直角三角形 培优作业-2025-2026学年鲁教版七年级数学下册

第11章三角形的证明及其应用

4直角三角形

第1课时勾股定理与互逆命题

夯基础

1.三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（）

A.三个内角度数之比为3：4：5

B.三边之比为5:12:13

C.一个内角等于另外两个内角之差

D.三边长分别为8,2，夕

2.已知下列命题:①若a>b.则Q2>b2②若a>l,则（（Q-1）°=1③两个全等的三角形的面

积相等.其中原命题与逆命题均为真命题的有（）

A.0个B.3个C.2个D.1个

3.如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是

由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将

这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为（）

A.24B.36C.40D.44

4.己知，如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此K方形折叠，使点B与点D重合，折痕

为EF,则4ABE的面积为（）

AED

D.12cm2

5.我们已经学习了一些定理，例如:

①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

②全等三角形的对应角相等

③三组对应边相等的两个三角形全等

④等腰三角形的两个底角相等

上述定理中存在逆定理的是（填序号）.

6.如图所示摆放的5个正方形，面积分别为SE],$□上□，□,S□，其中Si=lfS2=2,S3=3,则

第6卷图

7.如图，网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，以A为圆心,AB为半径

画弧，交最上方的网格线于点D,则CD的长为

8.如图，已知ZSABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则AABC的周长为—，面积为—

9.如图，正方体的棱长为3cm,已知点B与点C间的距离为1cm,一只蚂蚊沿着正方体的

表面从点A爬到点C,需要爬行的最短距离为—./一：

.如图，学校有一块三角形空地计划将这块三角形空地分割成四边形

10ABC,ZA-+-

Iz/1/X

1------VB

ABDE和三角形EDC,分别摆放两种不同的花卉.经测量，ZEDC=9O°,DC=15,第9题图

DE=20,DB=35,AB=40,AE=5,求四边形ABDE的面积(单位:米).

DC

第10题图

11.如图，为让居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A,B,且A,B均位于地

下管道AC的同侧，售卖见A,B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为

300米，MN1AB于点N,M到AB的距离为240米，假设所有管道的材质相同.

(I)求B,N之间的距离；

(2)珍珍认为：从管道AC上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，BM是这些分叉管

道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确.

第11题困

练能力

12.如图，己知四边形ABCD•P,AB||CD,BC=AD=4,AB=CD=10,zDCB=90°,E为CD边上的■

点,DE=7,动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边AB向终点B运动，连接

PE,BE,设点P运动的时间为t秒.

⑴求BE的长；

（2）若4BPE为直角三角形，求t的值.

第12题图

13.【知识感知】如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形:

第13期图

【性质探究】（1）如图1,垂美四边形ABCD的两对角线交于点0,试探究AB,CD,BC,

AD之间有怎样的数最关系?写出你的猜想，并给出证明；

【性质应用】（2）如图2,分别以RtAACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG

和正方形ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=8,AB=10,求GE长.

第2课时“HL”定理

夯基础

1.用三角尺可以画角平分线.如图所示，在已知乙AOB的两边上分别取点M,N,使OM=ON,再

过点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P,那么射线OP就是匕AOB的

平分线.小明发现说明此画法的合理性时需要证明aPOM与APON全等，其依据是()

A.SASB.SSSC.AASD.HL

第1题图第2题图

2.如图所示,已知在AABC中/C=9(r,AD=AC,DElAB交AB于点D,若NB=28。,则NAEC=

()

A.28°B.59°C.60°D.62°

3.如图，在aABC和ADFE中/A=4D=90O,AC=DE,若要用"斜边、直角边(HL)”直接证明

RsABCwRtZkDFE,则还需补充条件:.

4.如图，在AABC和ADBC中/A=/D=90°,BC=13,AC=CD=12,则点A,D距离是,

第4题曲第5题图

5.如图，四边形ABCD中,AB=AC,BF1AC交AC于点E,AD1CD/ABE=NACD.若

BF=11,CD=8,则CE的长为—.

6.如图,△ABC与aEFG中,AB=EF,BC=FG,AD_LBC于点D,EH_LFG于点H,且AD=EH.求

证:AC=EG.

7.如图，已知AB=CD,DE1AC于点E,BF1AC于点F,且AE=CF,连接BD交EF于点M.

(1)求证:DE=BF;

⑵若DE=2,BD=6,求EF的长.

练能力

8.如图，在4ABC中/ABC=90。,分别以AB,AC为边作等边AABD和等边ZiACE,连接DE,若

AB=6,AC=10,MED=，若延长线段ED交BC于点F,则CF=.

第8题图

第1课时勾股定理与互逆命题

1.A2.A3.D4.C5.①③④6.8

7.3-V58.48849.5cm

10.解:•・•/EDC=90°,DC=15,DE=20,

CE=>JCD2+DE2=V152+202=25,

.-.AC=AE+CE=30.

vBC=BD+CD=35+15=50,AB=40,

AB2+AC2=2500=BC2,

••.△ABC是直角三角形，且ZA=9O。，

S四边形ABDB-S&ABC-S&CDE=豺8AC-^DC-DE=1x40x30-^x15x20=600-

150=450(平方米)，

答：四边形ABDE的面积为450平方米.

11.解:(1)・；MN1AB,

.-.ZBNM=9O°.

在RtABMN中.BM=300m,MN=240m,由勾股定理得BN=->/BM2-MN2=180m,

即B,N之间的距离为180米；

⑵珍珍的观点正确，理由如下：

由(1)得BN=180m,

.-.AN=AB-BN=500-l80=320(m).

在RSAMN中，

由勾股定理得AM=JAN?+MN?=400m.

vAM2=160000,BM2=90000,AB2=250000,

AB2=AM2+BM2,

•••乙4MB=90"即BM1AM,

・•.BM是垂线段,

，BM是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确.

12>:(l)vCD=)0,DE=7,

/.CE=10-7=3,

在RtACBE中,BE=VfiC2+CE2=5;

(2)当NBPE=90。时,AP=10-3=7,贝ijt=7+I=7(秒)，

当NBEP=90。时,BE2+PE2=BP2,

即52+42+(7-t)2=(10一£)2,

解得

综上所述，当t=7或:时分BPE为直角三角形.

13.解：WAD2+BC2=AB2+CZ)2,证明:...ACJ_BD,

••.NAOD=±AOB=4BOC=NCOD=90。,由勾股定理，得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2-

CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

•••AD2+BC2=AB2+CD2',

(2)如图，连接BE,CG,设AB与CE交于点M,

vzCAG=zBAE=90°,

••ZCAG+4BAC=4BAE+4BAC,即乙GAB=4CAE,

在AGAB和ACAE中，

AG=AC,

{/.GAB=Z.CAE,

AB=AE,

.-.△GAB=ACAE(SAS),

•••ZABG=ZAEC.

VZAEC+ZAME=9O°,

.•ZABG+NBMC=9O。,即CE1BG,

••・四边形CGEB是垂美四边形，

ACG2+BE2=CB2+GE2.

vAB=10,AC=8,BC2=AB2-AC2=36,CG2=AC2+AG2=128,BE2=AB2+

AE2=200,

•••GE2=128+200-36=292,

则GE=V292.

第2课时“HL”定理

LD2.B3.BC=FE(或BE=CF)

120,.4

石54

6.证明:♦••ADJ_DC于点D,E【I_LFG于点H,「/ADB=4EnF=90。，

在RtAABD和RtAEFH中，

AB=EF,

“0=EH,

•••RSABD三RsEFH(HL),

•••4B=4F,

在aABC和AEFG中，

AB=EF,

{NB=(F,

BC=FG,

.•.△ABC三△EFG(SAS),，AC=EG.

7.解:⑴证明:•••AE=CF,

••.AE+EF=CF+FE,即AF=CE,在RsABF和RtACDE中，

fAB=CD,

[AF=CE,

.-.△ABF=ACDE(HL),

••.DE=BF;

(2)-.DEIAC,BFIAC,

.-.^BFM=zDEM=90°,

在△BMF和aDME中,

Z-BMF=Z-DME,

｛LBFM=乙DEM=90°,

BF=DE,

.-.△BMF^ADME(AAS),

•••MB=MD,ME=MF,

DM=：RD=3,EF=2EM,

EM=y/DM2-DE2=V32-22=V5.

:.EF=2EM=25/5.

8.88-V12

解析：如图