2025-2026学年江苏省无锡市锡山某中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年江苏省无锡市锡山高级中学高二(下)期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。

1.5♦1广展开式的常数项为()

r

A.20B.90C.40D.120

2.甲乙两人投篮投中的概率分别为2,两人各投篮一次，

只有一个人投中的概率是()

112

A.-B.C."

323

1T

3.函数y=x+2cosx在区间［0,上的最大值是()

A.1+1B.：+、，2C.1+64B

D..

4.(x+y+z)5的展开式共()

A.15项B.21项C.25项D.31项

5.袋中有质地、大小均相同的3个红球，2个白球，现从中任取3个球，其中所含红球的个数为X,则E(X)

=()

A.1.2B.1.8C.2D.3

6.某校4,B,C,D,E这5名同学需要选择甲、乙、丙三个校不课程，每人限报一个课程.若这三个课程都

至少有1名同学选择，其中力不能选甲课程，8只能在甲乙课程中选，那么这5名同学不同的选择方法种数

共有()

A.69种B.71种C.73种D.79种

7.已知函数/(x)是定义域为/?的奇函数，/(%)是/(x)的导函数，/(I)=0,当x>()时，必(x)

-“.(X)>0,则不等式/(x)<0的解集为()

A.(q,_i)u(0,1)B,(-1,0)U(0,1)

C.(-8,-1)U(1,+8)D.(-1,0)U(1,+8)

8.学校食堂每辍推出4、8两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择种套餐，若他前

1天选择了月套餐，则第2天选择N套餐的概率为：：若他前1天选择了8套餐，则第2天选择了《套餐的

概率为：已知他开学第1天中午选择力套餐的概率为:，在该同学第3天选择了月套餐的条件下，他第2

天选择4套餐的概率为()

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。

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9.下列说法正确的有()

A.若随机变量X-N(1,3?),则。(X)=3

B.从10名男生，5名女生中任选4人，选出的女生个数X服从超几何分布

C.若随机变量X的方差为。(X),则。(3升2)=3。(X)+2

D.X~B(10,0.8),则当心8时概率最大

10.已知，L-oo.r】Jr-I「・・・・a」/,I「，贝lj()

A.0=5、

B.a,in.3；

C.a।―“_+•••一-5'

D.«i|la：4<i：j3

11.函数/(x)=e、ax有两零点xi，足且xi〈X2,记函数的极小焦点为xo,则下列说法正确的是()

A.a>eB.XI+%2>2C.X\X2>1D.xi+xi<2xo

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知随机变量X服从正态分布N(2,W),且P(2VXV5；=0.3,则P(A>-1)=—.

13.设44是一个实验的两个事件，，.10)-则P(48)=—.

J1414

14.若对任意的xW(0,+°°),都有(ax)2@工^£以11皿*-4婷恒成立，则Q的取值范围为__.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤“

15.(本小题13分)

4名男生和3名女生站成一排.

(1)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？

(2)甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？

(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？

16.(本小题15分)

某工厂生产某种电子产品，需要经过二道检验程序，只有二道枪验都合格，才能对外售卖，否则该产品只

能报废处理.已知第一道检验程序结果为不合格的概率为1，第二道检验程序结果为不合格的概率为‘每

道检验程序的结果只有合格与不合格，且检验结果相互独立.

(1)求每个电子产品不能对外售卖的概率；

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(2)每个电子产品的生产成本为200元，售价为600元，现生产了3个这样的电子产品，求这3个电子产

品总收益的均值.

17.(本小题15分)

已知函数=彼+(a-1)x+e”(aER,-2.71828…为自然对数的底数).

(1)讨论/G)的单调性：

(2)若/(X)有最小值g(a),证明：4")＜二，

■

18.(本小题17分)

2I

现有一种不断分裂的A4细胞，在每个分裂周期中，一个〃细胞以二的概率分裂成一个新的必细胞，以的

概率分裂成两个新的M细胞，分裂后原来的/细胞消失，新的历细胞在卜.一个分裂周期里会继续分裂.设

初始状态下有1个M细胞，〃个分裂周期后，M细胞的数目为X.

(1)求生的分布列和数学期望；

(2)求概率尸(%=2)；

(3)求概率P(筋=2).

19.(本小题17分)

函数/(x)的定义域为。，若对任意正实数，，在定义域内存在实数中，心(M#X2)，使得‘-〃⑴

皿一72

成立，则称/(x)具有“性质7”.已知函数g(x)=-Alnx+(ln"l)x.

(1)当a=c,

①求曲线产g(X)在尸1处的切线方程；

②判断函数g(x)是否具有“性质r:并说明原因；

(2)当！W“W1时，设Vxi，X2e(0,+8),且满足g(X1)-g(X2)=1,求证：「，一，八〉L

ra

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1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】A

7【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】BD

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】0.8

13.【答案】1

6

14.【答案】(0,e]

15.【答案】解:(1)2X120—240(种)，

甲、乙两人必须站在两端的站法有240种.

(2).4：-.4<.4：2•21>209m(种)，

甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有960种.

.44」

(3)j-HIO(种).

甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有840种.

16.【答案】；750元

17.【答案】当“W0时，/(x)在R上单调递减；当。>0时，/5)在(-oo,-|na)上单调递减，在(-Ina,

+8)上单调递增证明：由(1)可知，当aWO时，/(x)在&上单调递减，无最小值，

当q>0时,f(x)在x=-In。处取得最小值，所以2g(a)-f(-Ina)=aeAna+(a-1)(-Ina)+dna=l-(a-1)

hia+o,

/fl-1]

对g(a)=1-(w-1)\na+a求导，可得：g(a)=-lna-----+1-Ina+-,

对Maj,求导可得-।II,

aaai

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所以g(a)在(0,+8)上单调递减,又因为g(])=|ni+i=i>o,g，(2)=」〃2・

222

所以存在aoE(1，2),使得g'(。0)=0,即-lnao+-。，也就是一，

<><|3

当OVaVao时，gf(a)>0,g(a)单调递增；当a>ao时，g'(a)<0,g(a)单调递减，

所以g(。)在a=ao处取得最大值，g(防))=1-(a1"〃.，・“，I。•।,小

1i

十”.—a,♦,

7)a。

因为ooE(I,2),根据对勾函数”/।在(I,2)上单调递增，

X

所以旬+_lv2+；-1即g(a)<J,

综上，5”广：得证

18.【答案】

X11234

41011

P

9272727

嘉产」

E(M)■,P(X3-2)P(Xn-2)■…

19•【答案】①二/1=0：②函数ga)具有“性质r.理由如下:

假设函数具有“性质7”，

则对任意正实数/,在定义域内存在实数为，X2(MWX2)，使得"")一"""-5"成立,

由g'(x)7nx+1,则g'(/)=-ln/+1,

所以叱正业！=」山，】，

须一利

即(T>/5+“)-+/N/

化简得-xilnxi+(1+ln/)x\=-X2\nx2+(1+ln/)M,

令尸(x)=-xlnx+(1+ln/)x,

则F'(x)=-ln.v-1+1+ln/=-lnA+lnt*,

由P(x)>0,得0VxVf；F'(x)<0,得x>f；所以/(工)在(0,Q上单调递增，在C,+8)上

单调递减，

所以当x=Z时厂(工)取得极大值，也是最大值，

即F即)max=F(Z)=?>0,

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当了-0时，F(x)-0；当X-+8时，F(x)f-8,

所以存在Xl，X2(X1WX2)，使得广(X1)=F(X2)，

所以函数g(x)具有"性质T”证明：由g(x)=-xlnx+(1M+1)X,则g'(x)=-lnx+lna,

当尤(0,a)时，g'(x)>0,即g(x)在(0,a)为单调递增函数；当xW(a,+~)时，g'Cx)<0,

即g(x)在(a,+8)为单调递减函数.

可知g(X)max=g(4)I,

若工2正(0，a),则g(X2)=X2(Ina+l-lnx2)>X2>0,

g(xi)-g(X2)Vg(xi)Wg(a)="Hna+alna+aW1，不符合题意:所以X22a；若0<xi〈a,则xi〈X2；

若工Ba,X22a，

又因为g(x)在(〃，+8)为单调递减函数，

所以g(X|)=g(X2)+1>g(X2)，

所以Xl<X2：综上所述，XlVjC2,

又因为g(XI)-g(X2)=1,

由“

a

所以L，八:J45

a

即小「

即g+//J-w,

设加(x)=g(x)+ae\

则"(x)=g，(x)+Qe，=aeJlnx+lna,

方法一：设九(x)=。夕Inx+lna,

则版i)-al1,

x

因为“