2026年中考数学二轮复习：二次函数综合题考点（学案）

二次函数综合题

类型一二次函数与线段有关问题

一阶设问突破

方法解读

1.求线段长

⑴与X轴垂直的线段的长：纵坐标相减（上减下）；

⑵与y轴垂直的线段的长：横坐标相减（右减左）.

2.线段数量关系问题

若两条线段的长均可计算或表示出来，直接根据线段数量关系列方程即可求解，

若两条线段的长无法直接计算或表示出来，可通过工轴或y轴的平行线构造相似

三角形，将线段进行转化，再根据线段数量关系列方程求解.

3.利用二次函数性质求线段最值

⑴求竖直线段的最值

第一步：设M（t+初+c）,则N（t,mt+n）；

第二步：表示线段MN的长，MN=aF+bt+c-mi-n；

第三步：化简MN=at2+bt+c-mi-n=at2+（b-+c-n,利用二次函数性质

求最值；

⑵求斜线段的最值

利用锐角三角函数化斜为直得：MP=MN-s\n4MNP,再根据⑴的步骤解题即可.

4.利用对称性质求线段和最值及点坐标，即“将军饮马”问题（求PA+PB的最小

值及点P的坐标）；

⑴求点B关于对称轴/对称的点C的坐标；

⑵连接AC交直线/于点P,此时点P满足要求,从而可求出PA+PB的最小值；

⑶用待定系数法求直线4c的函数表达式；

（4）将I对应的x的值代入AC的函数表达式可得点P的坐标.

例1如图①，已知二次函数），二-/-2x+3的图象与x轴相交于A,B两点（A

点在B点左侧），与y轴相交于点C点P是直线4C上方的抛物线上的一个动

点，过点P作PD±x轴，垂足为点D,交直线AC于点Q.设点P的横坐标为m.

一、表示点坐标

⑴点P的坐标为，点D的坐标为，点Q的坐标为

二、表示线段长

Q)PD的长为,QD的长为,PQ的长为

(3)点P到对称轴的距离为,CQ的长为；

三、与线段数量关系有关的计算

(4)如图②，若P0=，求点P的坐标；

⑸如图③，若AQ=2CQ,求点P的坐标；

四、线段最值

⑹如图④,过点P作x轴的平行线，交直线AC于M点，求MQ的最大值；

⑺如图⑤，点G是抛物线的对称轴/上的一个动点,当笺尤的周长最小时,求

器的值.

例1题图⑤

二阶综合训练

1.如图，抛物线)，=/+bx+c与直线广质+用(原0)相交于点A(0,-4),8(5,

6),直线A3与x轴相交于点C.

⑴求抛物线与直线AB的表达式；

⑵点D是抛物线在直线AB下方部分上的一个动点,过点D作。曰1大轴交AB于

点E,过点。作DFWy轴交AB于点尸，求OF・DE的最大值.

类型二二次函数与面积有关问题

一阶设问突破

方法解读

求几何图形面积

方法一：直接公式法

一边在坐标轴上（或平行于坐标轴），S4ABC=：ABh

a版

",J3?

方法二：分割法

三边都不在坐标轴上（或都不平行于坐标轴）.

S^ABC=S^ABD+S^BCD=：BD（AE+CF）=^BD\yc-师）.

Jx

部"

方法三：补全法

三边都不在坐标轴上（或都不平行于坐标轴）.

S^ABC=S^ACD-S&ABD-S~BCC.

注：对于四边形面积计算，可连接一条对角线将四边形转化为两个三角形面积之

和求解.

例2如图,抛物线）=-f+3x+4与x轴交于A,8两点（点A在点8左侧），

与），轴交于点C,点。是第一象限抛物线上的动点，设点D的横坐标为/.

一、求三角形、四边形面积

⑴如图①，当点D位于抛物线的顶点处时，连接OD,CD,求△OCO的面积；

例2题图①

⑵如图②，若/=2,连接AC,C。，8。，求四边形ABDC的面积；

例2题图②

二、面积定值及最值

⑶如图③，连接AD,BD,若AABD的面积为15,求点。的坐标；

例2题图③

方法解读

利用二次函数性质求面积最值：用同一未知数表示出动点的坐标，进而表示出所

求图形的面积，利用二次函数性质求解最值.

⑷核心设问如图④,连接BD,过点C作CPIIBD交x轴于点P,连接PD,求4

BPD面积的最大值及此时点D的坐标；

例2题图④

三、面积等值、倍分关系

⑸如图⑤，连接BD,CD,0D,若S^BOD=S^COD,求点D的坐标.

例2题图⑤

二阶综合训练

1.如图，已知二次函数y二（+云+c的图象与x轴交于A,8两点，与y轴交

于点C,其中人（-2,0）,C（0,-2）.

⑴求二次函数的表达式；

⑵若P是二次函数图象上的一点，目点P在第二象限，线段PC交x轴于点D,

△PDB的面积是△CQ5的面积的2倍，求点P的坐标.

第1题图

类型一二次函数与线段有关问题

一阶设问突破

例1角翠：(1)。%,-m2-2m+3),(〃2,0),(m,m+3)；【解法提示】令):0,

得-f-2x+3=0,解得xi=-3,=1,•二点4(-3,0),点B(1,0)；令x=0,

得y=3，，点C(0,3)；设直线AC的表达式为y=kx+优原0),将点A(-3,0),

点代入产"+》中，得「,解得水:;

C(0,3)3k+b=°.,•直线AC的表达式

3=3

为y=x+3「.,点尸的横坐标为m，，点P纵坐标为・苏・2加+3,.•.PQ_Lx轴，二

点。横坐标为〃2,则纵坐标为〃?+3,•.//)口轴，.•点D横坐标为m,纵坐标为

0.

(2)-nr-2/n+3,m+3,-nr-3m；

(3)|??7+1|,-y[2m；

(4)由⑵可知QD的长为m+3,PQ的长为-m2-3m,

：PQ=DQ,

-m2-3m=〃2+3,

解得m--1或〃?=-3,

•点P不与点A重合t

.••用的值为-1,

二.P(T,4)；

(5)・・・P£Mly轴,

,AQ_AD

'~AC~~AO1

\'AQ=2CQ,

.AQ_2

..———.

AC3

,AD_2

..----二一,

AO3

.7(-3,0),

.t.AO=3,

.t.AD=2,OD=1,

-,.m=-1,此时-nr-2m+3=4,

・.P(-1,4),

(ey：OA=oc=3,PMIIX轴,

,^PMQ=^CAO=45°,

•「P£)_Lx轴,

/.ZADQ=^QPM=90°,

.)PMQ为等腰直角三角形，

：MQ=42PQ,

.PQ=-in2-3m=-(m+1)2+1/-1<0,-3</n<0,

二•PQ的最大值为?

4

,.MQ的最大值为竽

-7

⑺•・・)，=->?・=+3,・,・抛物线对称轴为直线A--=-1.

-2

如解图，连接AC,交抛物线对称轴/于点G,由抛物线的对称性得GA=GB,I

GB+GC=AG+GC>AC,即当A,G,。三点共线时,GB+GC取得最小值，此

时aGBC周长最小.

由⑴得直线AC的表达式为y=x+3,

当x二-1时，y=2,

.,.G(-1,2).

・•・B(l,0),C(0,3),

,GC_卜+产_i

一逐一声一3

例1题解图

二阶综合训练

1.解：(1)由题意,将点A(0,-4),5(5,6)代入y=/+bx+c中,

fc--4(b=-3

得，解得，

(25+5b+c=6(c=-4

「•抛物线的表达式为y=^-3x-4.

将点40,-4),伏5,6)代入)，二乙+加中,

m=-4(A

，解得*T,

(5/c+m-6(k=2

.,直线AB的表达式为y=2x-4；

(2)由题意，设。(〃，标-3a-4)(0<a<5),

令2x-4=〃2-3〃-4,得x二|(6?2-3a),

/.£(|^2-|Q,4_3〃_4).

令x二〃，则y二2〃-4,

...F(a,2a-4).

.,.DF-DE=2a-4-(a1-3a-4)-[a-(|tz2-|Q)]

=--1岸2+J

22-a

22，8

<0,0<。<5,

2''

.•.当〃*寸，QF-DE取得最大值，最大值为高

类型二二次函数与面积有关问题

一阶设问突破

例2解：⑴令尸0,得尸4,

..C(0,4),

.'.OC=4,

•.了=-x2+3x+4=-(x-|)2+Y/

，。(|,7),

.SOCD=|oc-\XD\=|x4x1=3；

⑵如解图①,连接BC,过点。作DE±x轴交BC于点E,

令-f+3x+4=(),解得x=-1或1二4,

.•.4(-1,。)，3(4,0),

由⑴可知，C(0,4),

.,.AB=5,OB-OC=4,

设8C所在直线的表达式为y-kx+仇后0),

将仇4,0),C(0,4)代入)，二依+〃中，

得卜/c+b=0,解得卜二一1,

(匕=4w=4

•.BC所在直线的表达式为y=-x+4,

.,.当，二2时，-产+3/+4=6,-(+4=2,

.・。(2,6),E(2,2),

..DE=4,

x

--S四边形ABDC=SAABC+SABCD=15x4+1x4x4=18；

例2题解图①

(3)由(2)可知，A3=5,

2

••SAABD--2AB-yn--2x5x(-f+3z+4)=15,

解得，=1或/=2.

当，=1时，--+3/+4=-y+3xl+4=6；

当f=2时，-1+3(+4=-22+3x2+4=6,

综上所述，点D的坐标为(1,6)或(2,6)；

(4)如解图②，连接BC,CD,过点D作。。J_x轴交BC于点Q,

\CPWBD,

=

；SABPD二S^BCD=S^BDQ+S^CDQ--DQOB)

由⑵可知，BC所在直线的解析式为y=-x+4,

・・・0(乙7+4),

：,DQ=-5+3,+4-(-/+4)=-5+4，，

=2

'''S^BPD1(-/+4/)x4=-2(/-2>+8,

*/-2<0,0<r<4,

.•.当1=2时，Ss尸。有最大值，最大值为8,

此时-产+3，+4=-22+3x2+4=6,

•・•点D的坐标为(2,