中考数学总复习《反比例函数与一次函数的综合》专项测试卷（带答案）

中考数学总复习《反比例函数与一次函数的综合》专项测试卷(带答案)

学校:姓名：班级：考号：

一、解答题

I.如图，一次函数y=的图象与反比例函数y=?的图象交于A、3两点，其中A点坐标为(2,1),点8到y轴

的距离为I.

(2)求〃点的坐标.

2.如图，已知反比例函数的图象与直线%=%/+〃相交于A(-L3),B(3,〃)两点.

(1)求反比例函数与一次函数的解析式:

(2)求AAOB的面积；

(3)直接写出当y＞儿时，对应的x的取值范围.

3.如图，宜线y=r+6与双曲线),='交于斗、B两点，点4,8的横坐标分别为1,5.

X

X

(1)求，〃的值及点〃的坐标;

(2)直接写出不等式-犬+6>”的解集.

X

4.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线必=/相交于4(-2』)，*〃?,-2)两点.

(1)求力，乃对应的函数解析式;

(2)过点人作x轴的垂线，交x轴于点C；

(3)连接8C,求VA8C的面枳.

k(3、8(凡一；两点，直线A4交y轴于点C,交x轴于点O.

5.如图，双曲线y二一与直线产〃”一+〃交于A2,；

xk2J

(1)求双曲线与直线A8的表达式;

(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段OO的垂直平分线，交直线A△于点P,交双曲线于点Q.(要求：不写作法,

保留作图痕迹)；

⑶在(2)的条件下，求点。的坐标.

6.综合与实践

如图1,某兴趣小组计划开导一个面积为的矩形地块458种梢农作物，地块一i力靠墙，另外三山用木栏闱住,

木栏总长为4m2.

图I

J-------------------------V

【问题提出】

小组同学提出这样一个问题：若。=10,能否围出矩形地块？

【问题探究】

小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题:

Q

设为为ym.由矩形地块面积为8m2,得到◎=8,满足条件的6、）可看成是反比例函数）/一的图象

x

在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m,得到2戈+），=10,满足条件的《），）可看成一次函数），=-21+10的图象在

第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（%，），）就可以看成两个函数图象交点的坐标.

如图2,反比例函数），=；*>0）的图象与直线小），=-21+10的交点坐标为（1,8）和（4,2）,因此，木栏总长为10m,能

围出矩形地块，分别为：AB=Im4c=8m；或A8=_n】BC=_m.

（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空.

【类比探究】

（2）若。=6,能否围出面积为8m2的矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由.

【问题延伸】

当木栏稳长为时，小颖建立了一次函数y--.发现直线y=+〃可以看成是直线），--2、通过平移得到

的，在平移过程中，当过点（2,4）时，直线），=-2%+。与反比例函数），=3*>0）的图象有唯一交点.

（3）请在图2中画出直线、=-2.1+〃过点（2,4）时的图象，并求出。的值.

【拓展应用】

小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题''可以转化为“y=-2.丫+〃与尸绘工>0）图象在第一象限内交点的存

X

在问题

（4）若要围出满足条件的矩形地块，且A8和8C的长均不小门m.请直接写出〃的取值范围.

7.如图所示，一次函数y=r+l与反比例函数y=4（xv。）的图象交于点A（T,〃?），与〉轴交于点B.

X

(I)求反比例函数的解析式；

(2)若点尸是x轴上的一个动点，连接AP,BP,当AP+82最小时，求点P的坐标.

8.如图1,在矩形4AC。中47?=4,40=3.动点"以每秒I个单位长度从点4出发，沿着ArC—A运动，当

点。到之8点时停止运动.动点。以每秒0.5个单位长度从点A出发，沿A-8方向运动，尸、Q两点同时停止运

动.点E为直线AC上的动点，满足4SAEQ=S八庭.设点尸，Q的运动时间均为X秒(0<x<8),记qAAP的面积

为凶，点E到4Q的距离为力.

7

6

5

4

3

2

1

12345678910x

图1

(1)请直接写出凶，上关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围;

(2)在给定的平面直角坐标系中画出X，乃的图象，并写出函数,的一条性质；

(3)结合函数图象，请直接写出当)1>为时工的取值范围.(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2).

9.如图，在平面直角坐标系X。、，中，一次函数的图象与反比例函数，=4。>0)的图象相交于A,8两点,

X

与x轴用交于点C,连接。昆-BOC的面积为

(1)求反比例函数的表达式；

(2)连接。4,并求VAO6的面积；

(3)将直线A8向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，请直接写出：直线48向下平移了几

个单位长度？

10.如图，已知直线)，=〃优+"〃[/0)与双曲线)，=々々=0)交于4-3,—1)与即?,6)两点，连接。4、OB.

(I)求直线与双曲线的表达式；

(2)求VAOB的面积.

II.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数N二工与反比例函数为=&(A>0,x>0)的图象相交于点A.

X

(2)点3为“轴正半轴上一点，且03=04,过点8垂直于工轴的直线分别交函数X、力的图象于点C、D,猜想8。

与CQ的数量关系，并证明.

12.在平面直角坐标系中，点0为坐标原点.如图，一次函数)，=<"+人(。为常数，)与反比例函数y=&a

JV

为常数，k/0)的图象相交于点4(2,5)和点A(〃L4).

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

⑵过点月作），轴的垂线，过点6作x釉的垂线，相交于点C；过点A作工轴的垂线，过点4作），轴的垂线，相交于

点D求证：C,。，。三点在同一条直线上.

13.如图，反比例函数y=A的图像与一次函数丁=以+〃的图像交于。（4,-3）,E（-3,4）两点，且一次函数图像交V

（I）求反比例函数与一次函数的解析式；

⑵求COK的面积.

14.设函数函数），2=&犬+力S，,〃是常数，人十（），勺/。）.

x

（1）若函数M和函数必的图像交于点42,6）,点8（4,〃-2）

①求人，〃的值.

②当时，直接写出x的取值范围.

（2）若点C（&〃?）在函数方的图像上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点。，点。恰好落在函数

M的图像上,求小的值.

4L

15.如图，在平面直角坐标系中，一次函数丁=可入与反比例函数y=上（女＞0）的图象相交于A（〃?,4）,B两点.

JX

(1)求〃，的值和反比例函数的解析式；

(2)若点C为坐标轴上一点，且满足求点C的坐标.

参考答案与解析

1.(1)/:=1m=2；

⑵唳,-2)

【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及坐标与图形性质，利用了待定系数法，熟练掌握此方

法是解本题的关键.

(1)由A为两函数的交点，故将A的坐标代入一次函数解析式中，得到关于女的方程，求出方程的解得到女的值；

将A的坐标代入反比例函数解析式中：得到关于〃?的方程，求出方程的解得到机的值；

(2)由(1)求出的A的值，确定出一次函数解析式，把x=T代入一次函数解析式求出y的值，即为B的纵坐标，

进而确定出点B的坐标.

【详解】(1)解：A(2,l)为一次函数与反比例函数图象的交点

.•.将x=2,y=l代入一次函数解析式得：l=2k-l

解得：4=1；

将x=2,y=l代入反比例函数解析式得：1=£

解得：〃?=2；

故答案为：Z=1m=2；

(2)解：•;k=\in=2

,2

：,y=x-\,y=-

X

•・,点8到y轴的距离为1

:.x=-\

.,y=-\-\=-2

3的坐标为(一1,一2).

3

2.(l)v,=——y=-x+2.

x2

(2)4：

(3)-1vxvO或x>3.

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象

(1)反比例函数)1=彳的图象过点4(-1,3)得4=-3,即可得反比例函数为y=-1,根据反比例函数的

图象过点仅3,〃)得〃=—1,则3(3,7),根据直线为=&/+〃过点火-1，3),3(3,-1)得|二七+，=3进行计算即可

3限一+〃=-1

得；

(2)令一次函数与'轴交于点C,与k轴交于点D,在必=r+2中，令》=0,则y=2,令y=0,即C(0,2),令y=0,

则一x+2=0,计算得x=2,即。(2,0),根据S△加8=5。℃+5“8+5*力8进行计算即可得：

(3)观察函数图象即可得；

掌握反比例函数的性质，一次函数的性质是解题的关键.

【详解】(I)解：:反比例函数y=:的图象过点A(-l,3)

kx=(-1)x3=-3

3

，反比例函数为X=——

x

3

•••反比例函数X=-±的图象过点仅3.〃)

x

3

.・.71=一=-17

3

・•・6(3,-1)

•・•直线%=■+〃过点1,3)伏3,-1)

•-k-/+b=3

3k2+/?=—!

・•・一次函数的解析式刈=-4+2；

(2)解：如图所示，令一次函数与)，轴交于点C,与x轴交于点。

在，2=—X+2中，令人=0,则y=2,令y=0,gpC(0,2)

令y=0,则r+2=()

x=2

即。(2,0)

S^AOH=S^AOC+SMOD+S^ODB

=—X2K1+—x2x2+—x2xl

222

=4；

(3)解：根据函数图象得，当时，-IvxvO或x>3.

3.(1)58(5,1)

(2)xv0或1cx<5

【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握数形结合思想的运用

(1)先把把x=5代入y=-x+6求得8的坐标，然后根据待定系数法即可求得〃?的值.

(2)根据图象求得即可.

【详解】(1)解：把x=5代入y=-x+6

得y=-5+6=l

••・8(5,1)

・••点8(5,1)在双曲线”竺上

X

••iTi=5x1—5

(2)由图象可知不等式r+6>'为xvO或1cx<5.

X

2

4.(1)v,=-x-\y2=――

X

(2)见解析

【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析，图形面积的计算是关键.

（1）运用待定系数法即可求解；

（2）根据作垂线的方法作图即可；

（3）根据题意运用V"C的面积=代入计算即可.

【详解】⑴解：•・•直线y=审+。与双曲线乃=§相交于A（—2,1）,8（〃?,—2）两点

k?=-2xl=-2m

/.k2=-2m=1

7

・••反比例函数解析式为为=，8（1,-2）

X

•••从（-2,1）和3（1,-2）在直线y={x+b图象上

[-2k.+b=\

t

[k]+b=-2

解得（二：

b=-\

・••一次函数解析式为1.

VA（-2,l）

C（-2,0）AC=1

由（1）可知8（1,-2）

•••VABC的面积=54。｛4一/）=耳乂1又［1—（一2）］=2.

5.（…尸

（2）见解析

【分析】（1）先根据点A可求得双曲线的解析式，进而求得点B的坐标为卜6,-£|；再将A（2,£|,的

坐标代入丁=〃次+〃得到关于m、n的一元二次方程，然后求解即可得到直线A8的表达式；

（2）根据垂直平分线的尺规作图方法和己知条件作图即可；

（3）先求得点。的坐标，则的中垂线为直线x=-2,再确定x=-2与双曲线的交点坐标即可解答.

【详解】（1）解：丁点42,。］在双曲线），=右

即攵=2x3=3.

222

・••反比例函数表达式为产:.

将点时5"4］代入尸3,得-!=2,解得a=-6

\2）x2a

••・点4的坐标为卜6,-g；

将《引，小一6,弓）的坐标代入产皿+〃.

3..

—=2m+n1

7in=—

得，解得4

——=-61n+n

2

・•・直线A8的表达式为.

（2）解：如图，直线P。即为所求.

・••点。的坐标为(T,0)

・,.OD的中垂线为直线x=-2

33

・•・当x=-2时y=-=-^-.

x2

•••点Q的坐标为

【点睛】本题主要考查J'一次函数和反比例函数的综合、求函数解析式、垂直平分线的尺规作图笔知识点，掌握数

形结合思想是解答本题的关键.

6.(1)4.2(2)不能围出，理由见详解(3)图见详解，a=8(4)8<«<17

【分析】(1)依题意，且观察图象即可得出A8=4m6C=2m；

Q

(2)观察图象得到6与函数,，=一图象没有交点，所以不能围出；

x

(3)平移直线)，=-2犬通过(2,4),将点(2,4)代入〉，=-2工+%解得〃=8；

(4)/山和的长均不小于血，所以1CW8,直线y=-2x+a在乙上面或之间移动，可得求。的范围.

本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和反比例函数图象的交点问题.

【详解】解：(1)・・・反比例函数)，=?£>0)的图象与直线4：丁=-21+10的交点坐标为(1,8)和(4,2),且为BC

为皿

•**AB=4niBC=2m：

故答案为:4；2；

(2)不能围出，理由如下；

y=-2i+6的图象，如图中，2所示：

Q

《与函数)，=9图象没有交点

•••不能围出面积为8加的矩形.

(3)如图中直线A所示：

将点(2,4)代入)，=-2工+〃，解得.=8.

(4)和4c的长均不小于

:.x>l”1

.••产哈

X

x48

如图所示，直线y=-2x+a在上面或之间移动

把(81)代入y=-2x+a得。=17

/.8<«<17

7.⑴)=’

x

(2)尸鸟,0

【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数，移项函数的图象与性质，最短路径的

求解•，即可.

(1)把点八(1,7力代入一次函数)，=711,求出现；把点A代入反比例函数)，=々“<0),即可；

X

(2)作A点关于x轴的对称点连接48,与％轴的交点即为点f，连接AP：当4尸，4三点共线时，AP+Q8的

值最小，根据点对称的性质，一次函数的性质，即可.

【详解】(I)•・•点A(T〃。在一次函数图象上

7W=-(-1)+1=2

••・点A(T,2)

•••点A在反比例函数图象上

•.•29=—忆

-1

解得：k=-2

工反比例函数的解析式为：y=—.

x

(2)作A点关于x轴的对称点4,连接44,与x轴的交点即为点P,连接AP

/.2)

当A,P,8三点共线时，AP+P8的值最小，即AP+尸3=A8

・•・设直线48的解析式为：y=ax+\

•••A(T—2)在直线上

-2=—a+1

解得：。=3

・•・设直线48的解析式为：y=3x+1

•・•点2在直线A为上

0=3x+1

解得：x=

(2)见解析；当0vxv5时丁随x的增大而增大，当5cx<8时〉随工的增大而减小

(3)2.2<x<7,6

【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，反比例函数解析式，一次函数的解析式，根据解析式画函数的图象

等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识.

3

(1)分两种情况讨论，当0<x<5时，作相_LAB于点尸，利用正弦函数的定义求得/^=《不，利用三角形面积

公式列式计算求解即可；当5cx<8时，求得8P=8T,利用三角形面积公式列式计算求解即可；求得

%8C=；X4X3=6,根据45.EQ=S皿，据此求解即可；

(2)列表，描点，连线，作出函数图象，根据图形，即可写出函数力的一条性质；

(3)教形结合，即可求解.

【详解】(1)解：当0<xW5时，作叩_LA4于点〃，如图

•*-4C=\/32+42=5

CBPF

sin/C4B=

AC-AP

.3PF

••一=—

5x

3

••・PF=-x

5

=-ABxPF=-x

25

当5c<8时，如图

VBP=8-x,/.y,=^ABxPB=-2x+\6

-x(O<x<5)

综上)i=5')；

-2.r+16(5<x<8)

•・・S△AM=；X4X3=6

，S八仅=5破乃=］旦2

•••f4qAEQ-_UqABC

/.4X；.D12=6

/.y2=—(0<A<8)；

(2)解:列表:

X0123568

6

060

5

3

力6321

4

描点，连线，作出函数图象如下:

函数必的一条性质：当0<x<5时)，随x的增大而增大，当5Vx<8时旷随4的增大而减小；

(3)解：当%时大的取值范围:2.2<x<7.6.

4

9.(1)反比例函数的表达式为)，=一

x

(2)SA.=7.5

(3)直线向下平移了1个单位长度或9个单位长度

【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象和性质，以及一元二次方程.

(1)设点4的坐标为包⑼，根据S△取、=g(X”,可求得点8的坐标，进而可求得答案；

44

(2)根据一次函数y=-x+5的图象与反比例函数)，=?的图象相交于A,8两点，可得—+5=J进而可求得点4

的坐标；

(3)设直线A5平移后的表达式为，，=—+"根据一次函数y=T+。的图象与反比例函数y=±的图象相交于一点,

X

4

可得_“•+〃=一,利用根的判别式解答即可.

x

【详解】(1)解：设点B的坐标为(“〃).

令y=。，则0=-4+5

解得x=5

，点。的坐标为(5.0)

*.*580c=—OC*b=—b=—,解得力=1.

・••点8的坐标为(4.1).

因为反比例函数丁=々々＞0)的图象过点小4,1),得1=：

.X

解得左=4.

・••反比例函数的表达式为y=4J

x

解得用=1々=4.

••・点A的坐标为(1,4).

=S^AOC-S80c=2OC-=I0-|=7.5；

(3)解：直线A8向下平移了1个单位长度或9个单位长度，理由如下：

设直线平移后的表达式为y=T+〃

由一次函数kr+〃的图象与反比例函数)，=之4的图象相交于一点，^-x+b=4-

xx

变形，得丁-加+4=0

4

•・•一次函数产r+力的图象与反比例函数），=上的图象只有一个交点

x

AA=（-Z?）2-16=0

解得：4=4b2=-4

••・5+4=9或5—4=1

・•・直线A4向下平移了1个单位长度或9个单位长度.

10.（1）反比例函数的解析式是y=3；一次函数的解析式是y=2x+5；

X

⑵

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数的解析式，（1）把A的坐标代入反比例函数

的解析式求得A的值，然后代入4的坐标求得〃的值，利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）首先求得与

）'轴的交点坐标，根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】（1）解：把人（一3,—1）代入y=A得攵=3

X

则反比例函数的解析式是尸士3；

把8（〃，6）代入），=：得〃=g,即

-3w+Z?=-1

m=2

根据题意得1-，解得•

—m+b=6b=5

2

则一次函数的解析式是丁=2x+5；

（2）解：在），二2彳+5中，令x=O,解得了=5

则SQ=；X5心+3）=弓.

H.（D4

（2）8。=。。，证明见解析

【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的综合，勾股定理的应用，二次根式的除法运算；

（1）先求解点A坐标为（2,2）,代入乃="可得攵的值；

X

（2）设4。m）（加＞0）,可得Ar』OA=4病+m?=鬲，可得反比例函数为：V=—»结合03=04,可

x

得可再进一步求解即可.

【详解】（1）解：•・・A点在正比例函数M二1上，且点A的横坐标为2

把x=2代入》二工中，得至Uy=2

，点A坐标为（2,2）

•・•点A在反比例函数为=或图象上

X

将A（2,2）代入到反比例函数得4=4；

（2）解：BD=CD,理由如下：

,/正比例函数N二1与反比例函数为=々攵>0,X>0）的图象相交于点A.

‘设AV","*"?>。）

k=nrOA=\jnr+m2=42m

・••反比例函数为：），=f

'：OB=OA

：.B（V2m,0）

,62&r-

・・）%=诉=亏〃？yc=>J2m

BD=mCD=\[2m-m=m

222

/.BD=CD；

12.（1）反比例函数解析式为），="，一次函数解析式为y=2x+l

x

（2）证明见解析

【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：

（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出

点B的坐标，最后把点4和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可;

（2）先根据题意求出C、。坐标，进而求出直线OC,直线。。的解析式即可得到答案.

【详解】（1）解：把A（2,5）代入），=人中得：&=2x5=10

X

，反比例函数解析式为），=3

X

把8（〃?,—4）代入y=?中得-4=3,解得加=一|

2k+b=5

把A（2,5）,代入），="+》中得：.5,,，

I1/——k+b=-4

2

，一次函数解析式为)，=21+1；

(2)证明：•・•过点A作)，轴的垂线，过点8作x轴的垂线，相交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作)，轴的垂

线，相交于点。

••.0卜|,5),D(2,-4)

同理可得直线OD解析式为y=-2x,直线OC解析式为)，=-2x

AC,0,。三点在同一条直线上.

1?

13.⑴反比例函数解析式为)，二-=，一次函数解析式为y=r+i；

X

⑵3.5

【分析】(I)将点代入函数解析式求解参数即可；

(2)利用割补法，将三角形面积拆为两个规则三角形，再求出解析式与y轴交点，求解出三角形面积.

【详解】(I)将点C(4,—3)代入y=&得：

.X

:.k=-12

19

・••反比例函数解析式为y=-工；

x

将点C(4,-3),七(一3,4)代入一次函数y=以+力得:

-3=4a+b

4=-3a+h

d=-1

解得

b=\

・•・一次函数解析式为)，=-X+l；

(2)将x=()代入一次函数解析式为