左边），与），轴交于点。.点E为x轴下

方抛物线上的一点，且//必=90。.

①若点E的纵坐标为-1,求。的值；

②作点上关于原点的对称点P，过点。作x轴的垂线，交抛物线于点。.求证：P,力，。，4四点共

圆.

25.【阅读材料】德国数学家约翰内斯•米勒在1471年提出了一个有趣的问题：如图①，一根竖直悬

挂的杆力5，在地面（直线Q上的哪个点产能让杆力5看起来最长（也就是N'/尸8最人）.这个最

大视角问题是数学史上100个著名的极值问题之一.利用圆的知识，其实这个问题并不难解决.如图

②，作。。过点48且与直线/相切于点C,当点夕异于点。时，容易证明N4C6>N/尸8,所

以当点。与点。重合时，尸5最大，也就是说，当△尸力3的外接圆与/相切时，//尸8最大.

【解决问题】

（1）请完成材料中NACB>Z.APB的证明;

（2）材料中的最大视角问题，设48=。，点8到直线/的连离为4当/最大时，点尸到

A〃所在直线的距离是多少？（用含a,b的代数式表示）

（3）如图③，E是射线4W上的一点，AB±AM.AB=?6C是ZE的中点.把C8绕点C顺

时针旋转60。得到CQ,连接DE.求当NCOE最大时，力。的长.

初中

2026年广东广州市部分学校中考二模九年级数学试卷

注意事项：

1.本试卷共8页，25小题，满分120分.考试用时120分钟.

2.答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔

填写自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”.

3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上.

4.非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应

位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写

上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改

液和修正带.不按以上要求作答的答案无效.

5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，

只有一个是正确的.）

1.我国古代数学名著《九章算术》在“方程”一章中首次提出负数的概念.检测4包薯片，其中超

过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是

（）

A.+0.1gB,-0.3gC.+0.2gD.-0.4g

【答案】A

【解析】

【分析】根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值，然后比较大小即可.

【详解】V|+0.1|=0.1,|—0.3|=0.3,|+0.2|=0.2,|—0.4|=0.4,而0.1<0.2<0.3<0.4,

・••最接近标准的是+0.1g.

2.如图，是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上

的小正方体的个数，则该几何体的主视图为（）

23

21

初中

【答案】B

【解析】

【分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再判断从正面看得到的图形即可.

【详解】解：:共3歹IJ,从左到右各列最高为2,3,1,

，主视图为B.

3.如图，一副直角三角板如图摆放，若/。=55。，则少的度数是（)

B.25°C.35°D.45°

【答案】C

【解析】

【详解】解：由图形可知，一个三角板的直角顶点落在另一个三角板的边上,

・・.Na+N/=90。，

・•・ZZ7=90o-a=90°-55o=35°.

4.下列各式计算正确的是()

A.圾=3B.72+73=75

C.5a3b-4a3b=lD.(~3ab)2=9a2b2

【答案】D

【解析】

【分析】根据立方根的定义，二次根式的加减运算，合并同类项法则，积的乘方法则逐项计算即可判

所选择.

【详解】•••强开立方开不尽，・・・的工3,故A选项不正确;

血和百不是同类二次根式，不能合并，故B选项不正确;

=口%工1,故C选项不正确;

初中

(-3a/?)2=9a2b2,故D选项正确.

7

5.将一次函数y=-2x-］的图象向上平移机个单位长度，若平移后的直线不经过第三象限，则〃？

的值可以为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新

的解析式，根据>=丘+力图象的不经过第三象限，得到％<0,b>0,进行求解即可.

【详解】解：将一次函数歹=-2x-：的图象向上平移”个单位长度，得到y=-2x-：+〃？，

由题意知一次函数歹二-2X一：+〃?的图象不经过第三象限，

7

*•m—20，

2

、7

2

故〃?的值可以为4,选项D符合条件.

6.某不等式组的解集在数轴上表示如图，从-2,-1,,3,-3中任选一个数，是该不等式组的整数

解的概率为（）

13

-C-

44

【答案】A

【解析】

【详解】解：,••从-2,-1,3,-3中任选一个数，有4种等可能的结果，其中-2,-1是不等式

组的整数解，3,-3不是：

工从-2,-1,3,-3中任选一个数，是该不等式组的整数解的概率为g.

7.为实现“双碳”目标，某光伏企业优化生产线.优化后4生产线比8生产线每小时多组装30块太

初中

阳能板，且“生产线组装900块太阳能板与3生产线组装600块太阳能板所用时间相同.设优化后

B生产线每小时组装x块太阳能板,则所列方程正确的是（）

900600900600

A.---=------B_____=____

xx-30x+30x

x+30x

C.600（x-30）=900xD.=---

600900

【答案】B

【解析】

【分析】设优化后8生产线每小时组装x块太阳能板，则优化后X生产线每小时组装（x+30）块，找

到“力生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同”这一等量关系，分

别表示出两个时间即可列出方程.

【详解】解•：优化后4生产线组装900块太阳能板所用时间为则

x+30

优化后B生产线组装600块太阳能板所用时间为陋，

x

根据题意可列方程为：-^-=—.

x+30x

故选：B.

8.如图，将V48C绕点力顺时针旋转得到△48'C',若B'CUXC,N848'=43。，则/C的度

数为（）

【答案】C

【解析】

【分析】旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角:

旋转前后的图形全等.

【详解】解：由旋转的性质得/。C'=N8/B'=43。，

V5V1AC,

・・・ZC=90°-ACAC=90-43°=47°,

:.ZC=ZC=47°.

9.如图，A,。是O。上的两点，。为劣弧前的中点，ZACB=\20°,若04=2,则四边形

初中

CUC4的面积为（

A.百B.2百C.3也D.4G

【答案】B

【解析】

【分析】连接OC,4B交于点D,根据弦、弧、圆心角的关系得出△力。。和力。。为等边三角

形，进而得出四边形是菱形，根据菱形的性质，结合勾股定理分别求出0C、48的长，利用

菱形的面积公式即可求解.

【详解】解.：如图，连接OC,43交于点。，

VC为劣弧前的中点，

AC=BC,

•・,0A=0B,

・・・OC垂直平分力8,AD=BD,

•・,ZACB=\20°,

・•・4CO=N3CO=60。，

OA=0C=OB,

・•・△XOC和aAOC为等边三角形，

・•・40C=N80C=60°,OA=OB=BC=AC,

・•・四边形G1C8是菱形，

VOA=2,

初中

・•・OC=OA=2,

：,OD=-OC=\,

2

•*,AD=OA2—0D~~V22-12=VJ»

・•・AB=2AD=2G，

,•鼠边形0/C8=3•OC=—x2也x2=25/3•

10.已知非负实数X,y满足”+>-4=0和2x—y+z=0,则下列式子正确的是（）

A.x-z=4B.0<x<lC.5y-3z=8D.z>0

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意将3xly4=0和2工ylz=。变形即可求解.

【详解】解：・・・3x+y-4=0,

，y=4-3x,

Vx,y为非负实数，

4

.\^=4-3x>0,解得x《一，

3

4

；•0<x<—，

3

已知2x-y+z=0,

将y=4-3x代入，得2x-（4-3x）+z=0,

化简，得z=4-5x.

逐一验证选项：

4

选项A,x-z=4,把z=4-5x代入，得不一（4一5x）=6/-4=4,解得工=§,

并非对所有满足条件的x都成立，因此A错误；

选项B,0<x<l,

4

0<x<-,

3

・•・选项B错误；

初中

选项C,5y-3z=8,

把y=4-3x,z=4-5x代入左边，

得5（4-3x）-3（4-5x）=20-15x-12+15x=8,

与右边相等，因此C正确；

选项D,z>0,当x=l时、z=4-5xl=-l<0,因此D错误.

笫二部分非选择题（共90分）

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分.）

11.2025年，我国实名登记无人机总数突破328万架，328万用科学记数法表示为.

【答案】3.28xlO6

【解析】

【分析】先将328万化为整数，再根据科学记数法的表示形式为c/xlO",其中1<H<10^〃为正

整数.

【详解】解：328万=3280000=3.28xl06.

4E4AF

12.如图，点。，E,产分别在V48C的三边上，若。E〃/C,DF//AB、—二一，则一的

EB3FC

值为______

【解析】

【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定埋、找准对应关系是解题的关键.

AT4

【详解】VDE\\AC—

fEB3

AECD4

••—―,

EBBD3

•・•DF||AB,

初中

•顾_BD_3

^~FC~~DC~4'

13.某校为了解学生报名参加社团活动的情况,对2022〜2025年学生参加社团活动的总人数及参加科

技社团的人数的情况统计并作出如下统计图：

参加社汁活动总人数参加科技社困人数

该校参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数中占比最高的年份是年，其最高占比为

%.

【答案】®.2023②.30

【解析】

【分析】首先从两个条形统计图中，分别提取2022〜2025年每一年对应的参加社团活动总人数和参

当年科技社团人数

加科技社团的人数.依据占比的计算公式：占比二xlOO%,逐一计算每年

当年参加社团总人数

科技社团人数的占比.对•计算得到的四个年份的占比进行大小比较，确定占比最高的年份和对应的最

高占比数值.

20

【详解】・・・2022年参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数的占比为砺x100%=10%,

2023年参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数的占比为器x100%=30%,

2024年参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数的占比为名xl00%=21%,

300

2025年参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数的占比为强xl()()%=24%.

500

・•・占比最高的年份是2023年，其最高占比为30%.

14.己知点月(1,〃2),。(3,〃?)都在抛物线〉二〃/一区+i上，则=(用含a的代数式表

示).

【答案】4a

初中

【解析】

【分析】根据点的坐标得出两点关于对称轴对称，然后根据对称轴的公式列出关系式.

【详解】解：•・•点P和点Q的纵坐标都是小，且两点都在抛物线y=—版+［上，

・•・点尸和点0关于该抛物线的对称轴对称.

-bb

•・•抛物线的对称轴为直线x==—,

2a2a

h1+3c

A——=——=2,

2a2

:.b=4。.

15.我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念.“幻圆”的各圆周

上数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同(各圆周上数字之和与两条直径上的数字之和

不相等)，如图是一个关于有理数的三阶幻圆模型，则。+6的值为.

【解析】

【分析】根据“幻圆”的各圆周上数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同，列出方程求

解即可.本题考查了有理数的加法，读懂题意，能列出方程组即可.

【详解】解：•••“幻圆”的各圆周上数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同，

a+(-6)+b+8=3+(-8)+7+(-4),

a+h=-4,

故答案为：-4.

16.如图，8。是正方形45。。的对角线，点E,尸分别是8C,CO边的中点，作点E关于CO

的对称点G,连接OE,AF,CG,DG,AF交BD于点、P,延长力口交。G于点。.则下列

结论：①力尸=QG；②AF工比;③BG=2BP；®AP=DQ.其中正确的结论有.(填

写所有正确结论的序号)

初中

【答案】①②®

【解析】

【分析】根据正方形的性质可证。/二CE,可以证明△/QFg^QCE(S4S),根据全等三角形的性

质可证力/二。七，根据对称的性质可证4尸=OE=Z?G；根据△//)尸且△OC£可得

ZAFD=ZDEC,从而可证/。"”=90。，可得4FJ.OE：根据正方形的性质可证

2

△DPFs^BPA,根据相似三角形的性质可证8尸二—8。，根据正方形的性质可以求出

3

BD=6AB，因为点七，G关于CQ对称，可得上，C,G三点共线，根据点£是8C的中点，

可以求出86=述8人连接。尸，可证尸(SAS),根据全等三角形的性质可知

DQ=PC,根据对•称性质可知/尸=。。.

【详解】解：..•四边形力4CQ是正方形，

：.AD=CD=BC,ZADF=ZDCE=90°,

,・♦点、E,少分别是4C,CQ边的中点，

?.DF=CE,

:."DF知DCE(S4S),

AF=DE,

•••点E,G关于CO对称，

DE=DG,

..AF=DG,

故①正确；

如下图所示，记4厂交OE于点〃，

由①知△/。/名△。。七，

:.NAFD=NDEC,

•・•ZCDE+/.DEC=180°-ZDCE=90°,

/AFD+/CDE=9()D,

初中

/./DHF=90°,

AFA.DE,

•••四边形力3CO是正方形,

:.DF\\ABt

:"FDP=/ABP,/DFP=/BAP,

:ADPFS^BPA,

.DFDP

\4B~TB~2,

BP=-BD,

3

•.•4。是正方形的对角线，

BD=4iAB，

BPqx&ABAB，

33

♦・♦点、E,G关于。对称，

ZDCE=ZDCG=90°,CE=CG,

/.£,C,G三点共线，

...点E是8。的中点，

BE=EC=CG,

33

BG=-BC=-AB,

22

BP472

----=------，

BG9

9V2

BG=—BP^

8

故③错误；

如卜图所示，连接CP,

初中

•••四边形是正方形，

AD=CD,/ADP=ZCDP,

又DP=DP,

尸丝△COP(SAS),

AP=CP,ADAP=ZDCP,

由①知AADF学ADCE,

ZDAF=NCDE,

♦・♦点、E,G关于。。对称，

4CDE=Z.CDG,

:"CDG=ZDAF=4DCP,

又•；DE=CF,ZDFQ=ZCFP,

.-.△DF^ACFP(ASA),

/.DQ=PC,

ADQ=APt故④正确；

综上所述，正确的结论序号为①@④.

三、解答题(本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步

骤.)

17.解方程：2(x+l)=5—3x.

3

【答案】x=-

【解析】

【分析】根据一元一次方程的解法，先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1,进而求出方程

的解.

【详解】解：去括号，得2x+2=5-3x,

移项，得2x+3x=5-2,

初中

合并同类项，得5x=3,

3

系数化为1,得l二三.

18.如图，在口力8co中，。为对角线力。的中点，过点0的直线分别交BC于点、E,

F.求证：AE=CF,

【答案】见解析

【解析】

【分析】先根据平行四边形的性质得到力O〃8C,。为对角线4C的中点，进而证明

△JEO^ACF(9(AAS),得到力E=Cb.

【详解】证明：•・•四边形N8C。是平行四边形，

・•・AD〃BC,

・・・ZDA0=4BC0,ZAE0=乙CF0,

•・・o为对角线力。的中点，

**.0A=0C,

・••在△4E。和△CFO中，

ZAE0=ZCF0

</EAO=/FC0,

0A=0C

.・・^AEOg△WO(AAS),

:.AE=CF.

…门x~y(2肛一歹2、

19.己知?=——-4-X------....-.

XIX)

(1)化简P；

(2)若点(x,y)在函数V=x+3的图象上，求夕的值.

【答案】(1)—

工一〉

初中

【解析】

【分析】3)根据分式运算，化简求解即可得出答案；

(2)根据y=x+3可得x-y=-3,然后代入化简后的式子即可求出P.

【小问1详解】

八X-y(2xy一/、

解：P=---x一一

xIxJ

«%,

—x-y-7»x~-2xy+y~

XX

x-yx

X(x7)2

1

x-y

【小问2详解】

•・•点(xj)在函数产/3的图象上,

x-^=-3,

2().某校引入AI学情分析系统辅助数学教学.为评估效果，随机抽取20名学生，统计使用系统后成

绩提升及知识点掌握度评分，数据统计表如下：

个人成绩提升分组(X/分)频数知识点掌握度评分(分)

0<x<5388

5<x<10582

10<x<15in75

15<x<20468

根据以上信息，解答下列问题:

(1)m=,成绩提升的中位数所在分组为

初中

（2）AI系统评估“有效应用”的标准为平均成绩提升\1（）分，请通过计算判断是否达标（求平均

数取组中间值）；

（3）AI系统提示：知识点掌握度280分，但成绩提升《5分的学生可能存在“高原现象”，请针对

该群体提出一条教学干预建议，并说明理由.

【答案】（1）8,10<xW15；

（2）达标；见解析（3）建议为该群体提供进阶挑战性任务或拓展性学习资源；见解析

【解析】

【分析】本题考查了频数分布表、中位数的定义、加权平均数的计算以及基于数据的教学干预建议，

熟练运用统计量的计算方法并结合实际情境分析数据是解答本题的关键.

（1）利用频数之和等于总人数求出加的值，再根据中位数的定义确定中位数所在的分组：

（2）利用加权平均数的计算公式（取每组的组中值计算）求出平均成绩提升值，与10分匕较判断是

否达标；

（3）结合“高原现象”的定义，分析对应群体的特点，提出合理的教学干预建议并说明理由.

【小问1详解】

解：•.•一共有20名学生，

/.=20—3—5—4=8,

总人数为20,中位数是第10和第11个数据的平均值，

•••前两组的累计频数为3+5=8,前三组的累计频数为3+5+8=16,

二•成绩提升的中位数所在分组为10<x<15；

【小问2详解】

解：••,（3x2.5+5x7.5+8x12.5+4x17.5）+20=10.75（分）>10分，

达标；

【小问3详解】

解：建议为该群体提供进阶挑战性任务或拓展性学习资源.（答案不唯一，合理即可）

理由：该群体知识点掌握度已达88分（较高水平），说明基础知识扎实，但成绩提升仅

分，表明可能处于“高原期”一一基础题己熟练但缺乏突破瓶颈的动力或难度适配的练习.通过提供

更高阶的思维训练或变式问题，帮助其突破舒适区，实现成绩进一步提升.

21.如图,已知V45c.

初中

I

（l）尺规作图：V力和△N8Q关于力B所在直线对称，请画出△45。（保留作图痕迹，不用

写作法）；

（2）在（1）的条件下，过点B作BE〃4c交力D于点、E,若线段BE和QE的长是方程

/一61+5=0的两个实数根，求为C的长.

【答案】（1）见解析（2）AC=6.

【解析】

【分析】（1）以点8为圆心，为半径作弧，再以点4为圆心，4C为半径作弧，两弧交于点

连接力。即可;

（2）过点8作8£〃4c交力。于点E,可得NEBA=/B4E，根据线段8E和OE的长是方程

Y-6x+5=0的两个实数根，则8E+OE=6,即可求解.

【小问1详解】

解：画出△48。如解图所示;

【小问2详解】

解：如图，过点、B作BE〃AC交4D千点E,

'：/EBA=ZBAC,

•:YABC和AABD关于AB所在直线对称,

/.ABAE=ABAC,AC=AD,

初中

**•Z.EBA=Z.BAE,

ABE=AE,

•・•线段BE和DE的长是方程工2-6X+5=0的两个实数根，

BE+DE=6,

AD—AE+DE—BE+DE—6,

/.AC=AD=6.

22.某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为歹轴建立如图

IL

所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线y=]x+b,需与一-条洋流边界线8=1（工>0）

交汇以采集水样.无人机与洋流边界在交汇点力（3,2）相遇.

（1）求无人机航线参数人和洋流边界参数匕

（2）一架无人机在力处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点Q投放浮标，求点

P的坐标.

【答案】（I）b=Lk=6

2

（2）尸（2,3）

【解析】

【分析】（1）将力（3,2）分别代入％=gx+b和必=>0）求解即可：

（2）过点P,力分别作戈轴，y轴的垂线，两垂线交于点4,连接ZP,则△4P8为等腰直角三角形,

（616

PB=AB,设0凡一，则3-。二一一2,解方程即可.

ka）a

【小问1详解】

解：将力（3,2）分别代入y,=1x+b和y2=-（x>0）,

幺X

得2=,x3+/）,2=-,

23

初中

解得b=—,k=6；

2

【小问2详解】

解：如图，过点P,4分别作不轴，y轴的垂线，两垂线交于点8,连接力尸，则NP44=90。，

••••架无人机在力处采集水样后，转向沿西北方向航行,

.­.ZPJ5=90°-45o=45°,

・•・△/PB为等腰直角三角形,

/.PB-AB»

6

a

：•a2-5〃+6=0，

解得q=2,%=3（舍去）,

a=2,

••.P（2,3）.

23.当光从介质1射入介质2时，会发生折射现象.物理学中把入射角4与折射角4的正弦之比称

sin4

为介质2相对介质I的“相对天射率”，即相对折射率〃二市•当外部环境不变时’两种介质的

相对折射率是固定的.如图，在水平放置的容器中有某透明液体，容器底部8