函数模型的应用（讲义）-2027届高三数学一轮复习

2.10函数模型的应用

课标要求考情分析

◎考点考法：高考命题常以指数、对数、

I.了解指数函数、对数函数、事函数

累函数及分段函数为载体，考杳利用函

的增长特征；结合实例体会直线上升、

数模型解决实际问题，与指数、对数函

指数爆炸、对数增长等不同函数类型增

数相关的数学文化、社会热点等问题是

长的含义.

高考热点，常以选择题形式出现.

2.了解指数函数、对数函数、塞函数、

◎核心素养：直观想象、数学运算、数

分段函数等函数模型的广泛应用.

学建模.

会底固本主干知识整合'自主落实

I体系构建

函数模型函数解析式

一次雨豺模型八*)="£+加".〃为常数.

六

种二次南沿慨里为常数

常

见,指数函数模型为一数.aX)11<101,6#(>)

的

函

数时教函数模型人"为常数.aX)IL

9

V.游函数怅型f(x)^ax^b(a9b9n为常数

“对勾”函数模型产"-j-(<i为常数.a>0)

类别>=log^(a>l)

在(0.+8)上的单调性增雨数增雨数增雨数

增长速度越—越快「一越一相对平检

图纹的变化随、值懵大.图望Lj迎接近平行随1值增大,图纹与呦接近平行随“值变化而不对

陶嬲阳=

暴函数模型)，=?(〃>())可以描述增长速度的变化，当〃值较小(〃WI)时，增长较慢；当

〃值较大(〃>1)时，增长较快.

B獭自罚=

1.设甲、乙两地的距离为。(。>0),小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙

地休息10分钟后，他乂匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经

过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()

解析,，为小王从出发到返回原地所经过的路程，而不是位移，故排除A,C;又因为

小王在乙地休息10分钟，故排除B.故选D.

答案D

2.在某个试验中，测得变量x和变量y的几组数据如下表所示：

X0.501.092.013.98

y-0.990.010.982.00

则对x,），最适合的拟合函数是（）

A.y=2xB.y=xL—1

C.y=2x~2D.y=log2X

解析在直角坐标系中，描点连线画出图象（图略），观察图象知选D.

答案D

3.下面对函数,/（x）=logF与g（x）=Q｝在区间（0,+8）上的衰减情况的说法正确的是

（）

A.凡丫）的衰减速度越来越慢，g（x）的衰减速度越来越快

BJ（x）的衰减速度越来越快，g（x）的衰减速度越来越慢

C.7（幻的衰减速度越来越慢，g（x）的衰减速度越来越慢

D.人丫）的衰减速度越来越快，g（x）的衰减速度越来越快

解析在同一平面直角坐标系中画出火X）与g（x）图象（图略），由图象可判断出衰减情况

为yu）衰减速度越来越慢；g。）衰减速度越来越慢，故选c.

答案c

4.某超市的某种商品的□利润），（单位：元）与该商品的当口售价M单位：元）之间的关

系为），=一0+121—210,那么该商品的日利润最大时，当日售价为元.

解析因为尸一去+12%—210=—=（X一150）2+690,所以当x=150时，y取最大值，

即该商品的日利润最大时，当日售价为150元.

答案150

5.学校在体育课中组织学生进行排球练习，某同学以初速度。o=12m/s竖直上抛一排

球，该排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留s（结果保留两位小数）.（注：若不

计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度〃（m）与时间/（s）满足关系式

其中g=9.8m/s2,<655225.593）

解析由题意知，/?=12^-1x9.8r2,

1ionon

令〃=2,可得121—5乂9.8/=2,即49户一120什20=0,所以八十会二京，32=就，所

以卜1一交|=y］。+£）2_4/色=4曙^有2.O9（S）.

所以排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留2.09s.

答案2.09

三健能2核心考点突破紊能培优

考点一用函数图象刻画变化过程基础考点自练自悟

1.某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年

产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间1（年）的函数关系图象正确的是

0361036/（）36/036/

ABCD

解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合娶求,

而后3年年产量保持不变，A中总产量增长，C中总产堂不变，因此A正确.

答案A

2.如图，一高为〃且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中

匀速流出，水流完所用时间为r若鱼缸水深为万时.，水流出所用时间为人则函数人=/“）的

图象大致是（）

ABCD

解析水匀速流出，所以鱼缸水深/?先降很快，中间降低缓慢，放后降低速度又越来越

快.

答案B

3.已知正方形ABCZ）的边长为4,动点。从8点开始沿折线BCDA向A点运动.设点

P运动的路程为x,ZiABP的面积为S,则函数S=/（x）的图象是（）

D

解析依题意知，当0WxW4时，/（x）=2r;当4V时，凡¥）=8;当8VxW12时,

/（x）=24-2v,观察四个选项知D项符合要求.

答案D

练

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

（1）构建函数模型法：先建立函数模型，再结合模型选图象.

（2）验证法：根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否

吻合，从中排除不符合实际情况的答案.

考点二已知函数模型求解实际问题重难考点师生共研

例1（1）（多选）科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的.如果物体

的初始温度为仇。C,空点温度〃（）℃保持不变，则/分钟后物体的温度级单位：°C）满足：0

=隽+（仇一&）把°g.若空气温度为IOC,该物体温度从仇C（90WdWIOO）下降到30℃,大

约所需的时间为小若该物体温度从70C,50℃下降到30℃,大约所需的时间分别为小

打，则（）

（参考数据：ln220.7,ln3F.l）

A.t2=20B.28W/W30

C.。22白D.八一々W6

（2）（多选）新课标I卷，噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定

义声压级加=20Xlg力其中常数po（po＞。）是听觉下限阈值，〃是实际声压.下表为不同声

源的声压级:

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为/小〃2,

夕3，则()

A.Pl2P2B.P2>10/73

C.P3=1OO〃OD.〃]W100p2

[解析1(1)由题意可知，夕=10+(仇―10把一°叫

9()7()

当。=30,则30=10+(4一10)。一“°、^e-0-05ri=---0.05ri=In--则一

U\—1UC7|—IU

一一10

=201n2()，

其是关于仇的单调递增函数.

90-10

当0\=90时，力=201n-2()-=20ln4=401n2^28,

100-109

当3=100时，n=201n—25—=201ng=20(21n3-ln2)&30,

则28W/W3O,故B正确；

70-10

当d=70时，r2=20ln20-=201113^22,故A错误；

50-10

当a=50时，r3=201n?()=201n2^l4,

此时满足/122打，力一/226,故C正确，D错误，故选BC.

⑵由题意可知‘飞£回)，90],'々£[50,60],'=3=40,

对于选项A:可得=20Xlg^-20Xlg§=20XlgR

〃u〃opi

因为则L%一1=2=20Xlg*20,

即1g年0，

所以会21,且Pl,P2>0,可得P12P2,故A正确；

对于选项B:可得1飞一葭=20乂怆第一20X1g令20X1g券,

因为1%一/飞=七一40210,则20Xlg群10,即惊鼾发

所以费2，历，且〃2,〃3>0,可得〃224而3,

当且仅当乙&=50时，等号成立，故B错误；

对于选项C:因为1飞=20><馆£=40,即棺售=2,

〃0〃0

可唠=100,即P3=lOOpo,故C正确；

LL

对于选项D:由选项A可知：p1-/>2=20Xlg

且12一乙。2490—50=40,则20Xlg葭W40,

即lg^W2,可得号W100,且“，P2>0,

所以PIW100/2故D正确.故选ACD.

［答案］⑴BC(2)ACD

导I学

已知函数模型解决实际问题的关键

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检脸.

F对点训练

1.声音的等级火x)(单位：dB)与声音强度单位：w/n?)满足7U)=10X］g卡.喷气

式飞机起飞时，声音的等级约为140dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音

强度的108倍，则一般说话时声音的等级约为()

A.120dBB.100dB

C.80dBD.60dB

解析设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为Xl,X2,

由题意可得,*K)=10><lg彘=140,

解得»=1。2,

因为藁=坐=1。8,所以12=10-6,

1()-6

所以火l0")=l()Xlg而亘=6°，

所以一般说话时声音的等级约为60dB.故选D.

答案D

2.冰箱、空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使

臭氧量Q呈指数函数型变化.当氨化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式。=

。。©。•他叫其中Q。是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，/是时间，以年为单位.若按照

关系式。=。。®。002”推算，经过/o年臭氧量还保留初始量的四分之一，则团的值约为（In

200693）（）

A.584年B.574年

C.564年D.554年

解析由题意知，。=。0十一°皿25%=扣0,

_oo<>25r

jiIjc-o=1,解得砧=-4001n；=—400（—21112产554（年）.故选口.

答案D

考点三构建函数模型解决实际问题多维探究发散思维

角度1构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型

例2小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小

型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产k万件，需另投入流动成本为愀幻万元，

在年产量不足8万件时，W（x）=#+x（万元）；在年产量不小于8万件时，川（工）=6%+半一

38（万元）.每件产品售价为5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.

⑴写出年利润总）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入

一固定成本一流动成本）

（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

［解析I（I）因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5.r万元.

依题意得，当0«<8时，

L（x）=5x-0%2+，-3=-$+4x—3;

当x28时，L（x）=5x—（6x+平一38）—3=35—Q+W）.

1、

一3,0<r<8,

所以L(x)=

35G¥)，G8.

(2)当0<x<8时，L(X)=-|(X-6)2+9,

即当x=6时，£(x)取得版大值，放大值为9万元;

当x28时，L(x)=35——2-^x--^=35—20=15,当且仅当x="^,即x

=10时等号成立,

即当x=l()时，L(x)取得最大值,最大值为15万元.

因为9<15,所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利洞最大，最大

利润为15万元.

导学

建模解决实际问题的三个步骤

(1)建模：抽象出实际问题的数学模型.

(2)解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解.

(3)回归：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问

题中，得到实际问题的解.即：

角度2构建指数函数、对数函数模型

例3(I)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如

果按此速度，设2024年的冬季冰雪覆盖面积为〃?，从2024年起，经过.1年后，北冰洋冬季

冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是()

XX

A.)，=0.95%mB.y=(1-0.050)•加

C.y=0.95'°y加D.y=(l-0,0550v)-w

(2)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度。Gm/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除

燃料外)的质量加kg)的函数关系是。=20001n(1+知.按照这个规律，当l()()0M=8/〃时，

752

火箭的最大速度为功；当1000M=4〃?时，火箭的最大速度为6.则s一(参考数据：lr.

^0.004)()

A.8.0km/sB.8.4km/s

C.8.8km/sD.9.0km/s

［解析］⑴设每年减少的百分比为由在50年内减少5%,得(1一。产=1-5%=95%,

1XX

即a=1一(95%严.所以经过x年后,)，与x的函数关系式为一介=%(95%严=0.95%儿

故选A.

(2)由火箭的最大速度v和燃料的质量M、火箭的质量m的函数关系是o=20(X)ln

。+引，当1000M=8〃附有9嬴，

所以S=2000ln(1+嬴)=2000ln端；

M4

当1000M=4〃?时，有何=丽5，

所以。2=2(X)01n(1+高，=20001n黑

[()089S9

可得力一O2=2000In]()04=20001n^Y=2000X0.(X)4=8(km/s).故选A.

[答案](1)A(2)A

题后导学

指数(对数)函数模型的应用技巧

(I)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，

在两类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、

银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型；对数函数模型(底数大于1)是增长速

度越来越慢的一类函数模型.

(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析

式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导致.

r对点训练

1.运货卡车以xkm/h的速度匀速行驶30()km,按交通法规限制50WxW100(单位:km/h),

假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油(4+罚L,司机的工资是每小时46元.则这次

行车的总费用的最低值是元.

解析行车所用时间£=学h,根据汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油(4十意)

L,司机的工资是每小时46元，

可得行车总费用为尸聆6X(4+通+安组华+等5。4力。0).

21000,30x、c⑵()0030x……，,2100030.r”，….

y=--—+〒》2、一■——=600,当且仅当一--=—,即x=70时，寺号成L区.

所以当x=70时，这次行车的总费用y最低，最低费用为600元.

答案600

2.为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100

mL,小于80mg/100mL的驾驶行为为酒后驾车.，80mg/100mL及以上认定为醉酒驾车.假

设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上小到了100mg/100mL.如果停止喝酒

后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过________个小时才能

驾驶汽车.(参考数据：1g5=0.7,1g7-0.85)

解析设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则100(1—30%尸〈20,所以07V02

又y=0.7r为减函数，

1g0.2Ig5lgl-lg5-lg5-0.7

所以x>1。的70.2=怆o'=1g7—1g]0=1i5二1■「病二714,7，

,g10

所以他至少经过4.7个小时才能驾驶汽车.

答案4.7

课时件先知能达标训练'巩国提畀__________

A级基础过关

1.下列函数，随着工的增大，y也增大，且增长速度最快的是()

A.y=0.001evB.>'=10001n.v

C.y=xl(,00D.^=1000X2v

解析在对数函数、称函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B、C;

指数函数中，当底数大于1时，底数越大，函数的增长速度就越快，系数的影喻可忽略不计.故

选A.

答案A

2.某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出

售，每件还获利()

A.25元B.20.5元

C.15元D.12.5元

解析由题意，售价为100(1+25%)元，再按九折出售的售价为100(1+25%)X0.9元，

所以，每件获利1()()(1+25%)XO.9—1OO=9O义:1OO=I2.5(元).故选D.

答案D

3.据统计，第x年英湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y=&log3(x+l)，观测发

现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭(In2Po.7,In321.1)()

A.1530只B.1636只

C.1830只D.1930只

解析•・•第x年某湿地公园越冬的白鹭数量.y(只)近似满足y=klog3(x+1),

且当x=2时，y=1000,

.••1000=Alog33,解得女=100(),

:.当x=5时，)，=1000Xlog36=1000X(log33+log32)=l(X)0X(l+偌)^1636.

答案B

4.医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型

来进行描述.在该模型中，人体内药物含量M单位：mg)与给药时间/(单位：h)近似满足函

数关系式In(^)=lnk)+ln(1—e"),其中屈，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：

mg/h).经测试发现，对于其种药物，给药时间12h后，人体内的药物含量为爱，则该药物

的消除速率女的值约为()

(参考数据：In240.693)

A.0.1055B.0.1065

C.0.1165D.0.1155

解析由题意，In。.我)=ln公+ln(l-e“2A)=D侬=(n-12〃=-21n2,即6k=ln

2^0.693,解得2比0.1155.

答案D

5.(多选)放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质

数量随时间/的衰变公式Na)=Me],No表示物质的初始数量，7■是一个具有时间量纲的数,

研究放射性物质常用到半衰期，平衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一平

所需的时间,已知In2=0.7,下表给出了铀的三种同位素r的取值.若铀234、铀235和铀

238的半衰期分别为一，T2,八，贝l」()

物质r的量纲单位。的值

铀234万年35.58

铀235亿年10.2

铀238亿年64.75

A.tin0.5B.T与i•成正比例关系

C.TI>T2D.7^>I00(X)TI

解析A选项，由题意得

又Mf)=Noe",故,两边取对数得，fin0.5=-;,

T=rln2,A错误;

B选项，由A可知，7与i■成正比例关系，B正确；

C选项，由B可知，T与工成正比例关系，由于铀234的工值小于铀235的I■值，

故「＜八，C错误;

D选项,73=rin2=6.475X109ln2,

5

T1=Tln2=3.558X10ln2,

T36.475X】09]n2…•

故1000071=3.558X101.'D正确.故选BD.

答案BD

6.生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残

留量来进行判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量,K单位：mg）与时间”单位：年）近似

满足关系式尸1（1一3"），注0,其中2为抗生素的残留系数，当，=8时，尸机则2=

QII

解析因为歹=2（1-3&）,所以3&=§=3-2,解得]=不

答案!

7.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量火外（毫克/亳升）随时间x（小时）变化的规律近似满

5R0WW1,

足表达式火《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员

5\3/,A＞1,

血液中酒精含量不得超过0.02亳克/亳升，此驾驶员至少要过_______小时后才能开车.（精

确到1小时）

解析当OWxWl时,由财W0.02,得5吟0.02,解得xW2+log50.02=log50.5V0,

不符合题意；当工＞1时，由/U）W（）.（）2,得,（；＞wO.O2,即3-W0.1,解得x21-log3（）.l

=l+log310.因为3V1+Iog310＜4,所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.

答案4

8.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60。（如图），考虑

防洪提坚固性及石块用料等囚素，设订其横断面要求面积为噬m2,且高度不低于9m.

记防洪堤横断面的腰长为xm,外周长（梯形的上底线段8C与两腰长的和）为ym.要使防洪

堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即横断面的外周长最小），则防洪堤的腰长x=

m.

BC

60°

I)

Ir

解析设梯形的高为由题意可知M=Z（AQ+BCM,其中AD=BC+2^=BC-^-xi

h=^x,整理可得成?=:一菱，由〃2小，BOO,可得2WxV6,・•・），=4C+2M=7+才

IIQy1QOy

22yq~•亍=6/5,当且仅当丁=;"（2Wxv6）,即1=2小时等号成立.

答案2小

9.甲市民计划对长6米，宽2米的阳台进行改造，设计图如图所示，八区域用来打造

休闲区域，8区域用来种植辣椒，。区域用来种植青菜，。区域用来种植大蒜.已知B,D

两区域是边长为x米的全等正方形，打造休闲区域每平方米需花费30元，打造辣椒区域每

平方米需花费40元，打造青菜区域每平方米需花费20元，打造大蒜区域每平方米需花费

25元.

A

B\C\D

（I）用），（单位：平方米）表示C区域的面积，求），关于X的函数解析式：

（2）当x为何值时，阳台改造的总费用最少，最少为多少？

解析（1）由题意得C区域为长、宽分别为6—2心x的长方形，所以），=网6—2x）=-

2X2H-6,V,%£（0,2）.

（2）设阳台改造的总费用为应¥）元，

则人工）=30X6（2-x）+40『+20（一*+6工）+25f=25f-60x+360,xG（0,2）,

—606

当“=一市斤=$时，,穴x）有最小值，

於）min=周=25xf1）2-60X1+360=324.

所以当米时，阳台改造的总费用最少，鼓少为324元.

B级能力提升

10.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%,最

初有M只，则能达到最初的1200倍大约经过（）

（参考数据：In1.0620.0583,In1200^7.0901）

A.122天B.124天

C.130天D.136天

解析由题意可知，蝗虫最初有M）只且日增长率为6%.设经过〃天后娃虫数量达到原

No（l+6%）”

来的1200倍，则---兀—=1200,

・•・1.06”=1200,

，〃=log1.061200=；；121.614,

・••大约经过122天能达到最初的1200倍.

答案A

11.“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，希望能在短时间内最

大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得

令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大.现有某

班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个

经过时间《30W，Wl（）0）（单位：天），增加总分数m）（单位：分）的函数模型：加=]+；；/+,

k为增分转化系数，尸为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且人60）=卷P.现有某学生在

高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总

分约为（保留到个位）（lg61^1.79）.

kpkp1

解析由题意得，.60）=[11g6]%赤=不匕

2.79

k==0.465,

6

0.465X400[土1n产竿=62,工该学生在高考中可能取得的总

1I1g1UU।1g1.U1J

分约为400+62=462.

答案462

12.某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市

至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入〃（单位:万元）满足P=4®

%+2,80WaW120,

-6,乙城市收益Q与投入〃（单位：万元）满足Q=f设甲城市的投

,32,120<aW160,

入为x（单位：万元），两个城市的总收益为小比单位：万元）.

（1）当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；

（2）试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？

解析（1）当％=128,即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，

所以7U28）=4X=2X128—6+，X112+2=88（万元）.

因此，此时公司的总收益为88万元.

⑵由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资（240-x）万元,

x280,

依题意得，解之得80WxW160,

240-x>80,

当80^x<120,即120v240—xW160时，

凡i)=4H—6+32=4如+26<26+16仃；

当120WxW160,即80W240-xW120时，

人工)=4产-6+；(240—幻+2=—%+4叵+56.

令/=5，则02®4M,

所以V=-^2+46/+56=-]“-86y+88.

当f=8陋，即x=128时，y取最大值88.

因为88—(26+16居)=2义(31—8仃)>0,故,/U)的最大值为88.

因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为

88万元.

C级拓广探索

13.如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧湿组成，厚度为a(单位：mm)的带

钢从一端输入，经过各对轧盥逐步减薄后输出，厚度变为以单位：mm).若