高中数学必修第2册期中测试卷（解析版）

期中测试卷

姓名：考号：分数：

(考试时间：120分钟满分：节。分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

I.己知向量〃=(1,2x),B=(0,2),则竽的最大值为()

a

A.2>/2B.2C.V2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意可得J=分xWO和x>0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.

a4厂十1

【详解】

解：由向量。=(1,2])，/?=(0,2),

当xK()时，一？—0»

a

-a-b-=--4-.-v-=---4--,<-4-,—=,I

当4>0时，74/+14旧2卜.「'

当且仅当4x=,，即x时，取等号，

XZ

综上4g的最大值为1.

故选：D.

2.已知在△ABC中，a、b、。分别为角A、B、C的对边，则根据条件解三角形时恰有一

解的一组条件是()

A.a=3,Z?=4,A=gB.a=4,b=3,A=—

63

2〃

C.a=\,b=2,A=—D.a=2,0=3,A=—

43

【答案】B

【解析】

【分析】

利用正弦定理求出sinB的值，结合大边对大角定理可判断各选项.

【详解】

对于A选项，由正弦定理可得inA_4x±_2且人“，故△48C有两解；

a33

2&L

对丁B选项，由正弦定理可得.AsinAx23&,且入va,故aABC只有

sinB=-----=-----=---<sinA

a48

一解：

2XV2

对于C选项，由正弦定理可得.„bsinAn1，故△A8C无解；

sinB=------=-----=v2>1

a1

对于D选项，因为A=?，则角A为△AfiC的最大内角，且avb,故无解.

故选:B.

3.△A5C中，AB=26，AC=5,过点A作边3C的垂线:垂足为〃，若A〃=4,则4分.K=

()

A.10B.12C.-10D.-12

【答案】A

【解析】

【分析】

以“为原点，建立平面直角坐标系，分别求出A8,C三点的坐标，从而可得而，正的坐标,

再根据数量积的坐标表示即可得解.

【详解】

解：以〃为原点，建立平面直角坐标系，可知4(0,4),由：

HB=>1AB2-AH1=2»HC=\lAC2-AH2=3-

所以8(—2,0),C(3,O),又4(0,4),故池=(—2,-4),AC=(3,-4),

所以八月前=-6+16=10.

故选:A.

)

A.实轴上B.虚轴上C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分^5】

利用复数的乘法及除法运算可得三m=-2i,即得.

z

【详解】

;复数z=l+i,

.zz-2i_(l+i)(l-i)-2i_2-2i_2(l-i)2_

••一==~7"?r=-21,

z1+i1+i(l+i)(l-i)

工在复平面内表示复数三二的点位于虚轴上.

z

故选：B.

5.军的共规复数为()

1+21

【答案】C

【解析】

【分析】

先用复数除法公式求出涪=士之，进而求出目的共挽复数.

1+2151+21

【详解】

2-5i(2-5i)(l-2i)2-4i-5i-10-8-9i皿2-5i)"十…”“89.

.~~衣~7~一；一，则~——的共规复数为一彳+：.

1+21(1+21)(1-21)551+2155

故选：C

6.三棱锥P-/WC的底面48C是边长为3的正三角形，E4=3,P8=4,PC=5,则三棱锥

P-A8C的体积等于()

A.>/nB.2X/F7c.—\/HD.—VTI

【答案】A

【解析】

【分析】

将三棱锥尸-A3C翻转为A-BC尸,确定顶点A在底面PBC的射影为△P3C斜边PC的中点,

利用勾股定理求出4”，然后由三棱锥的体积公式即可求解.

【详解】

解：将三棱锥尸-A8C翻转一下，如图所示，

因为8C=3,P8=4,PC=5,所以8c2+依2=八72,所以△国。为直角三角形,

由斜线长八代AC,人及相等，则射影长相等，可得点A在平面P8C内的射影〃为直角三角形

P8C的外心，

所以〃为直角△依C斜边CP的中点，且Ah_L平面P8C,则A"为三棱锥的高，

由勾股定理可得AH=百一争=浮，

所以三棱锥P-ABC的体积匕>_树=匕-形=^5次「，AH=gx/x3x4x=VTT.

故选：A.

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

2

21

正视图恻视图

a

俯视图

421

A.-7iB.nC.-7TD.-n

333

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三视图还原几何体的结构，由此计算出几何体的体枳.

【详解】

由三视图可知，该几何体是由半个I员I柱，挖掉半个圆锥所得，如图，

所以几何体的体积为:兀x/x2X：7TX/X2=?.

44JJ

故选：C.

8.如图，矩形ABC。是圆柱的轴截面，若E,产分别为A3与线段8c的中点，圆柱的母线

为4,侧面积为8房,则异面直线即与AC所成角的余弦值为（)

9x/30

A.-r

36D・i

【答案】C

【解析】

【分析】

如图，取48的中点。，连接。£。尸，则可得NO总是异面直线£7：与AC所成角，然后在

△。庄中求解

【详解】

如图，取A8的中点0,连接。旦。尸，

因为尸是4C的中点，

所以OP//AC,

所以NO正是异面直线EF与AC所成角，

因为圆柱的母线为4,侧面积为8万，

所以4x乃•A8=8/r,所以A4=2,

所以。尸=而否萨=«^=石，

因为4c垂直于底面，0E在底面内，所以4C_LO£,

因为石为AB的中点，所以OEJ•人4，

因为8nBe=8,所以OE_L平面ABCO,

因为OFu平面A8CD,所以O/_LOE,

所以EFZOE;OF?=4^=瓜

所以85/。左="=岑=叵，

EF766

所以异面直线EF与AC所成角的余弦值为邈,

6

二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，部分选对得3分，有选错得。分，共20分)

9.已知平面向量1=(1.2),/；=(-2,-1),则下列命题中正确的有()

血

A.a>bB.k+4=

C.aLbD.cos(a,〃)=——

5

【答案】BD

【解析】

【分析】

由向量的定义判断A,由碳的坐标表示求出模判断B,根据垂直的坐标表示判断C,由数量

枳求得向量的夹角余弦判断D.

【详解】

对于A,由于向量不能比较大小，故A错误；

对于B,+6=Ap+S|=7(-l)2+l2=>/2,故B正确；

对于C,•••"B=lx(—2)+2x(—l)=-4。。，不成立，故C错误；

ab1x(—2)+2x(-1)4

R=雨=一逐—―二一丁故口正确•

故选：BD.

10.关于复数z=-(i为虚数单位)，下列说法正确的是()

22

A.|z|=1B.z+z2=-1C.r?=-1D.(z+l)3=i

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据复数模的计算公式求得复数的模，可判断A;根据复数的乘方运算可判断B,C,D.

【详解】

由复数z=—g+^i,可得|z|=J(—g)2+(¥)2=l,故A正确：

z+z、」+正i+（」+争T+孚-岩i=「故B正确:

222

Z=（十争）（手亭）*）2—（争产=1,

故C情误;

(Z+l)3=(Z+l)2(Z+l)=(g+*i)2(；+李i)=(-g+乎i)g+与=-1,故D错误，

\/

故选：AB.

11.如图，在直四棱柱人8。力-人蜴如。中，底面A3c。是正方形，AB=\,M=g，若

>4P=AAG2G[()J],贝lj()

A.当时，RPLAGB.四棱锥尸-8BCC体积的最大值为6

C.当平面截直四棱柱所得截面面积为?15时元=33D.四面体

84

4G。。的体积为定值

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据给定条件逐一分析各个选项，再推理、计算并判断作答.

【详解】

在直四棱柱ABC。一AjBCA中，底面48CD是正方形，AB=\.人4=石，

对于A,当％=；时，点尸为线段4C中点，连。P,AG，如图，

DPIAC,而。。，平面A8CD,ACu平面ABC。，则AC_L。2,又DD、cDP=D,

DD「DPu平面DRP,

则有AC_L平面。力/，而O/u平面DRP,于是得。/1AC,又对角面ACGA是矩形，

即AC/M1G,所以〃P_LAG，A正确；

依题意，平面BCC4,而点P在ACI-.,则点尸到平面8CC4距离的最大值为加=1,

而矩形BCGe面积为BCBBI=6,所以四棱锥尸体积的最大值为亭，B不正确;

对于C,当义二：时，点P在AC上靠近点C的四等分点，平面尸与口截直四棱柱

4

48C。-44Goi所得截面为等腰梯形4RE?，如图，

私然EFHB\D\HBD,则E产=380=字，与尸=8乃?+8F?=(6尸+二?,

等腰梯形4AE厂的高仁也产（B\D「EF）2

等腰梯形BQIEF的面积3=EF+BR.4=述、逑=生，

2448

isI3

由几何体的对称性知，当平面，42截直四楂柱所得截面面积为?时，％=:或义=7.c

844

因AC〃平面AG。，则点尸到平面ACQ的距离等于点A到平面AG。的距离,为定值,乂

△AG。的面枳为定值，

所以四面体AGOP的体积为定值，D正确.

故选：AD

【点睛】

方法点睛：作多面体截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法,

截面与几何体的两个平行平面相交，

或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个

点在几何体的同一平面上.

12.已知〃?，〃是两条不同的直线，。，夕，7是三个不同的平面.下列说法中正确的是

()

A.若〃mu。，a(\p=n,则6〃〃

B.若，〃〃〃，tn//a>则nIIa

C.若ac0=n,aly,,则

D.若〃?_La,m上R,a〃y,则尸〃7

【答案】ACD

【解析】

【分析】

对A,由线面平行的性质可判断正确；对B,可能存在〃ua,对C,由面面垂直的性质可

判断正确；对D,由垂直和平行的性质可判断正确.

【详解】

对A,由线面平行的性质可知，直线平行于已知平面，则直线平行于过该直线的平面与己知

平面的交线，故A正确；

对B,当〃ua,不满足命题，故B错误；

对C,如图所示，Puy,作PMiOM、PN工ON,

因为a_Ly,pVy,aC\y=OM^r\r=ON,所以/W_L°,PN_L£,

又因为〃c/?=〃，所以〃例因为PMcPN=P,所以〃_Ly,故C正确：

X'JD,因为m_La,triA.p,所以“〃又a〃7,则［〃7,故D正确.

故选：ACD

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知菱形A8c。的边长为2,E是8C的中点，则荏.雨=.

【答案】-3

【解析】

【分析】

利用平面向晟的线性运算，将其上质转化为进而求得答案.

【详解】

依题意=ED=EC+CD=-BC+BA=-AB+-AD因为菱形

2222t

22

A3CO的边长为2.所以4方=-AB=-X22-22=-3.

44

故答案为：-3.

14.已知平面向量ZB的夹角为?，满足口+4=1.平面向量之•在上的投影之和为2,则

r1rir

c_6的最小值是

4J

［答案］4、-二

6

【解析】

【分析】

设向量Z,坂的单位方向向量，用所设的单位向量作为基底，表示出已知条件，进而表示出

r1rir

c--a--b,继而求得答案.

【详解】

设与£方向相同的单位向量是"，且3=241,4>0，

设与否方向相同的单位向量是工，且5=34匕4>0,

XC=/Z1M+XZ2V.注意到<〃/>=?.

1=口+邛=（24£+34］=>4#+9#+6/4=1,

4

2=C-M+C-V=<?•(«+vj=+vj=M+〃2=3,

v|c-1a-拘=|(M+42万)-人/-入2训=13-A1)U+伽2-入2)讣

442+9#+644-1=0

4

・・・伊+〃2_§=0

=」(〃|-4)~+(〃2一否)2+(4-4)(〃2一4)

设丁=(4-4)+(外-4)+(必一4)(4一小)+4(4年+9/+644-1)+4(M+〃2-g

,内=2QI—入1)+3-a2)+匹=o(1)

[九2=23—入2)+3-入1)+^2=0(2)

4=-2(A|)-(^2-Aj)+^1(8A+6/?2)=0⑶

y\=-23-4)-(4-为+①(184+64)=0(4)

442+9后+644=1(5)

4+〃2=§⑹

(1)与(2)联立得：〃[-4=〃2-4(7)

(3)与(4)联立得:4=64⑻

将⑻代入⑸中得:

_5+4何_4X/2T-5

-42二入1一入2二与(6)联立得:

2VF89，//2-2x/189

对应广整包,-1-1J45/3-5/7

c——a——b\=------------

23I6

故答案为：4

15.已知兔数〈人满足㈤=3,同=1,若4和人的幅角之差为A，则

【答案】典

13

【解^5]

【分析】

分别设马=3(cosq+isin，J,z2=cos6>2+isin^,,可得'=3[cos(4-a)+isin(a-2)]，

由题意可得a-a=弓或a-a=-g,即可得且，再代入计算即可

3322ZE

求解.

【详解】

因为团=3,优|=1,设4=3(cos〃]+isin〃J,z2=cos6^2-isin6^2,

43(cosq+isin〃J3(cos^1+isin^)(cos^2-isin0>)

所以z2cos02+isin^2(cos+isin^2)(cos02-isin^2)

3[cos8]cos%+sin^sin^:+i(sin^cos^2-cos^sin^2)]

cos2a+sin2a

=3[cos(q-q)+isin(a-幻]

4—2

Z1+Z2

由题意可知a-4=5或a一名=一方，

xizcc九nI-Z[CIt・•713315/3.

时，_=3^-+^-^=-+—1,

综卜.所述:

Zi+z213

故答案为：回.

13

16.如图，矩形。A9C'是平面图形OMC斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为8,

则平面图形OABC的面积为.

【解析】

【分析】

根据直观图形和原图形面积之间的比例关系求解即可.

【详解】

根据直观图与原图的面积比值为定值正，可得平面图形。"。的面枳为Q=16立

4T

故答案为：16&.

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

17.已知△/"(?的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,向量4=(G〃)，

.{cosC-^,sin/lj,且,区.

⑴求角C;

(2)若ccosB+〃cosC=I,且A=[,求8c面积S.

4

【答案】(呜

⑵

8

【解析】

【分析】

(1)利用]||不及正弦定理得到sinC=75cosC,直接求出角C；

(2)先由余弦定理求出。=1,再由正弦定理求得。=坐，直接利用三角形的面积公式即可

2

求解.

(1)

，(、\

因为向量弓二(c,4)，4=COSC--,sinA,且力伍.

\I。/

所以，csinA=acos不

6

由正弦定理得：sinCsinA=sinAcos^C--^1,

VsinA0,sinC=cos!C--cosC+-sinC,

I62

sinC=>/3cosC>tarC=V5»

V()<C<^,:.c=~.

3

(2)

2:2222

D.「a+c-b.a+b-c..1

ccosB+/7cosC-c----------+b-----------=1»••«=!,

Iciclab

c_兀.冗n57r

又C=TA="得人可

R

.4.乃得c

由正弦定理;sin—sin—

432

,1,.5乃.7171.7171力■.乃>/6+N/2

由sin——=sin—+—=sin—cos—4-cos—sin—=

12146J4646~1~

所以S=Ocsimklx®旦=源.

22248

18.已知在AABC1中,角A,己C所对的边分别为a,b,c,且。=1,

cos8sinC+(2sinA-sinB)cos(^-C)=0.

⑴求角。的大小：

(2)若b=求tan8的值.

【答案】(l)C=g

(2)tanB=

【解析】

【分析】

(1)利用诱导公式和两角和的正弦公式可得cosC=；,从而可求。=5.

(2)利用正弦定理可得sin(亨-B)=3sin/3,利用两角差的正弦化简后可得tan8=].

(I)

因为cos8sinC+(2sinA-sin8)8s(乃一C)=0,

所以cos8sinC+sin88sC-2sin4cosc=0,

所以sinA-2sinAcosC=0,而A为三角形内角,所以sinA>0,

所以cosC=g,二。是三角形内角，・・.C=!\

(2)

b_a_3b

C=-.a=3b,由正弦定理可得sinB-sinA一.(2兀心,

5I3)

可得sinfj■-8=3sinB,所以正■cosB+'sin8=3sin8,即tan5=3.

I3J225

19.已知复数马=-'-五i,复数Z2的实部等于马的虚部，Z2的虚部等于Z1的实部，求复

22

数4

【答案】Z,二-直二i

•22

【解析】

【分析】

由复数Z|=-g-#i,写出实部，虚部，即可得复数Z2.

【详解】

由复数4=」-且i,实部为-!，虚部为-当，设复数Z2=〃+*所以4=_且力=二

222222

所以z,=-正—』i.

-22

20.(1)己知4=4,z2=4i,23=-2+4i,4=-4+3i.问以上4个复数对应的点是否在同一

个圆上？

(2)设/=一,一正i.

22

(i)求〃，1；

(ii)I+ft?+'+•••+(o~~・

【答案】(1)四点不共圆；⑵(i)1=」+且j,加=1;(ii)1-^i.

2222

【解析】

【分析】

(1)根据复数的几何意义，求得四个复数对应的点的坐标，结合圆的方程，即可求解;

(2)(i)根据复数的运算，准确运算，即可求解；(ii)根据”的周期性，即可求解.

【详解】

(1)由题意，复数Z1=4,z2=4i,z、=-2+4i,z]=-4+3i,

根据更数的几何意义，可得复数对应的分别为Z.(4,0),4(0.4),4(-2,4),Z4(-4,3),

设经过三点Z,(4.0),Z2(0,4),Z3(-2,4)的圆的方程为犬++/%+砂+尸=(),

16+4x+/=0

可得《16+4y+F=0,解得£>=1,E=1,/=-24,

4+16-2x+4y+F=0

所以圆的方程为/++2刀+2)，-24=0,即(x+1/+()：+1)2=26,

其中点Z,(-4,3)不适合圆的方程，即点Zj不在圆上，

所以四点Z“Z2，Z3,4不共圆.

22

(2)由/=一>!--直i,可得32=(一_L-^i)=_L_2j_2x—i=---+—i,

222244422

,2,।>/3.vi6、i75.73.3.2.

22224444

贝lj啰卜士=0,

乂由(j/=—―---i,695=--H——i,<y6=1,•••>

2222

可得苏川+苏"2+济“+3=0,且“是以」一走入」+且i』为周期的循环，

2222

所以1+3+3?++…+疗2=1+0x7+勿=1一'一3i二：一走i.

2222

21.在直棱柱48co-AQCR中，AAI八力,4/)/〃?右,其中人8===2,

12

4A=2及，点”在。。上，且。加=2加0,延长8M至E使得8M

⑴求证：CD1BE；

(2)求B到平面CDE距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵2

【解析】

【分析】

（1）在直角梯形A8CD中，求得OC=2上,得到。力_L8。，再由。〃，平面A8C。，证得

DDJCD,利用线面垂亘的判定定理证得CQ_L平面4DR,进而证得CQ_L8E；

（2）由（1）得CO_L平面得到点E到直线8Z）距离为求得匕“/%，设点3到

平面8E距离为人,结合VB_CDE—VJBDE，即可求解.

（1）

证明：在百.角梯形A8CD中，有BD=2衣BC=4,NDBC=45’,

py

所以OC?=BD2+BC2-2BD-BCcos45°=（2夜）？42-2x2x/2x4x—=8,

+2

所以。C=2上，

可得/+5=8。2,所以CQ_LBO,

又因为DRJ.平面A6CZZ且COU平面AHC。，所以。自_LC。，

乂由。RIBD=D,所以CQ_L平面BOR,

因为BEu平面8。已，所以CD上BE.

（2）

12

由（1）得COJL平面4OE,且。

所以点E到直线3。距而为近，且5△皿=宗2&*&=2,

所以％-初£=gx2x2a='^^

在△/?/）£中，因为BD=,lanNMBD=^=；,可得cos/MBO=^^,

BE=15M=|^（2V2）2+（^^7=V20，

DE=JBD?+BE?-2BD8£cos4MBD=2,

由（1）知C£）_L4£,故$8E=-XDEXCD='X2必2=2叵,

AL“a

设点。到平面CDE距离为/?,则％_4把=谑=工、27^,解得〃=2,

V-OIxo

所以点B到平面CDE距离为2.

22.如图，三棱柱ABC—A4G中，底面为正三角形，AAJ平面4&7,且9=46=2,D

是8c的中点.

（1）求证：平面AOG_L平面。CG；

⑵在侧棱CG上是否存在一点E，使得三棱锥C-AOE的体枳是:，若存在，求C石长；若

4

不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析

⑵存在，正

2

【解析】

【分析】

（1）由线面垂直的判定定理得到AO_L平面。CG再由面面垂直的判定定理可得答案；

（2）利用等体积转换％_皿=/_皿可得答案.

（I）

三棱柱48C—A片G中，AA_L平面48C,则AO_LCG，

•••底面为正三角形，且。是3c的中点，则AO_L8C,

Q8CICG=。，则AO_L平面OCG，

（5人。<=平面人。。|,「.平面/\。。］，平面。。。］.

（2）

^C-ADE=^E-ADC，

•••底面为边长为2的正三角形，。是3c的中点，.•.AO=6，

.2AM=；X1X>/5=等，.,.VE-ADC=3XS&AOCXCE="解得CE=^^，

即CEvCG=2,

••・在侧棱CG上是存在一点£,旦。石=立，使得三棱隹C-AOE的体积是!.

24

综合测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合

题目要求的.

1.己知a=（l「2）,b=（-2,〃?）,若a_L（a+2b）,则实数m的值为（）

11

A.GB.oC.lD.2

2.若|z-l|=|z+1|,则复数z在复平面内对应的点在（）

A.实轴上B.虚轴上

C.第一象限D.第二象限

3.如图，在三棱锥D-ABC中/。=皿,且ACLBD^F分别是棱DC.AB的中点，则EF和AC所

成的角等于（）

A.30°B.45c

C.60°D.90°

4.已知平面向量近,丽荫足|可=|丽=1,曲瓦=若配=1,则|函的最大值为（）

A.a1B.A/3-I

C.&+ID,V3+I

5.某射箭运动员进行射箭训练，射箭60次，统计结果如表:

环数012345678910

击中的次数00124461012138

则估计他击中的环数不小于8的概率为（）

A.0.46B.O.55

C.0.57D.0.63

6.甲、乙两人玩“石头、剪刀、布''游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布扁石头），现两人同时随机出

拳，则游戏只进行一回合就分出胜负的概率是（）

112E

AWB5CND7

7.国际上通用的茶叶分类法，是按发酵程度把茶叶分为不发酵茶（如:龙井、碧螺春）和发酵茶

（如:茉莉花茶、铁观音、乌龙茶、普洱茶）两大类，现有6个完全相同的纸盒，里面分别装有龙

井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶,从中任取一盒，判断下列两个事件既是互

斥事件乂是对立事件的是］）

A.“取出碧螺春”和“取出茉莉花茶”

B.“取出不发酵茶”和“取出龙井”

C.“取出乌龙茶”和“取出铁观音”

D.“取出不发酵茶”和“取出发酵茶”

8.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四楂锥，以该四棱锥的高

为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底

面正方形的边长的比值为］）

A.4B.9

C.4D.~2-

二、选择题:本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求.

全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设P是△A8C所在平面内的一点+/4（=乂上则（）

A.P/4+P石=0BPB+PC=o

C.P4+4B=PBD.方+丽+瓦=0

10.下列说法中，正确的是（）

A.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

m

B.做n次随机试验，事件发生m次，则事件发生的频率;就是事件的概率

C.频率是不能脱离〃次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖「试验次数的理论值

D.任意事件4发生的概率P（A）总满足0<P（A）<l

11.下列说法正确的是（）

A.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位数是6

B.己知一组数据235”,8的平均数为5,则这组数据的方差是5.2

C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大

D.若xiK2,…Kio的标准差为2,则3乃+1,3也+1,…,3xio+l的标准差是6

12.如图，正方体4BCD-A而GG的棱长为1,E是。。的中点，则（）

A.直线8C〃平面4BD

B.%C_Lg

1

C.三棱锥G・8CE的体积为三

D.异面直线BC与BD所成的角为90°

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.复数z=l-i（其中i为虚数单位），则|z+3i|=.

14.有下列数据:

1.53.25.25.65.67.18.79.2

10.011.213.213.713.814.515.215.716.518.819.223.9272728.9

28.933.133.834.8

40.641.650.1

这组数据的第70百分位数是.

15.在水流速度为4km/h的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8km/h的速度（船在静水

中的速度）航行，则船实际航行的速度的大小为km/h.

2

16.如图是某个闭合电路的•部分，每个元件的可靠性是三则从A到3这部分电路畅通的概率

为.

A--B

--------□----------

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知复数z满足z+4为纯虚数，且三为实数.若复数（z+加产在复平面上对应的点位于

第四象限,求实数m的取值范围.

18.（12分）已知平面上点44,1）,B（3,6）,£＞（2,0）,且8c=AL.

⑴求前I；__

（2）若点M的坐标为（-1,4）,用基底｛而，而｝表示QI

19(12分)为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是

“你平均每天参加体育活动的时间是多少?”，共有4个选项:A.1.5小时以上,B.1〜1.5小

时,C.0.5~l小时,D.0.5小时以下.图①②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图,请你根

据统计图提供的信息，解答以下问题：

(1)本次一共调查了多少名学生？

(2)在图①中将B对应的部分补充完整.

(3)若该校有3000名学生，估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在().5小时以

下.

20.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同,进货成本每瓶4元，售价每瓶6元,

未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与

当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25℃,需求量为5(X)瓶;如果最高气温位于

区间［20.25)内，需求量为300瓶;如果最高气温低于20℃.需求量为200瓶.为了确定六月份的

订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

取局

110.15)115.20)120.25)125.30)130,35)135.40)

与潟

V/nn

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为“单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货后为450

瓶时，写出y的所有可能值，并估计丫大于零的概率.

21.(12分)在三棱锥244C中，以二P4=PC=AC=24,84=BC=2,。是线段AC的中点,M是线段

8c的中点.

(I)求证:PO_L平面/WC;

(2)求直线PM与平面PBO所成角的正弦值.

22.(12分)如图,四边形ABCD是矩形.BC_L平面ABE,且AE=gEB=BC=2、F为CE上一点,

且8F_L平面ACE

⑴求三棱锥4-Q8E的体积；

(2)求二面角D-BE-A的大小.

参考答案

综合测评

1.Aa=(1,-2),b=(-2,//0,ab=-2-2///.又a_L(a+2b),「・a(a+2b)=a2+2ab=5-4-4〃7=0,解

]

得机=二.故选A.

2.B由于|z・l|=|z+l|,故复数z在复平面内对应的点到(・1,0)的距离等于它到(1,0)的苑禹,

故复数z对应的点在虚轴上.故选B.

3.B

如图所示，取3C的中点G,连接FG,EG

•••E,尸分别为CD/8的中点，

：.FG//AC,EG//BD.

11

且FG=^AC,EG=^BD.

•；AC=BD,；・FG=EG,

・・・NE/G(或其补角)为EF与AC所成的角.

•・•AC_LBD,FG±EG,ZFGE=90°,

•••△EFG为等腰直角三角形.

；・NE/G=45°,即EF与AC所成的角为45°.

———>—1-12

4.D・・・|P4|=|P向=1,P4PB=三・・・cosN4PB二力PB="N4P3与兀

由余弦定理，得AB2=PA2-iPB2-2PAPBcos/APB=1+1+1=3.

・・.A8=H,则而|二心.

.•・当48与8(同向共线时有最大值+1.

故选D.

12+13+8

5.B根据题意,该运动员击中的环数不小于8的频率为-右—二0.55,因此估计相应概率

为().55.

6.C甲、乙两人同时随机出拳一次的可能结果共有9种，其中游戏只进行一回合就分出

6_2

胜负的可能结果共有6种,故所求概率为PV=:

7.D对于A,事件“取出碧螺春和事件"取出茉莉花茶''不可能同时发生，也有可能都不发

生，所以是互斥事件而不是对立事件，故A错误；

对于B,事件“取出不发酵茶”和事件“取出龙井”不是互斥事件，因为“取出龙井''时，事件"取

出不发酵茶''也发生了，故B错误；

对于C,事件“取出乌龙茶”和事件“取出铁观音”不可能同时发生，也有可能都不发生，所以

是互斥事件而不是对立事件，故C错误；

对于D,事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同时发生，但必有一个发生，所以

既是互斥事件又是对立事件，故D正确.

8.C设正四棱维的高为底而边长为小侧而三角形底边上的高为/匚则依题意有

"nN"'、l「

"=产罟)2咽此有力明卷,上次印⑵2一2(=)-1=0上二号(负值与舍去).故

选C.

9.CD因为AB+AC=3的所以P8-P4+PC-PA3AF=0,即P4+P8+P(=o,故D正

确,A,B错误;易知C正确.故选CD.

10.AC根据题意,依次分析选项:对于A,由概率与频率的关系,A正确；

对于B,概率是频率的稳定值,B错误；

对于C,由概率与频率的关系,C正确；

对于D,任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(>4)<LD错误.

11.BDV10x60%=6,A1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位数为第六位和第七位的平均数,

6+7

即丁=6.5,故A选项错误；

•・•数据2,3,548的平均数为5,；・2+3+5+x+8=5x5,即x=7,・•.数据2,35,7,8的方差是

(2-5)2+(3-5)2+<5-5)2+(7-5)2+(8-5)2

=5.2,故B选项正确；

用分层随机抽样时，每层的个体被抽到的概率相同，故C选项错误；

•••汨/2,…川。的标准差为2,方差为4,・•・3AI+1,3及+13xio+1的方差为3米4=36,即标准差

为6,故D选项正确.

12.AB选项A,如图，连接在正方体