常用逻辑用语（解析版）

第一章集合、常用逻辑用语、不等式

§1.2常用逻辑用语

【高考考向预测】

近三年高考常用逻辑用语考查频次稳定，多以选择题形式出现，核心聚焦充分必要条件判

断，兼顾全称与特称命题的否定及真假判定，常结合函数、几何、不等式等知识综合设题；预测

2027年仍会保持常规考查力度，命题将进一步加强与主干知识的融合，侧重依托各类知识点辨析

条件关系，注重逻辑推理严谨性，题型平稳无大幅难度提升，侧重基础逻辑思维的考查。

【双基自测•明考向】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打或"X”)

(1)当〃是g的充分条件时，q是〃的必要条件.()

(2)“三角形的内角和为180。”是全称量词命题.()

(3)“函数/U)为奇函数”是“大0)=0”的充分不必要条件.()

(4)命题“玉£R,sii?>cos?若”是真命题.()

【答案】(1)V(2)7(3)X(4)X

2.命题“VxWR,f-x+220”的否定为()

A.lrER,r-x+2<0

B.Vx^R>x-x-^-2W0

C.=x€R,AT-A+2^0

D.VxWR,JC-X+2<0

【答案】A

【解析】命题“Vx£R,d-x+220”的否定为命题FX+2〈0”.

3.设x£R,则“cosx=l”是“sinx=0”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当cos.r=l时，x=2kji(kWZ),此时sin.r=0；

当sinx=0时，x=lai(k£Z),

此时cosx=1或cos,r=-l,

所以"cosx=l”是“sin.r=0”的充分不必要条件.

4.设p：q：0WxW2.若〃是q的必要不充分条件，则实数〃［的取值范围

是.

【答案】［0,1］

【解析】〃：〃Z-IWXWM+2,q：.若〃是q的必要不充分条件，则+

且两等号不能同时取到，解得OWmWl.

国微点提醒

1.谨记两个常用结论

(l)p是4的充分不必要条件，等价于下是的充分不必要条件.

(2)钳题〃和「〃的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.

2.理清一个关系

“4的充分不必要条件是8”是由8能推出A,且A不能推出从而“4是8的充分不必要条件”则

是指4能推出8,而8不能推出A,要注意区别上述两种说法的不同.

【核心梳理•明考点】

1.夯分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q，则〃是q的充分条件，9是〃的必要条件

〃是《的充分不必要条件且

p是q的必要不充分条件p#q且qnp

〃是〃的充要条件poq

〃是q的既不充分也不必要条件p#q且q#p

2.全称量词与存在量词

⑴全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号"上”表示.

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“3”表

示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中任意一个x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

简记p(x)3xeM,p(x)

否定PxQM,

【题型突破•明方向】

题型一充分、必要条件的判定

例」(1)(2024.北京)设〃，b是向量,则“(〃+6>(a»)=0”是“〃或〃=b"的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由(a+b>(0-b)=O,

22

得a-b=Ot

即仟二0,所以⑷=|回，

当好(1,I),斤(-1,1)时,

\a\=\b\f但〃且“W-力，

故充分性不成立；

当a=-b或a=b时,

(a+b)(a))=0,

故必要性成立.

所以a(a+b)(a-b)=0ff是"a=-b氟a=b”的必要不充分条件.

(2)12025・临沂模拟)已知危)=tanx,则对任意实数1),〃仁(-1,1),“〃+历>0”是

"4+僧)>0”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】因为/UAtanx在(-1,1)上单调递增，且是奇函数，

所以tana+lan/7>0<=>tan6/>-tanZ?<=>tana>【an(-/?)=a>-b=a+〃>0,

所以aa+bX)ff是“刎皿>0”的充要条件.

【思维升华】充分、必要条件的三种判定方法

（1）定义法：根据p=q,q0P是否成立进行判断.

（2）集合法：根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.

（3）等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否

成立为止.

【跟踪训练】1（多选）下列叙述中正确的是（）

A.是“二1”的充分不必要条件

a

B.若a,b,c£R,则"a"守护”的充要条件是"a>c"

C.是“方程/+/斫0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

D.若a,DcWR且a>0,则“VxWR,“+月+°20恒成立”的充要条件是“户4at?W0”

【答案】ACD

【解析】对于A,6/>1^-<1,当〃<0时，所以1<1次/>1,

aaa

所以“a>l”是“工<1”的充分不必要条件，故A正确；

a

对于B,当6=0时，若"a>c"成立，而ab?=0=cb2,充分性不成立，故B错误；

对于C,令y（x）=f+x+a,方程9+X+。=0有一个正根和一个负根，则1A0）<0,

则有。<0,所以“。<1”是“方程f+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故C正确；

对于D,当a>0时，由VxER,—+/?x+c20恒成立可以推出/二序-4acW0,

而由［心4加<0也可以推出af+Z^+c2。恒成立，故D正确.

题型二充分、必要条件的应用

例2（1）（2025•哈尔滨模拟）下列四个选项中，使心”成立的一个充分不必要条件是（）

Aj（2>y2B.x|x|>v|_y|

C.lnx>\nyD.ev>ev

【答案】C

【解析】当x=-2,）=-1时，满足但x<y；当x=-l,尸-2时，满足x>y,但『〈广

故『>），2是Qy的既不充分也不必要条件，A错误；

令Kx）fW，则贝x）的定义域为R,

yJt-x）=-x\-xi=-x\x\=-fix）,

・\/U）是奇函数，

当x>0时，，/U）三也;U）在（0,+8）上单调递增，故贝工）在R上为增函数.

由小心I可得x>y,由心”可得x\x\>y\y\,

故是第*y的充要条件，B错误;

•・j=lnx在（0,+8）上为增函数，Inx>\ny9/.A>y>0；

当0>x>y时，Inx,In)，无意义，InQiny不成立，

故InQiny是A>V的充分不必要条件,C正确；

•・•卢e，在R上为增函数，

/.由e'>ev得x>y,由可得er>e',

故9>e',是入>)，的充要条件，D错误.

(2)12026・白银模拟)已知p：“丁-(2〃?+3)/〃72+3心0”是/“f-x-GWO”的必要不充分条件，则实

数，〃的取值范围为()

A.(-8,-5|U[3,+8)

B.(-°°,-5)U(3,+8)

C.(-5,3)

D.[-5,3]

【答案】B

【解析】因为〃：(x-〃?)g〃-3)>0,

贝!J或x>m+3,q：f-r6WO,即-2WxW3,

又？是的必要不充分条件，则m>3或m+3<-2,即心3或HI<-5.

故实数机的取值范围为(-8,-5)U(3,+8).

【思维升华】求参数问题的解题策略

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数

的不等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检脸.

【跟踪训练】2(1)已知〃：-1<XV0,q：〃z-l<rv-3〃?.若〃是〃的充分不必要条件，则实数〃?的取

值范围是.

【答案】(4,0)

【解析】因为p是夕的充分不必要条件，

所以3-1《<0｝是<x<-3m｝的真子集，

则产(不同时取等号)，解得〃Y),

所以实数〃2的取值范围是(-8,0).

(2)已知p：xWl,q：若〃是夕的必要不充分条件，则实数。的取值范围是:若〃是

g的必要条件，则实数〃的取值范围是.

【答案】(。，1)(-OO,|]

【解析】因为p：xWl,q：

若p是4的必要不充分条件，

则(-8,a](-8,]],因此q<i,

即实数。的取值范围是(-8,1).

若p是9的必要条件，则(-8,°]£(-8,1],

因比aWl,即实数。的取值范围是(-8,1].

题型三全称量词与存在量词

命题点1含量词的命题的否定

例3(多选)下列说法正确的是()

A.“菱形是正方形”是全称量词命题

B."Vx,>ER,『+)，220"的否定是'Tx,yGR,

C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”

D.是“sinA=sin8”的必要不充分条件

【答案】AB

【解析】对于A,“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A正确；

对于B,由全称量词命题的否定知其否定是“标，f+y2vo”，故B正确；

对于C,命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除“，故C错误；

对于D,因为A=8时，sinA=sin8成立，而sinA=sin8时，4=8不一定成立，如B=—故

33t

“4=3”是“sinA=sin8”的充分不必要条件，故D错误.

命题点2含量词的命题的真假判断

例4(多选)下列命题为假命题的是()

A.SxGR,ln(x2+l)<0

B.Vx>2,2)>f

C.3a,阵R,sin(oc-^)=sina-sinP

D.V.r£(0,TT),sinx>cosx

【答案】ABD

【解析】因为ln(f+l)Nln1=0,故A是假命题;

当m3时，23V32,故B是假命题；

当次二夕=0时，sin(a-^)=sina-sin故C是真命题；

当.v=?时，sincosx=^,sinx<cosx,故D是假命题.

622

命题点3含量词的命题的应用

例5已知命题“很£R,G-ax+lWO”为假命题，则实数〃的取值范围是.

【答案】[0,4)

【解析】由题意得不等式。自6+1>()对VxER恒成立.

①当。=0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意；

②当时，若不等式〃/-奴+1>0对R恒成立，则A,八解得。<。<4.

综上，实数。的取值范围是［(),4).

【思维升华】含量词命题的解题策略

(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即

可当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范

围.

【跟踪训练】3(1)(2024•新课标H卷)已知命题p：V.rGR,|x+l|>l；命题夕：3x>0,？=x,贝U

()

A.p和q都是真命题

B.~>p和q都是真命题

C./)和「夕都是真命题

D.~>p利-»q都是真命题

【答案】B

【解析】对于命题p,取尸-1,

则有|x+l|=0<l,

故P是假命题，是真命题；

对于命题q,取户1,

则有m=p=iK,

故q是真命题，「夕是假命题，

综上，「〃和夕都是真命题.

(2)(多选)(2025・海口模拟)以下说法正确的是()

A.^VxGR,3『-220”的否定是0WR,3f・2<0”

B.“x>3”是“log3(2x+l)>2”的充分不必要条件

C.若命题“VxWR,『十(a-l)x+1，0”为假命题，则实数a的取值范围是(-1,3)

D.若命题“Vx£R,2a?+ar】W0”是真命题，则实数a的取值范围是［-3,0|

【答案】AD

【解析】对于A,“VxWR,3t・220”的否定是FxWR,3』-2<0"，故A正确;

对于B,Iog3(2r+1)>2,即log3(2rH)>】og39,

则2x+l>9,解得工>4,因为人>4=x>3,且心>3Rx>4,所以“x>3”是“log3(2x+1)>2”的必要不充分

条件,故B错误：

对于C,命题是假命题，则命题的否定”也£R,f+（Gl）x+l<0”是真命题，即4=5-1尸-4>0,解得

a>3或a<-\,故C错误；

对于D,因为“Vx£R,2加+0¥［<0”是真命题，即2o?+奴［WO对Vx£R恒成立.当〃二0时，命题

88

成立；当“0时，匕<°’2;"

U=a2+3a<0,

解得-3Wa<0,综上可得，-3Wa<0,故D正确.

【限时训练】

（30分钟）

D］知识过关

一、单项选择题（每小题5分，为40分）

1.（2021•天津）已知a£R,则“,。6”是“4>36”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由题意，若a>6,则/>36,故充分性成立：

若B>36,则。>6或a<-6,故必要性不成立，

所以"6"是%2>36”的充分不必要条件.

2.（2025・周口质检）命题“存在偶数小使数据3,4,1,m5,7的中位数是偶数”的否定为（）

A.对任意的偶数小数据3,4,1,a,5,7的中位数是奇数

B.对任意的偶数小数据3,4,1,m5,7的中位数不是偶数

C.存在奇数小便数据3,4,1,a,5,7的中位数是奇数

D.不存在奇数小使数据3,4,1,a,5,7的中位数不是偶数

【答案】B

3.己知〃：q：x>m,若〃是夕的充分条件，则实数机的取值范围是（）

A.[0,+8)B.[l,+8)

C.(-8,()]D.(-8,1]

【答案】C

【解析】由了1可得x（x-1）<。，解得0<v<1,

记A=｛X|04<1｝,B=｛x\x>m],

若p是q的充分条件，

则A是8的子集，所以〃?<0,

所以实数机的取值范围是（-8,（）].

4.（2023•北京）若则“x+.y=0”是“匕3=-2”的（）

xy

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】•・"），W0,・・・/7二-2等价于W+），2=2r.v,即f+），2+2D=0,

即（"»=0等价于x+y=0.

・・.匕+产0”是“牢=・2”的充要条件.

xy

5.（2026•宁波模拟）命题“也£[-2,1],为假命题的一个充分不必要条件是（）

A.6<--BGW0

4

C.a26D.〃28

【答案】D

【解析】若命题“孔£[21],为假命题，

则命题的否定"Vxe[-2,1],为真命题，

即x£[-2,1]恒成立,

对于函数尸^户卜一]xG[-2,1],

当户-2时，取得最大值）=6,

所以心6,选项中只有｛a|a》8｝是｛3°26｝的真子集,

所以命题“玉£卜2,1],x2-x-a>0r,为假命题的一个充分不必要条件为

6.（2025•北京）已知函数./U）的定义域为£>,则“函数./U）的值域为R”是“对任意MWR,存在网£

D,使得|/Uo）|>M”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若函数./U)的值域为R,则对任意“£&一定存在即£。，使得兀n)=|M|+l,

取必二即,则|/Uo)l=IM+l>M，充分性成立；

取为0=2',。=R,则对任意M£R,一定存在xyo,使得yUi)=|M|+l，

<x0=xi,则|/UO)|=|M+1>M,但比时函数«K)的值域为(0,+8),必要性不成立；

所以“函数凡I)的值域为R”是“对任意MER,存在的£。，使得双⑹|>M”的充分不必要条件.

7.若"九£(0,兀),sin2人-Asin八<0”为假命题,则&的取值范围为()

A.(-8,-2]B.(-8,21

C.(-8,-2)D.(-8,2)

【答案】A

【解析】依题意知命题"五£(0,兀)，sinZt-攵sinx<0”为假命题,则命题“Vxe(0,兀)，sin2x-依in

x20”为真命题，所以2sinxcosxN依inx,则2这2cosx在x>(0,兀)时恒成立，解得ZW-2,所以攵的

取值范围为(・8,・2].

8.(2023・新高考全国I)记S”为数列｛圆｝的前〃项和，设甲：｛“｝为等差数列；乙：｛手｝为等差数列，则

()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【解析】方法一甲：｛〃”｝为等差数列，设其首项为m,公差为d,

则S,尸〃0+^^乩&:内+匚公益+加色，如三二g,

2n222n+1n2

因比｛曰｝为等差数列，则甲是乙的充分条件；

反之，乙：｛事｝为等差数列，

艮口汕义=7tSn+[-6+l)Sn=7ian+]Sn为常数，设为八

nilnn(nI1)n(nI1)

即式Qn+1-S”

n(n+l)

则Sn=nart+i-tn(n+l)f

有S„.i=(n-1)a,rt'H(n-1),2,

两式相减得an=na,^\-｛n-1)an-2tn,

即an+\-an=2n对〃=1也成立，

因比｛出｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

方法二甲：｛小｝为等差数列，设数列｛〃〃｝的首项为0,公差为乩

即用帕+吟也乩

贝心।+^-d=-n+a,

71222

因比｛事｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

反之,乙：｛等为等差数列,

设数列闺的公差为Q,

则2以=。，包=&+(〃-1)。，

n+lnn

即Sn=nS\+n(n-l)Dt

当心2时,SW-I=(W-1)SI+(M-1)(W-2)D,

上边两式相减得S〃-S”产Si+2(〃-1)0,

所以an=ai+2(n-1)£),

当n=l时，上式成立，

又如+「。产0+2〃/)-[0+2(小1)0=2。为常数，因此｛m｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

二、多项选择题(每小题6分，共18分)

9.下列既是存在量词命题又是真命题的是()

A.mr£R,|A|<()

B.Exez,cosV-1

C至少有一个x£Z,使工能同时被3和5整除

D.每个平行四边形都是中心对称图形

【答案】BC

【解析】选项A为存在量词命题，因为所有实数的绝对值非负，

即恒20,所以A是假命题；

选项B为存在量词命题，

当x=2时，满足cosQ♦2)=cos7i=-l,

所以B既是存在量词命题又是真命题；

选项C为存在量词命题，15能同时被3和5整除，所以C既是存在量词命题又是真命题;

选项D是全称量词命题，所以D不符合题意.

10/2025•揭阳模拟)下列叙述中正确的为()

A.命题“VxWO,总有2x>f”的否定是'TxWO,使得

B.V.rC(O,+8),2v>log2X

C.V.reR,4W2ZE+3X2

D.已知a,1£R,则“|a+b|=|a|+|b|"的充要条件是“ab>0”

【答案】ABC

【解析】对于A,命题“VxWO,总有ZtX2”的否定是“MW0,使得，A正确；

对于B,当*0时，函数广2丫的图象在直线)t的上方，函数尸logy的图象在直线)t的下方，贝I

2v>log2%,B正确；

对于C,因为4.r-(2x-1+3x2)=x2-lr+1=(x-1)20,

所以4f22x-l+3f恒成立，C正确；

对于D,例如用力二0,能推出|a+加=同+|〃|,即|。+〃|=同+网不能推出H»0,故D错误.

11.下列说法正确的为()

A.设a,则“/=/户，是，，3〃=3叱的必要不充分条件

B.已知A={M-lWxW2},B=国2“<0},若々WA”是的充分不必要条件,则实数a的取值

范围是(4,+8)

C.若命题“九WR,帆F+〃?x+l<Q”是假命题，则0<〃z<4

D.己知p：OaWl,q：4、+2'-"?W0,若〃是q的充分条件，则实数〃?的取值范围为[6,+«>)

【答案】BD

【解析】对于A,由函数)曰3%增函数可知，

若标二见则的仇所以3。=3";

由函数产3,为增函数可知，

若3"二3”,则a二仇所以/二枇

故“/二护”是“3〃二3"”的充要条件，A错误；

对于B,由“xWA”是的充分不必要条件，得集合A真包含于集合&所以会>2,即公>4,B

正确；

对于C,若命题是假命题，则“VXCR,〃〃十“a十120”是真命题，故阳=0或>°'24/八解得

0W〃?W4,C错误;

对于D,由〃是q的充分条件，得〃=为，即对于0vW1,4、+2工〃?忘0恒成立，令HT,f£(l,2],则

对于，£(1,2H亘成立，又尸+/=(£+1)-£(2,6],则〃?26,D正确.

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.命题“VQ0,使得cyr+2”的否定是

【答案】玉>0,e'2x+2

【解析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，

则命题“V.O0,使得e'4+2”的否定是“3>0,e，2x+2”.

13.（2025•湛江模拟）已知a：x<2怯1或心>加,箕x<2或“24,若。是夕的必要条件，则实数〃?的取值

范围是.

【答案】{m\m>

［解析】设集合A={x\x<2m-\或x>-m},B=（x|x<2或x>4）,

若夕是夕的必要条件，则8GA,

当2〃卜1>-加，即〃?，时，此时A=R,BMA成立；

当力〃-lW-加，即时，若8GA,此时『m二