高考数学一轮复习：基本不等式的综合应用

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明

7.5基本不等式的综合应用

题型一基本不等式与其他知识交汇的最值问题

例1（1）（2022•成都模拟）已知直线ax十切，一1=0（4>0,台>0）与圆.F+y2=4相切，贝I」log2a十

10g2/7的最大值为（）

A.3B.2C.-2D.-3

答案D

解析因为直线1=0（«>0,历>0）与圆/+,2=4相切，

所以L,2=2,即/+方2=，

a-rb-一

因为a2~}~b2>2ab,

所以必当且仅当〃=人时，等号成立），

所以logza4-log2/>=log2（aZj）<log2g=—3,

所以log2〃+log2b的最大值为-3.

（2）（2022・合肥质检）若仆ABC的内角满足sin4+sinC=2sinA,贝l」（）

A.A的最大值为:

B.A的最大值为空

C.A的最小值为：

D.A的最小值为会

答案A

解析Vsin8+sinC=2sinA.

\b-\-c=2a.

由余弦定理知

8sA_2bc~2bc

22

—3b+c~2bc>6bc-2bc=I

8bc-8bc-2'

当且仅当》=c时取等号.

又A£（0,兀），

・・・0<4］，即A的最大值为;.

【教师备选】

已知椭圆：+/=13>/>0)的两焦点分别为Q，”2.若椭圆上有一点P，使所_LP@,则，的

取值范围是()

2

A.(0,\B(0,2

2

C.；D.2,1)

答案B

解析设IPQI=阳，IPBI=〃，

则"?+〃=2〃，〃?2+〃2=4C，，

:.2mn=4a2—4C2=4Z?2,

又痴好严打，

即4M

A2b2<a2,/.0<<.

ci9乙

思维升华基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，一般

利用常数代换法求最值，要注意最值成立的条件.

跟踪训练1(1)若〃>0,历>0,且函数/(1)=4/一”2一2反+2在X=1处有极值，则:+，的最

小值等于()

31

A.2B.2C.2D.1

答案B

解析•・•函数火x)=4/—ad-2"+2在x=\处有极值，

：,f(x)=\lx2-2ax~2b,

则/⑴=12—2〃-2方=0,

即a+b=6,

又«>0,/?>().

5,1b4a3

无+6、2躇=2,

当且仅当加=力=4时，等号成立.

此时满足在x=l处有极值.

・•・：1+；4的最小值等于3;.

CAU4

(2)已知数列｛m｝是等比数列，若42。5。8=—8,则制+90的最大值为

答案T2

解析Vfl2«5f/8=-8,

:.况=—8,

:.45=—2,

。9<0,

。9+9。|=一(―69—9。1)

<-2(19—9ai

=—29。1。9

=-29・后

=-12,

当且仅当-49=-9。1时取等号.

题型二求参数值或取值范围

例2(1)已知函数火x)=4x+：(.v>0,4>0)在x=3时取得最小值，则a等于()

A.6B.8C.16D.36

答案D

解析因为f(,x)=4A-+：(.v>0,,

故4x+324工."=4a,

X.X

当且仅当4x=：,

人

即1=f时取等号，

故2=3,(1—36.

49”1

(2)已知x,'，属于正实数，若不等式7恒成立，则实数〃?的取值范围是()

入y工十丁

A.(―oc,9]B.(—oo,16]

C.(—co,25]D.(—oo,36]

答案C

解析因为x,y属于正实数，

所以不等式&恒成立，

xyx+y

即tn<Q+y)x+y血，

因为（：+；）a+y）

=13+3

x>'

>13+24y.%=25,

xy

当且仅当?=?,即3x=2y时，等号成立，

所以〃£25.

【教师备选】

（2022•沙坪坝模拟）已知函数^x）=2?+3x（xeR）,若不等式对任意实数

仑1恒成立，则实数团的取值范围为（）

A.(―cc,—2)U(2,+oo)

B(-8,3

C.(—8,—2)

D.(-2,-2)

答案C

解析；/5)的定义域为R,

且|-x)=—2/—3x=—4r),・・.・/(x)是奇函数，

且人幻在R上单调递增，

则不等式式2〃?+加产)+火“<0等价于<2〃?+"6v-4t),

At

/.2/7?+/z:/2<—4/,即〃?<一,+2对仑1恒成立，

4/_44

尸+2=一.2--22,

士2J

2

当且仅当即/=2时等号成立,

m<—2.

思维升华求参数的值或取值范围时，要观察题目的特点.利用基本不等式确定等号成立的

条件，从而得到参数的值或范围.

跟踪训练2(1)(2022・杭什模拟)已知k£R,贝厂对任意a2+b2>kab^k<2^()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析因为对任意a,

有a2-}~h2>2ab,

而对任意a,b£R,cr+tr>kah,

所以一2WK2,

因为［-2,2］是(-8,2］的真子集，

所以“对任意。，，+序%〃〃”是“七2”的充分不必要条件.

(2)(2022.济宁质检)命题〃：3xG(0,+oo),/一云+1=(),当p是真命题时，则2的取值范

围是­

答案［2,+8)

解析依题意，方程X2-Ar+1=。有正解，

即有正解，

又A>0时，x+92,

题型三基本不等式的实际应用

例3小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第

二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该

车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第X年年底出售，

其销售价格为(25—x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年).

(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？

(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润=累计收入+销售收

入一总支出)

解(1)设大货车运输到第x年年底，

该车运输累计收入与总支出的差为「万元，

贝x£N')，

由一『+204一50>0,可得10—52<x<10.

因为2<10—52v3,

所以大货车运输到第3年华底，该车运输累计收入超过总支出.

(2)因为利润=累计收入+销售收入一总支出，

所以二手车出售后，

小王的年平均利润为)'+，―*=19-(x+为19—225=9,当且仅当x=?,即1=5

时，等号成立，

所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大.

【教师备选】

某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良

好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏

目，这三栏的面积之和为60000cm2,四周空白的宽度为iocm,栏与栏之间的中缝空白的

宽度为5cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是

________cm2.

答案72600

解析设矩形栏目的高为ocm,宽为bcm,

由题意可得3时=60000,

所以"=20000,即)==广，

所以该海报的高为(a+20)cm,

宽为(3b+10x2+5x2)cm,即(3b+30)cm,

所以整个矩形海报面积

S=(。+20)(3力+30)=3ab+30。+60/7+600

=303+28)+60600=30(G+也詈)+60600

40000

>30x2+60600

=30x400+60600=72600,

当且仅当。=也詈，即4=200时等号成立，

所以当广告栏目的高为200cm,宽为100cm时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是

72600cm2.

思维升华利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足

实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.

跟踪训练3网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主

要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验

安装结合的俏售模式.根据几个月运营发现，产品的月骨量x万件与投入实体店体验安装的

费用/万元之间满足函数关系式x=3—后.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产

品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的

实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是万元.

答案37.5

解析由题意知/=3：工-1（10<3）,设该公司的月利润为y万元，则），=（32xl50%+j1一

32x—3r=16L，3=&-3，+；—3=45.5—[163r,11

+3_a<45.5-216=37.5,

当且仅当时取等号，

即最大月利润为37.5万元.

课时精练

。基础保分练

2

1.（2022•苏州模拟）设直线/与曲线），=/一：+1相切，则/斜率的最小值为（）

A.6B.4C.26D.32

答案C

解析因为.#0,所以『>0,

因为y=3f+1z26（当且仅当3/=[,等号成立），

所以/斜率的最小值为26.

2.（2021・新高考全国I）已知人，尸2是椭圆。：：+[=1的两个焦点，点"在C上，则IMQIIM"

的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

答案C

解析由椭圆+J

得IMFil+lMF2l=2x3=6,

则IA/ai,IMF2lJ""7"""）2=32=9,当且仅当|Mai=IMQjl=3时等号成立.

3.（2022•北京人大附中模拟）数列｛〃〃｝是等差数列，｛瓦｝是各项均为正数的等比数列，公比

q>L且。5=儿,则（)

A.。3+。7>儿+以B.。3+。72加+以

C.。3+。7</川+〃6D.。3+。7=〃4+〃6

答案C

解析因为数列｛“〃｝是等差数列,｛瓦｝是各项均为正数的等比数列,

所以a3+cn=2(i5=2b5,

儿+Z?它2bibe=2bs»

所以673+d7</?4+Z?6,

又因为公比（7>1,

所以。3+。7</?4+尻.

4.已知不等式（1+），壮+；，9对任意正实数x,y恒成立，则正实数。的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

答案B

解析已知不等式（工+），）©+；19对任意正实数达），恒成立，只要求（x+y）G+9的最小值

大于或等于9,

•••（、+m+5=1+。+港

2a+2a+1,

当且仅当y=“X时，等号成立，

1•a+21>9,

:.e2或好一4（舍去），.•.色4,

即正实数。的最小值为4.

5.（2022•湖南五市十校联考）原油作为“工业血液"黑色黄金"，其价格的波动牵动着整个化工

产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有

两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正

确的是()

A.第一种方案更划算

B.第二种方案更划算

C.两种方案一样

D.无法确定

答案B

解析设小李这两次加油的油价分别为x元/升、)，元/升(跖卬)，则

方案一：两次加油平均价格为

40x+40yx+丫

80=丁"岁'

方案二：两次加油平均价格为

4002xy

200+200^x4-/种

x十y

故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算.

6.已知p：存在实数x,使4、+2工〃?+1=0成立，若^夕是假命题，则实数〃?的取值范围是

()

A.(―co,-21B.(-00,-2)

C.(0,+8)D.(1»+8)

答案A

解析••飞弟〃为假命题，；.p为真命题，

即关于方的方程4、+2工加-1=0有解.

由4"+2，〃?+1=0,

得m=-2x—y=_(2*+3

<-22工卜一2,

当且仅当2、=*,即x=()时，取等号.

的取值范围为（-8,—2J.

7.（2022•焦作质检）若数列｛〃“｝满足s=9,m-|+〃=°“+1（后2且〃£N），则:'的最小值为

（）

,7八18Jr9

A.,B.«C.々D.0

答案A

解析因为数列｛m｝满足G=9,4”-1+〃=〃”+1（论2且"EN"）,

所以ai+2=G+1,

解得。1=8,

所以。”=。2—41+43-02+44—03+…+4“一。"

-1+2+3+…+，?-1+8

“2—〃+16

2

*2167

〃•2'

当且仅当〃=；,即〃=4时，等号成立，

所以::的最小值为;.

8.如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料A8CD,其顶点

A,B在直径上，顶点C,。在圆周上，则矩形人BCO面积的最大值为（单位：cn?）（）

A.8B.10C.16D.20

答案C

解析连接。C,如图，设BC=X,则0B=I6-X2,

所以A8=216-x2,

所以矩形ABC。的面积

S=2x16—.一,文£（0,4）,

S=2x16—AT=2x216—x2

力2+16—r=16,

当且仅当r=16—X2,即4=22时取等号，此时Smax=16.

9.已知向量/«=（人,2）,n=（3,y—）>0），若m_",则八）,的最大值为.

答案24

解析因为向量m=（x,2）,〃=（3,厂；），

且mln,

所以3X+2Q—：）=0,即3x+2y=l.

因为x>0,）>0,

所以l=3x+2y>23xx2y,

即突。

当且仅当3A=2J=2，

即x=：,y=；时取等号.

10.在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出

并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形

斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5,则这个直角三角形周

长的最大值为.

答案52+5

解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a,b,

则层+丛=25.

因为（4+6）2=25+2“区25+2x\

所以3+32$50,

所以5va+后52,

52

当且仅当a=b=2时，等号成立.

故这个直角三角形周长的最大值为52+5.

11.已知I员ICi：W+y+4zx+a/—4=0和圆。2：炉十炉―2勿+〃-1=0只有一条公切线，

若a,力£1＜且〃厚0,则，2+：2的最小值为.

答案9

解析因为圆Ci：/+9+公才+船?-4=0和圆。2：AT+J2—2/?y+/r—1=0只有一条公切线，

所以两圆相内切，其中。（一加,0）,n=2；C2（0,b）,肛=1,

故ICiC2l=4a2+b2,

由题设可知4a2+b2=2—l=^4a2-bb2=1,

所以（4/+以2+；2）=3+。+5

_4/b2

-2户/+5=9，

当且仅当/=2/时等号成立.

12.（2022•北京朝阳区模拟）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元.现

计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数〃，（单位：万件）与广告费

2

用x（单位：万元）符合函数模型机若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应

投入万元.

答案3

解析设李明获得的利润为人外万元，则於0,

则flx）=8/nr=8（3-；）r

=24-x

x+1

「

=25++161+।”+1,I.

＜25-2*x+1=25-8=17,

x+1

当且仅当x+1=

x+1

因为.ao,即当x=3时，等号成立.

C技能提升练

13.（2022•柳州模拟）己知△/1BC中，a2+b2-c2=ab＞c2,则△人BC一定是（）

A.B.钝角三角形

C.直角三角形D.等腰三角形

答案A

解析由/+/—。2=＜力,

E1八_/+从一—abI

C=2ab=2ab

cos2，

又因为0。＜。＜180。，

所以C=60°,

因为/+序一c222出2—C，2,当且仅当4=〃时取等号，

即帅之2"一,2,解得。丘，

又因为ab＞c2,

所以出＞=《2,且时取等号,

因为C=60°,

所以△ABC一定是等边三角形.

14.(2022・武汉模拟)已知平面向量次，彷，历为三个单位向量，且〈况，协〉=120°,

若求=工况+)，初(x,y£R),则x+y的取值范围为.

答案[-2,2]

解析由反t=x(5A+y加，

两边同时平方得

元=(.苏+y加2,

即OC2=x2OA2+y2^2+2xyd\-013,

•・•平面向量次，加，求为三个单位向量，且〈次，oh>=120。，

/•x1+y2—