直线与圆的新定义问题（原卷版）

2.9专题：直线与因的新定义问题

模块一：题型分类...................................................2

题型一：阿波罗尼斯阅............................................2

题型二：欧拉线..................................................3

题型三：欧式距离................................................4

题型四：切比雪夫距离............................................4

题型五：费马距离................................................6

题型六：闵可夫斯基距离..........................................7

题型七：曼哈顿距离..............................................8

2.9专题：直线与因的新定义问题

模块一：题型分类

题型一：阿波罗尼斯圆

1.阿波罗尼斯是古希腊数学家，与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.”阿波罗尼斯圆”

是他的代表成果之一：平面内到两个定点的距离之比为常数MA=1)的点的轨迹是“阿波罗尼斯圆〃.已知曲

线C是平面内到两个定点(-1,0)和。0)的距离之比等于常数朝勺隼可波罗尼斯圆〃，则下列结论中正确的是

()

A.曲线C关于％轴对称B.曲线。关于'轴对称

C.曲线。关于坐标原点对称D.曲线C经过坐标原点

2.古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262〜公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成

果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数/IQ工1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波

罗尼斯圆，已知点。(0,0),4(3,0),动点2(工))满足瞿=；,则点。的轨迹与圆。:(％-1)2+y=1的公切

线的条数为.

3.占希腊著名数学家阿波罗尼好与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点4B的距离之

比为定值入(入>0且入。1)的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗

尼斯圆，简称阿氏圆.己知点M(x,y)到两个定点71(1,0),8(-2,0)的距离之比为2,则七■的取值范围为.

4.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常

数k(k>0,kw1)的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，N(0,0),M(3,0),

动点。满足第=2,设动点Q的软迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

⑵直线+my+m=0(m6R)与曲线C交于力,B两点，若mW{-1,0,1},从中任选一个m值，求此时相

应的弦长

题型二：欧拉线

1.欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这

条线称之为三角形的欧拉线.已知4(0,2),8(4,2),。(。,一1),且448。为圆式2+、2+&+口=0内接三

角形，则△4BC的欧拉线方程为.

2.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形儿何学》一书中提出：任意三角形的外心、垂心、重心在同一条

直线上，后人称这条直线为欧拉线.己知△A8C的顶点力(2,0),8(0,4),若其欧拉线的方程为％-y+2=0,

⑴求三角形ABC外心。的坐标；

(2)求顶点C的坐标.

3.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位J•同一直线上，这条直线被后

人称为三角形的“欧拉线〃.在平面直角坐标系中，△ABC满足4。=8酊顶点力(-1,0)、8(1,2),且其“欧拉

线"与圆M：(x+5)2+y2=r2(r>0)相切.

⑴求△力BC的“欧拉线”方程；

⑵若圆M与圆“2+(y-a)2=2有公共点，求a的范围.

4.平面几何中有一个著名的定理：△4BC的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点

共圆，该恻称为△ABC的九点圆或欧拉圆，若力(一2,1),8(4,1).△ABC的垂心为G(3,3),则△48C的九点

圆的标准方程为.

题型三：欧式距离

1.函数/(x)=Jx?+2x+5+Vx2-6x+IO的最小值是.

2./(x)=VX2+2X+2+Vx2-4.r+8的最小值为.

3.4X,刃=&+),2+J(x+])2+y+J(27)2+(…)2+商+(2+»,其中一14x«2,-4<^<0,贝IJ

二元函数/(XJ)的最小值为

4.函数/(x)=J(x_iy+9+J(X-5)2+4的最小值为.

5.求函数/(X)=’(人_1)2十9_J(1_5)2+4的最大值,

6.求函数/(x)=—+9+J(x-5『+4的最小值.

题型四：切比雪夫距离

1.我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里

得距离是力(演,乂)与双孙必)两点间的直线距离，即dAB="理f+Sf)2・切比雪夫距离是力(演，乂)

与4(/，为)两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即乙夕=max｛卜-XZIJX-JAI｝.已知

产是直线/：2x+)，-15=0上的动点，当尸与O(O为坐标原点)两点之间的欧几里得距离最小时，其切比

雪夫距离为.

2.在平面直角坐标系中，定义"(匕A)=max｛卜-X2|，|必-必|｝为两点租不,)、鸟(马，必)的"切比雪夫距

离”.若点P到点(2014,2015)的切比雪夫距离为2,则点尸的轨迹长度之和为.

3.在平面直角坐标系也定义d(43)=max｛,一与卜,「乃1｝为两点力(西,必)、/々,外)的“切比雪夫距离”，

又设点P及/上任意一点。，称"(P，。)的最小值为点P到直线/的“切比雪夫距离"记作"尸，/)，给出下列四个

命题：

①对任意三点4民。，都有d(GQ+d(C5"d(有B'

②已知点尸(3,1)和直线/:2工—)，-1=0,则"(P,/)=1；

③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；

其中真命题的是()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

4.在平面直角坐标系中，定义"(48)=max｛|再一电|,|乂-乃1｝为两点直演，必)、

8(孙力)的“切比雪夫距离”，又设点尸及/上任意一点。,称或尸，。)的最小值为点尸到

直线/的“切比雪夫距离〃，记作刈PJ),给出下列三个命题：

①，对任意三点A、B、C,都有八C,/0+"(C,A)之"(44)：

-4

②己知点？(3,1)和直线/:2x-y-l=0,则"(P,/)=!；

③定点£(一。,0)、居9,0),动点P(x,P)满足|d(R£)-d(P，K)l=2a(2c>2a>0),

则点P的轨迹与直线N=Z(%为常数)有且仅有2个公共点；

其中真命题的个数是

A.0B.1C.2D.3

5.在平面直角坐标系中，定义d(4,8)=max｛区-乂-必1｝为两点4%，必)，仇忆，乃)的"切比雪夫距

离”.又设点夕及/上任意一点0,称，(P,(?)的最小值为点P到直线/的“切比雪夫距离〃，记作d(P,

/).给出下列四个命题：①对任意三点4B,C,都有d(CM)+d(C,8)24(48)；②已知点尸(3,1)

和直线八2%-)，-1=0,则d(P,/)=g；③到原点的“切比雪夫距离〃等于1的点的轨迹是正方形.其中正

确的序号为.

6.在平面直角坐标系中，称d5、Q)为点P、。两点间的距离，若d(P,0)满足下列三个性质；(1)

非负性：d(P,0"O;(2)对称性：d(P,Q)=d(Q,P)；(3)三角不等式:d(R,性)+d但,〃)Nd(4,切.设

点A值,必)、£(卬力)、AG3M，则下列能够作为距离公式的有.

22

©</(/>,/>)=7(X,-X2)4-(^,-J；2)；

②d化，2)=归一百+|乂一刑|；

③"(耳闾=max｛卜-司,|凹-乃|｝；

④"(％2)=min｛卜一与|，|乂一必1｝.

7.在平面直角坐标系中,定义d(46)=max｛|x-占乂-%|｝为两点彳(和必)、B(x29y2)的“切比雪夫距离"，

又设点P及直线/上任一点Q,称"(尸，。)的最小值为点P到直线/的“切比雪夫距离"，记作d(P,l).

(1)求证：对任意三点A、8、C,都有d(4C)+d(C,8)Nd(,4,8)；

(2)已知点尸(3,1)和直线/:2x-y-l=0,求d(PJ)；

(3)定点C(Xo，N),动点PQ,y)满足d(GP)=r(厂>0),请求出点P所在的曲线所围成图形的面积.

题型五：费马距离

1.以三角形边〃C,CA,48为边向形外作正三角形4CH,CAB',ABC,则力H,BB',CC'三线共点，

该点称为ABC的正等角中心.当小4。的每个内角都小于120例，正等角中心点尸满足以下性质：

(1)LAPB=LAPC=ABPC=120°；(2)正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点(也即费

马点).由以上性质得，性+(y-始+5+3++*-2『+J，？的最小值为

2.点M是\ABC内部或边界上的点，若M到A48C1三个顶点距离之和最小，则称点V是MBC的费马点(该

问题是十七世纪法国数学家费马提出).若力(0,2),5(-1,0),。(1,0)时，点％是A48C的费马点，且已

知％在V轴上，则|4%|+忸%卜|。%|的大小等于.

3.以三角形边AC,CA,*3为边向形外作正三角形4cH,CAB',ABC1,贝。H，BB\CC'三线共点,

该点称为的正等角中心.当力8C的每个内角都小于120的，正等角中心点。满足以下性质：

（1）Z.APB=Z.APC=Z.BPC=120°：

（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）.

由以上性质求y]x2+（^-1）2+Jx?+（y+l）2+yl（x-2）2+y2的最小值.

4.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120。时，费马点与三

个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120。.根据以上性质，

已知4—2,0）,8（2,0）,C（0,4）,P为8c内一点，记/（P）=|P/|+|P8|+|PC|,则/（尸）的最小值为（）

A.2x/3B.4+2有

C.4+GD.2+V3

题型六：闵可夫斯基距离

1.（多选）闵可夫斯基距离又称为司氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为/=（4,生，…，牝）

1

和8=（%也，…也），这两组数据间的闵氏距离定义为九何）=恪®_/城"，其中夕表示阶数.下列命题

中为真命题的是（）

A.若力=（1,2,3,4）,3=（0,3,4,5）,则“⑴=4

B.若4=（a,a+l）,3=（6-若）,其中a,beR,则%。）=力42）

C.若A=（a.b）,B=（c,d）,其中a,h.c,dGR.则“田⑴之⑵

D.若力=（凡"），B=其中小heR,则"伯（2）的最小值为书

8

2.闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为/=（%,%，…4）和

8=（4也,…也），这两组数据间的闵氏距离定义为"其中9表示阶数.现有下列四

个命题：

①若A=（1,2,3,4）,8=（0,3,4,5）,则dAB（\）=4；

②弟/=（〃,〃+1）,/?=（〃-1/），其中sR,贝心〃"⑴二血式?）：

③若力=（a,b）,8=（c,d）,其中a,b,c/eR,则".0）2%式2）：

④若4=（j2"=（力力—1）,其中q/cR,则“（2）的最小值为逆.

8

其中所有真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

3.在直角坐标系X0F中，已知点力（须,必），B（x2,y2）,记4，（46）=佃-.寸+|必-乃「），其中〃为正整数,

称0（48）为点A,8间的M距离.下列说法正确的是（）.

A.若4（0,力=1,则点A的轨迹是正方形

B.若4（48）=4（48）,贝JA与8重合

C.4（48”❷（48）

D.出（48）?4（48）

题型七：曼哈顿距离

1.”曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点力（“i，y］）,

8（切,丫2）的“曼哈顿距离”为d（48）=I%1-X2I+卜1一%1，己知动点N在圆％2+y2=16上，定点M（4,5）,

则M,N两点的“曼哈顿距离”的最大值为.

2.十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点。（工2，月）的曼哈顿距离为

。1：尸,。）=,「々|+瓦-村.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点〃，已知三角形

的三个顶点坐标为4（2,4）,8（8,2）,。（12,10）,则的“好点”的坐标为（）

A.（2,4）B.（6,8）C.（0,0）D.（5,1）

3「每哈顿距离”是卜九世纪的赫尔屈•闵可夫斯基所创词汇•其定义如下：在苜角坐标平面卜仔意两点

力（七,必）,8（9,乃）的曼哈顿距离“44）=四-即+|凹-为|，则下列结论正确的是（）

A.若点尸（2,4）,0（—2,1）,则“P,0）=6

B.若点M（TO）,N（1,O）,则在x轴上存在点尸，使得d（P,M）+d（P,N）=l

C.若点M（2,l）,点尸在直线x-2y+6=0上，则d（P,M）的最小值是5

D.若点M在圆/+/=4上，点N在直线2x-y+8=（）上，则“M,N）的值可能是4

4.人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的--种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离

测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设力a，必），川吃,外）,则

曼哈顿距离d（48）=ki-到+|乂一凹|，余弦距离e（48）=l-cos（48）,其中cos（48）=cos（O4。@（。

为坐标原点）.已知"（2』），d（%N）=l,则e（",N）的最大值近似等于（）

（参考数据：夜之1.41，石=2.24.）

A.0.052B.0.104C.0.896D,0.948

5.对于平面直角坐标系内任意两点4（.盯,〃），8（.丫2,》2）,定义它们之间的一种“新距离":||力8||=|x?-x/|+|y2-y/|.

给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则||/C||+||CA||=||；

②在△44c中，若NC=90。,则||EC||2+||C8||2=||C5||2；

③在△力8c上，|HC||+||C5||>||J5||.

其中的真命题为（）

A.①③B.①②C.①D.③

6.在平面直角坐标系中，定义"（48）=|$721+1%-先1为两点4（外方）、8（孙力）的"切比雪天距离"，又

设点尸及直线/上任意一点Q,称"（尸，。）的最小值为点P到直线/的"切比雪夫距离"，记作d（及/）,给出下

列三个命题：

①对任意三点