集合与常用逻辑用语 全章综合测试卷（基础篇）-人教A版高中数学必修第一册（解析版）

第一章集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（基础篇）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）（23-24高一上.河北.阶段练习）下列对象能构成集合的是（）

A.本班成绩较好的同学全体B.与10接近的实数全体

C.绝对值小于5的整数全体D.本班兴趣广泛的学生

【解题思路】根据集合的概念逐项判断即可.

【解答过程】对于A,成绩较好不是一个确定的概念，不能构成集合，故A不符合；

对于B,与10接近的不是一个确定的概念，不能构成集合，故B不符合；

对于C,绝对值小于5的整数全体是个明确的概念，并且给定•个元素能确定是否属于这个整体，故能构成

集合，故C符合：

对于D,兴趣广泛的不是一个确定的概念，不能构成集合，故D不符合.

故选：C.

2.（5分）（23-24高二下.江西赣州.期末）已知命题p:Vx>0,e”工x+1,则为（）

A.Vx<0,ex<%4-1B.Vx>0,ex<x+1

C.3x<0,ex<x+1D.3%>0,ex<%+1

【解题思路】全称量词命题的否定，首先把全称量词改成存在量词，然后把后面结论改否定即可.

【解答过程】因为命题口："4>0,那工工+1是全称量词命题，则命题「p为存在量词命题，

由全称量词命题的否定得，命题「p：3x>0,ex<x+l.

故选：D.

3.（5分）（23-24高二下.广东梅州.期末）若％,y€R,则“x>y”是>丫2，，的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充分必要

【解题思路】举反例可得结论.

【解答过程】由3>-4,得不出32>（—4）2,

所以七>y”是2>婷，的不充分条件，

又（-3）2>22,得不出一3>2,

所以气>y”是2>y2，，的不必要条件，

所以">y”是"/>y2，，的既不充分也不必要条件.

故选:C.

4.（5分）（23-24高一上.广东韶关.阶段练习）若力={x|/=x},则下列说法正确的是（）

A.B.{1）=71

C.{-1,1}QAD.{0}QA

【解题思路】求出集合A后，根据集合间的关系逐项判断即可.

【解答过程】4={%|=2=行={0,1},{0}是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误；

{1}工[0,1},故B错误;-1{0.1},故C错误；0G{0,1},故D正确.

故选：D.

5.（5分）（23-24高三下.江西.阶段练习）已知<={X|%2—QX+IWO},若2W/1,且3£4则a的取值

范围是（）

A•储）B.（消C.生+8）D.（-哨

【解题思路】根据题目条件得到不等式，求山答案.

【解答过程】由题意得4一2。+1工0且9-3。+1>0,解得qWavg.

故选：A.

6.（5分）（23-24高二下•重庆・期末）已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={3,4,5],则力U（FAC）=（）

A.{3}B.{1,2,3,4}C.{1,235}D.{1,234,5}

【解题思路】利用集合的交集的运算得到Bnc,再由集合的并集运算得到AU（Bnc）.

【解答过程】因为2={234},C={3,4,5）,

所以8nC={3,4},又4={1,2,3},

所以AU（BnC）={l,2,3,4）.

故选：B.

7.（5分）（23-24高二下•内蒙古呼和浩特•期末）若命题“VxER,/一4%+Q装0”为假命题，则实数Q的

取值范围是（）

A.（—co,4]B.（—8,4）C.（—00,-4）D.[—4,H-oo）

【解题思路】依题意可得FxER,/一4%+。=0，，是真命题，根据A工0求出参数的取值范围.

【解答过程】因为/-4X+QH0”为假命题，

所以FxWR,x2-4x+a=0”是真命题，

即方程/-4%+。=0有实数根，则A=（-4）2-4aN0,解得a44,

即实数a的取值范围是（一8,4].

故选：A.

8.（5分）（2024•新疆・三模）如图，集合4,B均为U的子集，（Qmn（QB）表示的区域为（）

【解题思路】根据补集的运算性质及维恩图得解.

【解答过程】因为（Q4）n（QB）=QUUB）,

由维恩图可知，QG4U8）表示的区域为L

故选:A.

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）（23-24高一上•陕西汉中•期中）下列说法中不正确的是（）

A.。与｛0｝表示同一个集合；

B.集合｛1,2,3｝与｛3,2,1｝是两个相同的集合；

C.方程（无-l）2（x-2）=0的所有解组成的集合可表示为｛112｝；

D.集合以14VXV5｝可以用列举法表示.

【解题思路】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论.

【解答过程】0是元素不是集合，｛0｝表示以0为元素的一个集合，故A错误：

集合｛1,2,3｝与｛3,2,1｝的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确：

方程1）2（%-2）=0的所有解组成的集合可表示为｛1,2｝,集合中的元素是不同的，故C错误；

集合｛x|4<%V5｝表示大于4小于5的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示,

故D错误.

故选：ACD.

10.（5分）（23-24高.一上•内蒙占呼伦贝尔・期末）（多选题）下列命题是假命题的有（）

A.VxGR,x3>0B.3%GR,x3=3

C.3%€｛-2,-1,0,1,2）,|X-2|<2D.Va,b€R,方程ax+Z?=0恰有一解

【解题思路】根据全称量词命题和存在量词命题，代入数值，即可判断选项.

【解答过程】Aa=-1,（-1）3=-1<0,故A错误；

B.x3=3,得％=V3,故B正确；

C.当％=1和2时，满足|%-2|<2成立，故C正确；

D.当。=0/=1时，方程为1=0,无解，故D错误.

故选：AD.

II.（5分）（23-24高二下.山东泰安・期末）下列叙述中不正确的是（）

A.若a,b,cwR,则“不等式a/+bx+cN0恒成立”的充要条件是“非一4ac<0"；

B.若a,b,cWR,则忆/>的2”的充要条件是“a>c”；

C."Q<1”是“方程/+%+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；

D.“a>1”是是<1”的充分不必要条件.

a

【解题思路】对于AB,举例判断即可，对于C,当方程有一正根和一负根时，求出a的范围，然后根据充

分条件和必要条件的定义分析判断，对于由求出的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义分

D,aa

析判断.

【解答过程】对于A,当Q<0时，若〃一4碇工0,则a/+bz+cW0恒成立，所以A错误，

对于B,当b=0时，由Q>c推不出ab?>”2,所以B错误，

对于C,当方程/+%+。=0有一个正根和一个负根时，有，石彳=。<、（\，解得av。，

<△=1-4a>0

因为a<0能推出a<1,而a<1不一定有Q<0,

所以“a<1”是“方程/+%+。=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，所以C正确，

对于D,由2VI,得U<0,得aV0或a>1,

aa

所以“a>1”是a<「的充分不必要条件，所以D正确，

a

故选：AB.

12.（5分）（23・24高三上•河北衡水•阶段练习）水知集合A={0,l},B={%|--2%+a=0,QeA},若集

合C满足CcB且Cn400,则下列说法正确的是（）

A.8={1,2}B.B={0,1,2）

C.集合。的个数为6D.集合C的个数为5

【解题思路】解集合4中的方程，得集合3,由已知列举出集合C,验证选项即可.

【解答过程】a64当。=0时，方程/-2x+a=0的解为％=0或%=2；

当a=l时，方程为2一2x+a=0的解为％=1,

得8={0,1,2},A选项错误，B选项正确；

由且Cn4，0,则/={0},{1},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},共6个.

C选项正确，D选项错误.

故选：BC.

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）（23-24高一上•云南曲靖•阶段练习）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是_

【解题思路】看图得出x，y的取循范围，用集合的描述法表示出来即可.

【解答过程】由图如，0<k<2,0<y<l,所以由集合的描述法可知（Q,y）|0<尤<2,0<y<1}.

故答案为：{（x,y）|0<x<2,0<y<1}.

14.（5分）（23-24高二下•重庆•阶段练习）若不等式优—3|Wa成立的一个充分不必要条件是-1WxW7,

则实数a的取值范围为（4.+8）.

【解题思路】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.

【解答过程】由1%-3|4Q=3-Q工工43+Q,

因为不等式1%-31<a成立的一个充分不必要条件是-1<x<7,

所以有等号不同时成立，a2%

当a=4时，一1三%工7是不等式3-3|Wa成立的充要条件，不符合题意，

所以a>4,实数Q的取值范围为（4,+8）.

故答案为：（4,+00）.

15.（5分）（23-24高一上•福建莆田•阶段练习）已知命题p：”VxG[1,2],x2-a>0”，命题q:“比£R,/+

2ax+4=O'\若命题「p和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是[2,+8）.

【解题思路】根据题意，分别求得命题「p和命题q都是真命题时，实数a的取值范围，列出不等式组，即可

求解.

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【解答过程】由命题p:“VxG[1,2],x-a>0”,可得a<（x）min=1,

因为命题「p为真命题，所以a>l：

又由命题CR,x2\2ax14=0"，可得△=4a2-16>0,解得a>2或a<-2,

因为命题「p和命题q都是真命题，所以{a>2或QV_2，解得a之2,

所以实数a的取值范围为［2,4-00）.

故答案为：［2,+8）.

16.（5分）（23-24高二下•浙江宁波・期末）已知集合用={2,0,-1},N={xI|x-a|<1}.若MnN的真

子集个数是3,则实数a的取值范围是—l<avO.

【解题思路】MnW的真子集个数是3,所以共有2个元素•，分MC\N={-1,。}和时n/v={。,24两种情况即

可解出答案.

【解答过程】MnN的真子集个数是3,MCN共有n个元素，所以2n-1=3,n=2.

N={x\|x-a|<1}={xIa—1<x<1+a］

若MCN={—1,O},则有，T<QVO；

若MrA={0,2},则有［T&J=1：°,无解.

综上所述：实数a的取值范围是一1<Q<0.

故答案为：—1<aV0.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）（2024高一上•全国•专题练习）用描述法表示下列集合：

（1）不等式2%-3<1的解组成的集合人

（2）被3除余2的正整数的集合8；

（3）（?={2,4,6,8,10）；

（4）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.

【解题思路】（1）先确定集合A中的代表元素是数相再确定集合中代表元素满足的条件2%-3<1即可解

答.

（2）先确定集合8中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件工=3n+2,nWN即可解答.

（3）先确定集合。中的代表元素是数*再确定集合中代表元素满足的条件％=2n,n<5,nGN*即可解答.

（4）先确定集合。中的代表元索是点（%,y）；再确定集合中代表元素满足的条件》<0,y>0即可解答.

【解答过程】（1）因为不等式2%-3<1的解组成的集合为4

则集合力中的元素是数.

设代表元素为X，

则上满足2%-3V1,

所以A={x\2x—3<1},即4=[x\x<2}.

(2)设被3除余2的数为x,

则x=3n4-2,neZ.

又因为元素为正整数，

故x=3n+2,neN.

所以被3除余2的正整数的集合B={x\x=3n+2,nGN)

(3)设偶数为x,

则％=2n,nGZ.

但元素是2,4,6,8,10,

所以％=2n,n<5,nEN*.

所以C={x\x=2n,n<5,nEN*}.

(4)因为平面直角坐标系中第二象限内的点(x,y)的摘坐标为负，纵坐标为正，即尤<0,y>0,

故第二象限内的点的集合为。={i：x,y)|x<0,y>0}.

18.(12分)(23-24高一上.新疆.阶段练习)写出下列命题的否定，并判断其真假：

(l)p:VxGR,x2+x+1>0；

(2)p：有些三角形的三条边相等；

(3)p：菱形的对角线互相垂直；

(4)p:3%eN,x2-2x4-1<0.

【解题思路】根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题进行求解判断即可.

【解答过程】(I)易知原命题的否定为：->pT%ER/2+%+1工0,

2

显然/+%+1=(%+3+^>0»故为假命题；

(2)易知原命题的否定为：」p：所有的三角形的三条边不都相等，

因为正三角形的三条边相等，则命题〃是真命题，则」p是假命题；

(3)易知原命题的否定为：「p：存在一个菱形，则它的对角线互相不垂直，

显然原命题是真命题，则是假命题；

(4)易知原命题的否定为：[p:VxEN,/-2%+1>0.

显然当％=1时，%2-2x+1=。-I)2=0,则命题」p为假命题.

19.(12分)(23-24高一上•安徽马鞍山•阶段练习)已知集合力={灯-2Vx<6},8={x|a<%Vb},其

中a,b(a<b)是关于x的方程(x3m)(x+m)=0(m>0)的两个不同的实数根.

(1)若4=8,求出实数m的值：

(2)若AG8,求实数771的取值范围.

【解题思路】(1)先根据4=8得到。=-2/=6,结合方程的两根得到方程，求出血=2；

(2)AQB,故。工一2,匕26,结合方程的两根得到不等式，求出m工2.

【解答过程】(1)因为4=B,故Q=-2,b=6,

乂(x-3m)(x+m)=0(?n>0)的两根分别为-m,3m,

故一m=—2,3m=6,

故血=2；

(2)因为故QW-2,b\6,

又(x-3m)(x+TH)=0(m>0)的两根分别为-m,3m,

故门篇Z解得

故实数m的取值范围是[2,+8).

20.(12分)(23-24高一下•陕西榆林•阶段练习)已知p：实数丫满足集合A={x|aWxWQ+2},q：实数

x满足集合B=[x\x<-1或%>4).

(I)若Q=-2,求力UB；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数Q的取值范围.

【解题思路】(1)利用并集概念及运算即可得到结果；

(2)因为p是q的充分不必要条件•，所以4是B的真子集，列出条件即可求解.

【解答过程】(1)因为。=-2,所以A={%|-2WxWO},又8=卜优£一1或％24},

所以力UB=[x\x<0或%>4]：

(2)因为p是q的充分不必要条件，所以4是B的真子集，所以Q+24一1或

所以a<一3或a>4.

21.(12分)(23-24高二下•江西南昌・期中)设集合力={万一1WxW2},B={x\2m<x<3],

(1)若加=1,求4U8,(1力)C8；

(2)若Bn(0力)中只有一个整数，求实数机的取值范围.

【解题思路】(1)根据条件得到B={x|2VXV3},再利用集合的运算即可求出结果；

(2)由(1)知CRA={x|xV-l或%>2},根据条件，借助数轴，即可求出结果.

【解答过程】(1)因为m=1,所以8=(x\2<x<3},

又H=(x\-1<x<2],所以CR/I={x\x<-1或%>2},

所以AUB={x|-1<x<3},"）nB={x|2<x<3].

（2）由（1）如CRA={x|x<-1或%>2},又BC（CRA）中只有一个整数，

由图知，B手。,且一3W2mV-2,+

1B[-口

-32加-2-101